新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編四期專題11《數(shù)列》解答題(解析版)

1、專題11 數(shù)列解答題1（2021河北大名一中高三月考）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.【解析】（1），即，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，且，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2（2021河北唐山一中高三期中）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.（1）求，；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】（1）由題意得可得：，所以，所以，所以，所以，.（2）由（1）知：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.3（2021河北衡水中學(xué)高三月考

2、）對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列，定義為數(shù)列的“勻稱”值.（1）若數(shù)列的“勻稱”值，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的“勻稱”值，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和及的最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，檢驗(yàn)時(shí)，成立；（2）當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，檢驗(yàn)時(shí)，成立當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，則所以數(shù)列為遞增數(shù)列，即數(shù)列為遞增數(shù)列當(dāng)時(shí)，4（2021福建福州三中高三月考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，則，即，又，則，（常數(shù)），故是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由（1）可得：，設(shè)

3、，則，又，5（2021福建福清西山學(xué)校高三期中）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，；由已知得，于是，即，又也滿足上式，所以.（2）由（1）知，而當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.綜上，.6（2021山東滕州一中高三期中）在數(shù)列中，且成等差數(shù)列.（1）求；（2）求的和.【答案】（1），（2）【解析】（1）由于成等差數(shù)列，所以，所以.（2），兩式相減得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以 7（2021山東昌樂二中高三月考）已知公差不為零的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為10，且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和

4、.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意知，解得，或，（舍去），所以.（2），將這個(gè)數(shù)列分為兩部分，一部分是等差數(shù)列，一部分是等比數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到：.8（2021湖南永州高三月考）已知數(shù)列滿足，.（1）求；（2）記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列.【答案】（1）6；（2）詳見解析.【解析】（1）因?yàn)橐阎獢?shù)列，滿足，.所以，；（2），所以，猜想數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，證明如下：，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.9（2021湖南郴州一中高三月考）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【答案】（1）；（2）.【解析】（

5、1）法一：，兩式相減得：，即，.，而滿足上式，.法二：，兩式相減得：，即，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以0為公差的等差數(shù)列，.當(dāng)時(shí)，滿足上式，.（2）法一：由（1）知，即數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列.法二：由（1）知，.10（2021廣東福田一中高三月考）已知是等差數(shù)列，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前15項(xiàng)和【答案】（1）（2）【解析】（1）利用已知條件解方程得到基本量 ，再利用公式寫通項(xiàng)公式即可；（2）先代入化簡，分類討論去絕對(duì)值，再分組可求前15項(xiàng)和.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由條件得，解得故（2）由（1）可知，其中故的前15項(xiàng)和11（2021廣東肇慶一中模擬）已知等差數(shù)列中，公差，其前四

6、項(xiàng)中刪去某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求的值；（2）設(shè)中不包含的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】（1）由不可能刪去首項(xiàng)和末項(xiàng)，分別討論刪去、，利用等比中項(xiàng)可得答案；（2）由求得，根據(jù)、中的項(xiàng)可得前100項(xiàng)是的前107項(xiàng)去掉的前7項(xiàng)后構(gòu)成的，所以求出前107項(xiàng)去掉的前7項(xiàng)后可得答案.（1）不可能刪去首項(xiàng)和末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列則，而已知，不合題意；若刪去，則，即，所以，因?yàn)?，所以，舍去；若刪去，則，即，所以，因?yàn)?，所以，符合題意，故.（2）由（1）知，所以，即的公比為2，首項(xiàng)為10，所以，即，是數(shù)列中的第項(xiàng)，設(shè)

7、數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，因?yàn)?，故?00項(xiàng)是的前107項(xiàng)去掉的前7項(xiàng)后構(gòu)成的，則.12（2021廣東惠州高三月考）已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，成等差數(shù)列，且公比，所以，即，整理得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）.所以為等比數(shù)列，令，故為等差數(shù)列因此分組求和可得：13（2021廣東湛江一中高三月考）已知等差數(shù)列滿足數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為因?yàn)?，所以又由，得，所以?shù)列的前項(xiàng)和為，且

8、，當(dāng)時(shí)，-，得，當(dāng)時(shí)，滿足，所以（2）因?yàn)?，所?，得，所以14（2021江蘇海安高級(jí)中學(xué)高三月考）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的公差；（2）數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，成等比數(shù)列可得，利用表示出和，解方程組可求得，結(jié)合可得結(jié)果；（2）由（1）可得，整理得，可知數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到結(jié)果.（1）（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，即，又，解得：或；當(dāng)時(shí)，與矛盾，即等差數(shù)列的公差；（2）由（1）得：，即，又，解得：，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，整理可得：.15（2021江蘇如皋中學(xué)高三月

9、考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）若成等差數(shù)列，求的值；（2）若為等比數(shù)列，求.【答案】（1）；（2） .【解析】（1）依題意表示出、，再根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，解得即可；（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式，再代入檢驗(yàn)即可；（1）解：由得：當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以 ，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，所以 ；（2）因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，所以，即，所以等比數(shù)列的公比，所以，經(jīng)驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，滿足題意，綜上所述： .16（2021江蘇蘇州中學(xué)高三月考）在，中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并回答下面問題.已知公差不為0的等差數(shù)列，且_.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】條

10、件選擇見解析；（1）；（2）【解析】（1）選：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，解得，所以.選：所以，解得，所以.選：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，所以，解得，所以.（2）因?yàn)?，所以，所?17（2021重慶市涪陵實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2），.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，且，依題意有，由，又，解得，即， ；（2），前項(xiàng)和.前項(xiàng)和，.18（2021重慶八中高三月考）在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)全下列試題后并完成解答（選擇多個(gè)條件并分別解答的按第1個(gè)給分）設(shè)等差數(shù)列的前

11、n項(xiàng)和為，且_.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)的和.【答案】（1）答案見解析（2）.【解析】（1）若選，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為；若選，當(dāng)時(shí)，由得，所以，當(dāng)時(shí)，滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以，所以，所以，上面兩式相減得：，所以.19（2021重慶一中高三月考）已知數(shù)列滿足，且，.（1）求數(shù)列的前三項(xiàng)，；（2）是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在（2）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1），（2）存在，（3）證明見解析【解析】（1）由題意知，.同理可得，.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足題意，則必是與無關(guān)的常數(shù)，而，.存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，且.（3