2022年新高考數(shù)學(xué)二輪提升數(shù)列專題第21講《數(shù)列中的公共項(xiàng)問題》（解析版）

1、第21講 數(shù)列中的公共項(xiàng)問題 一、單選題1（2021全國高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，302與3，7，11，399，則它們所有公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（ ）A23B24C25D26【答案】C【分析】求得新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列為，又?jǐn)?shù)列5，8，11，302的公差為3，數(shù)列3，7，11，399的公差為4，所以數(shù)列的公差為12，所以，解得，所以兩數(shù)列有25個(gè)公共項(xiàng).故選：C二、多選題2（2022全國高三專題練習(xí)）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）ABC的前項(xiàng)和D的前項(xiàng)和為【答案】BC【分析】先分析

2、出數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，從而判斷出，求出的前項(xiàng)和.【詳解】令，所以，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列為數(shù)列的子數(shù)列，所以，所以的前項(xiàng)為.故選：BC.【點(diǎn)睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運(yùn)用性質(zhì)三、雙空題3（2021江蘇蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知兩個(gè)等差數(shù)列：5，8，11，與：3，7，11，它們的公共項(xiàng)組成數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_；若數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為100，則的項(xiàng)數(shù)是_.【答案】 25 【分析】根據(jù)等差數(shù)列，得到是等差數(shù)列及其公差，寫出的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為100，由的項(xiàng)是，的公共項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列：5，8，11，的首項(xiàng)為5，公差為3，所以通項(xiàng)

3、公式為，：3，7，11，的首項(xiàng)為3，公差為4，所以通項(xiàng)公式為，所以它們的公共項(xiàng)組成數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為11，公差為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；因?yàn)閿?shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為100，所以，解得 ，所以的項(xiàng)數(shù)是25.故答案為：，25.4（2021北京昌平高二期末）數(shù)列，；，定義數(shù)列，.設(shè)，則數(shù)列的所有項(xiàng)的和等于_；設(shè)，則數(shù)列與有_個(gè)公共項(xiàng).【答案】19 2 【分析】由題意可以得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)的通項(xiàng)公式可以知道29個(gè)項(xiàng)里面有9個(gè)1，10個(gè)，10個(gè)2，從而得到問題解答；由題意可以得到數(shù)列和的通項(xiàng)公式，再令即可得到的關(guān)系式，最后根據(jù)5的倍數(shù)與4的倍數(shù)的特征可以得到解答.【詳解】由題意可得：，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的

4、所有項(xiàng)的和為：；由題意可得：，很顯然，要使，必須同時(shí)為3的倍數(shù)或者同時(shí)不為3的倍數(shù)，若同時(shí)為3的倍數(shù)，則有，則或，此時(shí)或，不成立；若同時(shí)不為3的倍數(shù)，則有，則或14或19或29，此時(shí)對(duì)應(yīng)的有或11或15或23，把與題意相矛盾的舍去，剩下，或，即或，即數(shù)列與有2個(gè)公共項(xiàng)；故答案為19；2.四、填空題5（2021江蘇高二單元測試）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列an，則an的前10項(xiàng)和為_【答案】4046【分析】根據(jù)題意確定數(shù)列的前10項(xiàng)，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是由和的公共項(xiàng)從小到大排列得到，所以數(shù)列的前10項(xiàng)為，即是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.所以數(shù)列

5、的前10項(xiàng)和為.故答案為：40466（2021江西南昌市八一中學(xué)高一月考）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為_【答案】【分析】由已知數(shù)列觀察得出公共項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算【詳解】數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為2公差為3的等差數(shù)列，它們的公共項(xiàng)是首項(xiàng)為5公差為12的等差數(shù)列，所以故答案為：7（2021河南商丘高三月考（理）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則其通項(xiàng)_.【答案】【分析】經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，觀察歸納可得.【詳解】數(shù)列中的項(xiàng)為：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列中的

6、偶數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng).即，256， 可以寫成的形式，觀察，歸納可得.故答案為：.五、解答題8（2021全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且滿足，成等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且是和的等差中項(xiàng)，若數(shù)列是由數(shù)列中的項(xiàng)依次剔除與的公共項(xiàng)剩下的部分組成，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【答案】11302【分析】根據(jù)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，滿足，成等比數(shù)列，得到，根據(jù)題意得到，計(jì)算，設(shè)，得到，數(shù)列的前105項(xiàng)中有5項(xiàng)需要剔除，計(jì)算得到答案.【詳解】數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則，即，即是公差為2的等差數(shù)列.，成等比數(shù)列，故，即，解得.故.是和的等差中項(xiàng)，則，當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，兩式相減得到，即，故是首項(xiàng)為1公

7、比為2的等比數(shù)列，驗(yàn)證時(shí)滿足.故.令，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故數(shù)列的前105項(xiàng)中有5項(xiàng)需要剔除，分別為.故數(shù)列的前100項(xiàng)和為.9（2020江蘇高二期中）已知數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列滿足:對(duì)任意的，都有.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列，中的公共項(xiàng)按照從小到大重新排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【分析】（1）依題意可得，再利用作差法得到；（2）由（1）可得的首項(xiàng)為，公比為，即可得到、，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；【詳解】解：（1）依題意因?yàn)?，即；所以；得，所以，故，?）由（1）可知的首項(xiàng)為，公比為，故，

8、所以設(shè)的前項(xiàng)和為，則；得所以10（2021廣東橫崗高中高三月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且（1）求證：數(shù)列是常數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式若數(shù)列通項(xiàng)公式，將數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列得到數(shù)列，求的前項(xiàng)和【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系式得到，然后證明即可；（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)數(shù)列與的通項(xiàng)公式得到新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，從而根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求的前項(xiàng)和【詳解】（1）證明：由，得，將上述兩式相減，得，即，則，數(shù)列是常數(shù)列；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，也適用，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，又?jǐn)?shù)列是以1為

9、首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，的前項(xiàng)和為11（2021全國高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列及關(guān)于x的方程（），且數(shù)列的公差，（1）求證：這些方程有一個(gè)公共根；（2）若方程的另一根為，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若數(shù)列的任意兩不同項(xiàng)、（m、）之和都是數(shù)列的項(xiàng)，求與d滿足的充要條件【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3），或（，）【分析】（1）一元二次方程系有公共根，結(jié)合成等差數(shù)列，必有，與方程比較顯然可以發(fā)現(xiàn)是方程系的公共根；（2）使用韋達(dá)定理，求出，進(jìn)一步表示出，通過等差數(shù)列的定義證明是等差數(shù)列；（3）假設(shè)存在使成立，尋找與

10、d滿足的關(guān)系式（其中任意m、）【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，因此是方程的一個(gè)公共根（2）若方程的另一根為，則由韋達(dá)定理得，即，故，即，因此故數(shù)列是等差數(shù)列，得證（3）設(shè)存在t（），有，即，所以，存在，對(duì)任意m，恒成立，若，則，即，故，若，則，由m，k，故為整數(shù)，設(shè)（），即，因此，即，即，又對(duì)任意m，k，恒成立，即對(duì)m，恒成立，所以，即，綜上所述，與d滿足的充要條件是：，或（，）12（2021全國高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列與的通項(xiàng)公式分別是，將它們的公共項(xiàng)從小到大排列成新數(shù)列，求的前n項(xiàng)和【答案】.【分析】先將所給數(shù)列與的前若干項(xiàng)一一列出，找出它們的公共項(xiàng)中的前幾項(xiàng)，由這幾項(xiàng)進(jìn)行分析，猜想

11、的項(xiàng)可能是中除去前兩項(xiàng)的所有奇數(shù)項(xiàng)，構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列再證明猜想，可得出答案【詳解】解：由題意可知的前幾項(xiàng)是：2，4，8，16，32，64，128，256，的前幾項(xiàng)是：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，（即被3除余2的數(shù)）由此可知，數(shù)列的前三項(xiàng)是8，32，128回到數(shù)列中，不難發(fā)現(xiàn)的項(xiàng)可能是中除去前兩項(xiàng)的所有奇數(shù)項(xiàng)，構(gòu)成以8為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列對(duì)此猜想證明如下：設(shè)數(shù)列中的第n項(xiàng)在中是第m項(xiàng)，在中是第k項(xiàng)，由數(shù)列的定義可知，故有，則中的第項(xiàng)為顯然，不是數(shù)列中的項(xiàng)，從而不是中的項(xiàng)而中的第項(xiàng)為：，顯然它是數(shù)列中的項(xiàng)，從而是中的第項(xiàng)，且，故是以8為首項(xiàng)，

12、4為公比的等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為13（2021上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高一期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列與等比數(shù)列滿足，又、成等比數(shù)列且.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列、的所有公共項(xiàng)從小到大排序構(gòu)成數(shù)列，試求數(shù)列前2021項(xiàng)之和；（3）若，數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）設(shè)出公差和公比，用基本量表達(dá)出條件即可解出；（2）根據(jù)兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式列舉出的前幾項(xiàng)，得出數(shù)列的類型再求和即可；（3）根據(jù)數(shù)列的增減性，分類變量即可解出.【詳解】（1）設(shè)公差為，公比為，由已知可得：，又，解得：.（2），是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則其前2021項(xiàng)

13、和為（3），是嚴(yán)格遞增數(shù)列，恒成立，即恒成立，設(shè)，則，即嚴(yán)格單調(diào)遞增，.14（2015江蘇高三月考）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，數(shù)列前n項(xiàng)和記為，前n項(xiàng)積記為（1）證明：；（2）求n為何值時(shí)，取得最大值；（3）證明：若數(shù)列中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，則總可以使其成等差數(shù)列；若所有這些等差數(shù)列的公差按從大到小的順序依次記為，則數(shù)列為等比數(shù)列【答案】（1）見解析；（2）12；（3）見解析【解析】試題分析：（1）只要證明，即可，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式易得；（2）由于數(shù)列的項(xiàng)正負(fù)相間，因此中從第2項(xiàng)開始兩項(xiàng)負(fù)兩項(xiàng)正出現(xiàn)，因此可先求的最大值，為此求得，可見中的最大值是，只是，因此比較與它最接近的正值和，

14、知最大；（3）由于數(shù)列是正負(fù)相間的，因此其相鄰三項(xiàng)重新排序（按從小到大順序）時(shí)要按的奇偶性分類，注意到是遞減的，不論為奇數(shù)還是偶數(shù)，總有，且當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，固有數(shù)列成等比數(shù)列試題解析：（1）證明：，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，（2）解：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故又，的最大值是和中的較大者，因此當(dāng)時(shí)，最大（3）證明：，隨n增大而減小，奇數(shù)項(xiàng)均正，偶數(shù)項(xiàng)均負(fù)，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，設(shè)中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列為，則，因此成等差數(shù)列，公差，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，設(shè)中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列為，則，因此成等差數(shù)列，公差，綜上可知，中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，且，數(shù)列為等比數(shù)列考點(diǎn)：等比數(shù)列的前項(xiàng)和

15、，數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)，等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷【名師點(diǎn)晴】 1等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn)2有關(guān)數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用作差法，作商法，圖象法求最大項(xiàng)時(shí)也可用滿足；若求最小項(xiàng)，則用滿足本題中數(shù)列中的正負(fù)依次出現(xiàn)，因此首先研究的單調(diào)性及最大項(xiàng)，再考慮的最大值15（2020江蘇蘇州高三期末）已知數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求和的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè).若，求k的值；求證：數(shù)列（中的任意一項(xiàng)總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積.【

16、答案】（1），；（2）1，見解析【分析】（1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，同時(shí)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合第一問的結(jié)論求出，直接代入即可求解；對(duì)于給定的，若存在，使得，只要找到相應(yīng)的整數(shù)，即可證明【詳解】（1）時(shí)，所以，時(shí)，所以，所以.由，所以，由得，即，當(dāng)時(shí)，由得，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）；對(duì)于給定的，若存在，使得；，只需，兩邊取倒數(shù)，即，即；即，；取，則；對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)，總可以表示成該數(shù)列其他兩項(xiàng)之積【點(diǎn)睛】本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題16（2016上海市晉元高級(jí)中學(xué)高三期中

17、）已知遞增的等差數(shù)列的首項(xiàng)，且、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列對(duì)任意，都有成立，求的值（3）若，求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積【答案】（1）；（2）；（3）見解析.【分析】（1）根據(jù)解出公差，即可得到通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，由，及，兩式作差求出，即可求解；（3）通過數(shù)列通項(xiàng)公式關(guān)系對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)，都存在和使得，即可得證.【詳解】（1）是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為 、成等比數(shù)列， 由 及得 （2）， 對(duì)都成立當(dāng)時(shí)，得 當(dāng)時(shí)，由，及得，得 （3）對(duì)于給定的，若存在，使得 ，只需， 即，即即， 取，則 對(duì)數(shù)列中的任意一項(xiàng)，都存在和使得【點(diǎn)睛】此題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式以及

18、數(shù)列求和，考查對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的理解認(rèn)識(shí)，證明相關(guān)結(jié)論.17（2021上海交大附中高二期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，我們把滿足條件（n為任意正整數(shù)）的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為M.（1）若數(shù)列的通項(xiàng)為，判斷是否屬于M，并說明理由；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列?若存在，給出一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)；若不存在，說明理由.【答案】（1）屬于M，理由見解析.（2）（3）數(shù)列中不可能存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，理由見解析.【分析】(1)利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算，再比較與大小關(guān)系即可判斷作答.(2)設(shè)等差數(shù)列的公差d，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，

19、列出不等式，借助恒成立探求出d與a1的取值即可計(jì)算作答.(3)根據(jù)給定條件探求出數(shù)列具有的性質(zhì)，再借助反證法思想并結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)即可判斷作答.（1）因數(shù)列的通項(xiàng)為，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和有：，因，則有，即，恒成立，所以屬于M.（2）設(shè)等差數(shù)列的公差d，則數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1+1，公差為d+1，令Tn為的前n項(xiàng)和，因，則，當(dāng)時(shí)，于是得，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，則必存在某個(gè)正數(shù)A，當(dāng)時(shí)，于是有對(duì)成立，必有，即，因此，則有對(duì)成立，解得，于是，所以的取值范圍是.（3）因數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則的前n項(xiàng)和有：對(duì)成立，于是得，則，顯然，當(dāng)時(shí)，而，因此，恒有，對(duì)，時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，假設(shè)數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，不妨設(shè)該等差數(shù)列的第n項(xiàng)為(c，b為常數(shù))，則存在，使得，即，當(dāng)，時(shí)，令，則，即，于是當(dāng)，時(shí)，從而有當(dāng)，時(shí)，即，依題意