新高考數(shù)學(xué)二輪專題《立體幾何》第8講 立體幾何范圍與最值問(wèn)題（解析版）

1、第8講 立體幾何范圍與最值問(wèn)題一選擇題（共34小題） 1在空間中有一棱長(zhǎng)為的正四面體，其俯視圖的面積的最大值為ABCD【解答】解：由題意當(dāng)線段相對(duì)的側(cè)棱與投影面平行時(shí)投影最大，此時(shí)投影是關(guān)于線段對(duì)稱的兩個(gè)等腰三角形，由于正四面體的棱長(zhǎng)都是1，故投影面積為故選：2已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，底面滿足，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的半徑為A1B2C3D【解答】解：如圖所示，由，可得，設(shè)的外接圓的半徑為，當(dāng)平面時(shí)，該三棱錐取得體積的最大值為由解得所以，解得故選：3已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在以為直徑的球面上，于，若三棱錐的體積的最大值為，則該球的表面積為ABCD【解答】解：三棱錐的四個(gè)頂

2、點(diǎn)在以為直徑的球面上，如圖所示：由于：為球體的球心，所以：，由于，于，為的中點(diǎn)，所以平面，則，故：，由于所以：，解得所以故選：4已知球的直徑，是該球面上的兩點(diǎn)，則三棱錐的體積最大值是A2BC4D【解答】解：如圖，球的直徑，是該球面上的兩點(diǎn)，（其中為點(diǎn)到底面的距離），故當(dāng)最大時(shí)，的體積最大，即當(dāng)面面時(shí)，最大，球的直徑，即，此時(shí)故選：5如圖，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，兩側(cè)棱、的夾角為，、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值是ABCD【解答】解：三棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖，如圖，的周長(zhǎng)的最小值為，由于題 設(shè)知，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為所以，故選：6在正三棱錐中，兩兩垂直，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作該正三棱錐外接球的截面，則所

3、得截面圓面積的最小值是ABCD【解答】解：在正三棱錐中，兩兩垂直，構(gòu)造以，為棱長(zhǎng)的正方體，且該正方體棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則該正三棱錐外接球球心為中點(diǎn)，半徑為，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作該正三棱錐外接球的截面，當(dāng)所得截面圓面積取最小值時(shí)截面圓的圓心為，當(dāng)所得截面圓面積取最小值時(shí)截面圓的半徑為：，過(guò)點(diǎn)作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值為故選：7如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)（不包括邊界）若平面，則的最小值是ABCD【解答】解：如圖，在上取中點(diǎn)，在上取中點(diǎn)，連接，且，平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是，（不含，兩點(diǎn)）又平面，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，

4、故選：8在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是線段，（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是ABCD【解答】解：平面，平面，平面平面，設(shè)到平面的距離為，則，故，而，四面體的體積，當(dāng)時(shí)取得最大值故選：9棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是線段，（不包括端點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，且線段平行于平面，則四面體的體積的最大值是ABCD【解答】解：由題意在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)，分別是線段，（不包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，且線段平行于平面，設(shè)，則，到平面的距離為，所以四面體的體積為，當(dāng)時(shí)，體積取得最大值：故選：10若一個(gè)四棱錐底面為正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心，且該四棱錐的體積為9，當(dāng)其外接球表面積最

5、小時(shí)，它的高為A3BCD【解答】解：設(shè)底面邊長(zhǎng)，棱錐的高，正四棱錐內(nèi)接于球，在直線上，設(shè)球半徑為，（1）若在線段上，如圖一，則，（2）若在在線段的延長(zhǎng)線上，如圖二，則，平面，是直角三角形，或，即當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即時(shí)取得最小值故選：11已知正四棱錐中，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為A1BC2D3【解答】解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高，所以體積，設(shè)，則，當(dāng)取最值時(shí)，解得或時(shí)，當(dāng)時(shí)，體積最大，此時(shí)，故選：12已知在半徑為2的球面上有、四點(diǎn)，若，則四面體的體積的最大值為ABCD【解答】解：過(guò)作平面，使平面，交于，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則有，當(dāng)直徑通過(guò)與的中點(diǎn)連線時(shí)，故故選：13如圖所示，圓形紙片的圓心為，半徑為

6、，該紙片上的正方形的中心為，為圓上的點(diǎn)，分別是以，為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以，為折痕折起，使得，重合，得到四棱錐當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得四棱錐體積（單位：的最大值為ABCD【解答】解：沿虛線剪開(kāi)后，分別以，為折痕折起，使得，重合，得到四棱錐，由題意得，所得四棱錐體積（單位：，構(gòu)造函數(shù)（a），則（a），當(dāng)（a）時(shí)，在內(nèi)遞增，在其他定義域內(nèi)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，也就是取得最大值，將代入，得：所得四棱錐體積（單位：的最大值為故選：14如圖1，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為點(diǎn)，為圓上的點(diǎn)，分別是以，為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以，為折痕折起，使得，重合得到一

7、個(gè)四棱錐（如圖當(dāng)四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時(shí)，異面直線與所成角的余弦值為ABCD【解答】解：如圖，連接交于點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為則，由四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，可得，解得即，所以，所以在四棱錐中，因?yàn)?，所以即為異面直線與所成的角，所以，即異面直線與所成角的余弦值為故選：15如圖，在三棱錐中，底面，于，于，若，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值為A2BCD【解答】解：在中，底面，得，平面，可得，平面平面，且，面，結(jié)合平面，可得中，可得，平面，平面中，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為故選：16正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：設(shè)與所成角為如圖所示，不妨設(shè)則，0，0，1

8、，0，0，0，1，設(shè)，則，故選：17已知與是四面體中相互垂直的棱，若，且，則四面體的體積的最大值是ABC18D36【解答】解：過(guò)作，垂足為，連接，平面，又，平面，取的中點(diǎn)，則，當(dāng)最大時(shí)，棱錐的體積取得最大值又，故當(dāng)最大時(shí)，棱錐體積最大，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，棱錐的體積最大值為故選：18在直四棱柱中，底面為菱形，分別是，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)且，則的面積的最大值為AB3CD【解答】解：連接交于，底面是菱形，以，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，棱柱的高為，則，0，到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故選：19在正四棱錐中，平面于，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在線段，上移動(dòng)，則兩點(diǎn)的最短距離為ABC2D1【解答】解

9、：如圖，由于點(diǎn)、分別在線段、上移動(dòng)，先讓點(diǎn)在上固定，在上移動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，最小過(guò)作，在中，在上運(yùn)動(dòng)，且當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最小，又等于的長(zhǎng)為，也就是異面直線和的公垂線段的長(zhǎng)，故選：20已知二面角為，動(dòng)點(diǎn)，分別在面，內(nèi)，到的距離為，到的距離為，則，兩點(diǎn)之間距離最小值為AB2C4D【解答】解：如圖分別作于，于，于，于，連，則，又當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)取最小值故選：21如果，與是夾在平面與之間的兩條線段，且，直線與平面所成的角為，那么線段長(zhǎng)的取值范圍是A，B，CD，【解答】解：由題意，在平面，當(dāng)和重合時(shí)，、在平面上，、構(gòu)成直角三角形，一內(nèi)角為，此時(shí)最小為；當(dāng)與兩個(gè)面近似平行時(shí)，達(dá)到無(wú)限長(zhǎng)線段長(zhǎng)的取值范圍為

10、，故選：22正三棱柱中，各棱長(zhǎng)均為2，為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則在棱柱的表面上從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是ABCD【解答】解：沿著棱將棱柱的側(cè)面展開(kāi)，故小蟲(chóng)爬行的最短距離為，故選：23在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)、可以重合），則的最小值為ABCD1【解答】解：由題意，要求的最小值，就是到底面的距離的最小值與的最小值之和，是在底面上的射影距離最小，展開(kāi)三角形與三角形，在同一個(gè)平面上，如圖，易知，可知時(shí)，的最小，最小值為：故選：24在中，點(diǎn)在斜邊上，以為棱把它折成直二面角，折疊后的最小值為ABCD3【解答】解：設(shè)，則，作于，于，于是，是直二面角，與成角，當(dāng)，即是的平分線時(shí)，有

11、最小值，最小值是故選：25在平面四邊形中，且，現(xiàn)將沿著對(duì)角線翻折成，則在折起至轉(zhuǎn)到平面內(nèi)的過(guò)程中，直線與平面所成的最大角為ABCD【解答】解：如圖，平面四邊形中，連結(jié)，交于點(diǎn)，且，將沿著對(duì)角線翻折成，當(dāng)與以為圓心，為半徑的圓相切時(shí)，直線與平面所成角最大，此時(shí)，中，與平面所成的最大角為故選：26已知三棱錐中，且與平面成角當(dāng)?shù)闹等〉阶畲笾禃r(shí)，二面角的大小為ABCD【解答】解：過(guò)作平面，連接并延長(zhǎng)交，于，連接，則是在底面上的射影，則，平面，即，則是二面角的平面角，則，要使的值取到最大值，則取得最大，由正弦定理得，當(dāng)取得最大值，即當(dāng)時(shí)取最大值此時(shí)，故選：27已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的球面上

12、，為球的直徑，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)二面角的大小為，則ABCD【解答】解：如圖所示：由已知得球的半徑為2，為球的直徑，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，為等腰直角三角形，在面上的射影為圓心，過(guò)圓心作于，連結(jié)，則為二面角的平面角，在中，故選：28在正方體中，是底面正方形內(nèi)一點(diǎn)，是中點(diǎn)若，與底面所成角相等，則最大值為ABCD【解答】解：連接，則，分別為和與平面所成的角，和與平面所成的角相等，；又為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，設(shè)，則，即，則的軌跡為圓被正方形所截的一段圓弧，則當(dāng)位于圓弧與的交點(diǎn)位置時(shí)，最小為此時(shí)有最大值為故選：29已知的頂點(diǎn)平面，點(diǎn)，在平面同側(cè)

13、，且，若，與所成角分別為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為A，B，C，D，【解答】解：分別過(guò)，作底面的垂線，垂足分別為，由已知可得，如圖，當(dāng)，所在平面與垂直，且，在底面上的射影，在點(diǎn)同側(cè)時(shí)長(zhǎng)度最小，當(dāng)，所在平面與垂直，且，在底面上的射影，在點(diǎn)兩側(cè)時(shí)長(zhǎng)度最大過(guò)作，垂足為，則，的最小值為，最大值為，的最小值為，最大值為線段長(zhǎng)度的取值范圍為，故選：30如圖，空間直角坐標(biāo)系中，正三角形的頂點(diǎn)，分別在平面和軸上移動(dòng)若，則點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為AB2CD3【解答】解：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，根據(jù)題意可得中，斜邊，又正的邊長(zhǎng)為2，對(duì)圖形加以觀察，當(dāng)，分別在平面和軸上移動(dòng)時(shí)，可得當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)，且這最遠(yuǎn)

14、距離等于故選：31棱長(zhǎng)為2的正方體在空間直角坐標(biāo)系中移動(dòng)，但保持點(diǎn)、分別在軸、軸上移動(dòng)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為ABC5D4【解答】解：由題意可知，與和在同一個(gè)平面時(shí)，到的距離比較大，如圖：設(shè)，則坐標(biāo)為，其中，顯然，故選：32如圖在棱長(zhǎng)為2的正方體中為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)到直線的距離的最小值為ABCD【解答】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，底面，四邊形是矩形，又平面，平面，平面直線上任一點(diǎn)到平面的距離是兩條異面直線與的距離過(guò)點(diǎn)作，平面平面平面過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則取，連接，則四邊形是矩形可得平面，在中，得點(diǎn)到直線的距離的最小值為故選：33若點(diǎn)，是半徑為2的球面上三點(diǎn)，且，則球心到平面的距離最大值為AB

15、CD【解答】解：因?yàn)楫?dāng)截面是以為直徑的圓時(shí)，球心到過(guò)、兩點(diǎn)的平面的距離最大設(shè)截面圓的圓心為，球心為，則是以的直角三角形，且，球心到截面的距離所以：截面圓半徑為1，球心到截面的距離為：故選：34二面角的平面角為，在面內(nèi)，于，在平面內(nèi)，于，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為A6BCD5【解答】解：將二面角平攤開(kāi)來(lái)，即為圖形當(dāng)、在一條直線時(shí)的最小值，最小值即為對(duì)角線而，故故選：二多選題（共1小題）35已知三棱錐中，則A三棱錐的外接球的體積為B三棱錐的外接球的體積為C三棱錐的體積的最大值為D三棱錐的體積的最大值為【解答】解：如圖，的中點(diǎn)為外接球球心，故半徑為1，體積為，當(dāng)面與面相互垂直時(shí)，點(diǎn)到面的距離最大

16、，故此時(shí)三棱錐的體積最大，此時(shí)高為；其最大值為：故選：三填空題（共14小題）36已知三棱錐滿足，則該三棱錐體積的最大值為【解答】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，可得，平面，設(shè)，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故答案為：37設(shè)，是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為【解答】解：設(shè)，是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，解得，球心為，三角形 的外心為，顯然在的延長(zhǎng)線與球的交點(diǎn)如圖：，則三棱錐高的最大值為：6，則三棱錐體積的最大值為：故答案為：38點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，若正方體邊長(zhǎng)為2，則的取值范圍是，【解答】解

17、：點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，可知：平面與直線垂直，所以在線段上，正方體的棱長(zhǎng)為2，所以的最小值為，最大值為2則的取值范圍是，故答案為：，39如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)是中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在底面內(nèi)（不包括邊界），使四面體體積為，則的最小值是【解答】解：由題意，故將底面建立一個(gè)如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：，在中，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)為底面內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，交于點(diǎn)，則解得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為與直線距離為的一條平行線又，直線，即點(diǎn)到直線距離點(diǎn)到到點(diǎn)的最小距離點(diǎn)到到點(diǎn)的最小值為故答案為：40棱長(zhǎng)為1的正方體如圖所示，分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為【解答】解：棱長(zhǎng)為1的正方體如圖所示，分別為直線，上

18、的動(dòng)點(diǎn)，線段長(zhǎng)度的最小值是異面直線與間的距離，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，1，1，1，1，1，線段長(zhǎng)度的最小值：故答案為：41如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)在平面，上的正投影都為三角形時(shí)，將它們的面積分別記為，當(dāng)時(shí)，（填“”或“”或“” ；的最大值為【解答】解：設(shè)在平面和平面上的投影分別為，則、到平面的距離相等，即，設(shè)在底面的投影為，則在上，設(shè)且，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值故答案為：，42在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，則的最大值為【解答】解：如圖，不妨取為，直線在平面中，直線與平面所成的角的最大

19、值就是二面角的大小，過(guò)作，連結(jié)，就是所求角正方體的棱長(zhǎng)為1，故答案為：43如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，為圓上的點(diǎn)，分別是以，為底邊的等腰三角形沿虛線剪開(kāi)后，分別以，為折痕折起，使得，重合，得到三棱錐當(dāng)所得三棱錐體積（單位：最大時(shí)，的邊長(zhǎng)為【解答】解：由題意，連接，交于點(diǎn)，由題意得，設(shè)，則，三棱錐的高，則，令，令，即，解得，則（2），體積最大值為此時(shí)的邊長(zhǎng)為故答案為：44在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【解答】解：連接，則，點(diǎn)、在平面中，且，如圖1所示；在中，以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示；則，；設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，的方程為，直線的方程為，由組成方程組，解得，直線與的交點(diǎn)，；所以對(duì)稱點(diǎn)，故答案為：45在正方體中，為棱的中點(diǎn)，且，點(diǎn)為底面所在平面上一點(diǎn)，若直線，與底面所成的角相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的幾何圖形的