圓錐曲線焦點(diǎn)弦公式及應(yīng)用

1、圓錐曲線焦點(diǎn)弦公式及應(yīng)用 之老陽(yáng)三干創(chuàng)作 湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)鄒生書(shū)焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動(dòng)脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和解 題戰(zhàn)略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相，題 型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考 查的。定理1已知點(diǎn)產(chǎn)是離心率為白的圓錐曲線C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)雇與C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為A 1 e cos 8 = 尸內(nèi)分弦川時(shí)，有 2+】； 總+1 e cos & =且皿=4五8小1）。（ 1）（2）當(dāng)焦點(diǎn)尸外分弦時(shí)線為雙曲線），有證明 設(shè)直線/是焦點(diǎn)上所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線, 別為4劣，點(diǎn)B在直線相】上的射影為M得，豆-函，又皿=跖%之1）,所以（1）當(dāng)焦點(diǎn)E

2、內(nèi)分弦川時(shí)。尸的弦當(dāng)隹占=1 八，1、（此時(shí)曲點(diǎn)且3在直線/上的射影分由圓錐曲線的統(tǒng)一定義叫二二,四二AF ABFABF BF八3 AA-BB.7, 兄_1COS& = cos AMAB = _ _-如圖1,那 AF + BFU+1）比7式3-D ,所以JI 1 ecos 8 4+1。圖1（2）當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)外分弦且B時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。XBF BFcT 期 AA+BB,_ 且+1如圖2,耶AF-BF （-W427 ,所以e兄+ 1g cos 8 於1。圖2評(píng)注 特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分 焦點(diǎn)弦時(shí)公式的分歧，這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。例1 （2009年高考全國(guó)卷II理

3、科題）已知雙曲線X vU/一7二二的右焦點(diǎn)為尸， 過(guò)F且斜率為百的直線交C于用8兩點(diǎn)。若=4而，則C的離心率為（）解 這里丁t如日二布,所以60又4=4,代入公式得 TOC o 1-5 h z 4 Vl6e cosoU = e =4+1,所以 5 ,故選九例2 （2010年高考全國(guó)卷II理科第 12題）已知橢圓r X2 y2 _y（ l a色/+正=a 的離心率為 To過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為 嶺）的直線于C相交于兩點(diǎn)，若麗=3而，則-（）e邁解這里4 = 3,2 ,設(shè)直線疑的傾斜角為日，代入公式得Q11C0sg=一COS &- -J=22,所以 近，所以心同夕二夜，故選3。例3 （08高考江西卷理科

4、第15題）過(guò)拋物線/ = P 0）的焦點(diǎn)尸作傾斜角為30,的直線，與拋物線交于 月石兩點(diǎn)（點(diǎn)上在,軸左囹=側(cè)），則有照解 如圖3,由題意知直線工B與拋物線的地稱(chēng)軸的夾角 當(dāng)= 1CO, _ 兄-1點(diǎn)總在y軸左側(cè)時(shí)，設(shè) KI ,又”1,代入公式得、+1 ,囹=1解得為力，所以附3。例4 （2010年高考全國(guó)卷I理科第 16題）已知斤是橢圓。的一 里點(diǎn)二月是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段 BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)口，且 麗=2而，則C的離心率為cog g - F e解 設(shè)直線BD與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為3,則 一 8。一，又 吏4=2,代入公式得一所以-3。OO例5 （自編題）已知雙曲線,：戶一7的離心率為亍,

5、過(guò)左焦點(diǎn)戶且斜率為北 。的直線交C的兩支于以合兩點(diǎn)。若|知上引所貝_ 43解 這里年亍，兒=3,因直線為B與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公口 1+1記 口 3+1口 6, COS=, ,COS&- 一 COS 9=一式 4-1,代入公式得 33-1,所以 2所以*30，k = tan 30 =所以3。定理2已知點(diǎn)產(chǎn)和直線/是離心率為皆的圓錐曲線C的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng) 準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為中。過(guò)點(diǎn)F的弦上B與曲AB=-線C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為 式一。9。飛,則有 卜白859。證明 設(shè)點(diǎn)4&F在準(zhǔn)線/上的射影分別為 4綜區(qū)，過(guò)點(diǎn)F作軸尸用的垂線交直線 以】于點(diǎn)“，交直線B用于點(diǎn)“。由圓錐曲線

6、的統(tǒng)一定義 回w M得|“一 一所以網(wǎng)=也.網(wǎng)|用叱圖4（1）當(dāng)焦點(diǎn)斤內(nèi)分弦且B時(shí)。如圖4,M二 |4期1+網(wǎng)” + 網(wǎng)C8&忸例=忸 1M-NB = p- BFcqs0MF| = （p + |ZF|cq 日）,忸冏二 口 （中一忸心協(xié)AF =所以較長(zhǎng)焦半徑l gsd ,較短焦半徑網(wǎng)=七入所以環(huán)陷+1吁2sp】一中。3日1 +官 COS 日 1一 COS &。（2）當(dāng)焦點(diǎn)尸外分弦月E時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。圖5如圖5,|Z41 =皿 |-|aM = afc3-p |跖J = |叫| |詬卜聲-BF cqse所以I:二BF =cos 5-1 2co 臺(tái)日 + 】所以較長(zhǎng)焦半徑,較短焦半徑 + 1

7、所以AF-綜合（1） （2）知，較長(zhǎng)焦半徑1+百8環(huán) 焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為口73同，較短焦半徑1-/占日特別地，當(dāng)曲線為無(wú)心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距聲就是徑之AF = -網(wǎng)二一半，較長(zhǎng)焦半徑I j-c。凡較短焦半徑I I 1+cosS,焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為“叫壽？。當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為 k I c o注 由上可得，當(dāng)焦點(diǎn) 斤內(nèi)分弦2s時(shí)，有11211 _ 2co5g因廣網(wǎng)-磔陰陽(yáng)-尹。當(dāng)焦點(diǎn)尸外分弦延時(shí)，有 11211 2cos日 | AFAF BF p例6 （2009年高考福建卷理科第 13題）過(guò)拋物線/=2PM 0）的焦點(diǎn)E作傾斜角為4了的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，若線段月

8、3的長(zhǎng)為8,貝產(chǎn)工解 由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式為1即口t得，qJs ,解得例7 （2010年高考遼寧卷理科第 20題）已知橢圓鏟的右焦點(diǎn)為,姿過(guò)嚴(yán)且傾斜角為 朝的直線/與橢圓相交于分歧兩點(diǎn)已知羽=2麗。（1）求橢圓的離心率；（2）若AB =14 ,求橢圓方程。2 一e cos 60 =解（1）這里a=60金=2,由定理1的公式得2+1,解2舊匚一得 3。e =一#6= 60, AB =（2）將 3, 4 ,代入焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式得, TOC o 1-5 h z 5=5,即二下一所以2（M-1） 二%，又_ 2”=5,設(shè)白=況張，代入得人1,所以23二十J/“二1=5,故所求橢圓方程為 9 5。例

9、8 （2007年重慶卷第16題）過(guò)雙曲線丁一丁 = 4的右焦點(diǎn)尸作傾 斜角為105的直線，交雙曲線于 R。兩點(diǎn)，則附H殖的值為解 易知尸均在右支上，因?yàn)槔?&=2”系，離心率 = ,點(diǎn)準(zhǔn)z? y/o.距 C ,因傾斜角為1。5，所以八75,由焦半徑公式得，I網(wǎng)聞=ep ep寸44S/5 = =1一唐。日 1 +疹 cos8 1 coJg l-2cC75 1-（1 + cos150。3。例9 （由2007年重慶卷第16題改編）過(guò)雙曲線丁一丁 = 4的右焦 點(diǎn)E作傾斜角為15CT的直線，交雙曲線于P兩點(diǎn)，則研尸例的值為解 因?yàn)?離心率”0,點(diǎn)準(zhǔn)距0二1=正，因傾斜角為150所以*30。O注意到強(qiáng)尸分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得，cos 9 1 ecos+l日-1 28330-】=8+匕=1例10 （2007年高考全國(guó)卷I ）如圖 6,已知橢圓3左、右焦點(diǎn)分別為 “片，過(guò)理的直線交橢圓于 左兩點(diǎn)，過(guò)瑪?shù)闹本€ 交橢圓于月兩點(diǎn)，且AC.LBDO求四邊形面積的最小值。圖6. 1解由方