不同余項型泰勒公式的證明與應用講解

1、不同型余項泰勒公式的證明與應用TheproofsandapplicationsofTaylorformulawithdifferenttypesofremainders專業(yè):作者:指導老師:湖南理工學院數(shù)學學院二o四年五月岳陽湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文 摘要本文介紹了不同型余項的泰勒公式，并給出了各種余項泰型勒公式的證明，重點探討了不同余項型泰勒公式的應用.關(guān)鍵詞：余項；泰勒公式；證明；應用AbstractInthispaper,weresearchdifferenttypesofTaylorformulas，andgivetheproofofvariousTaylorr

2、emainderformula,focusontheapplicationsofthedifferenttypesofTaylorremainderformula.Keywords：Remainderterm；Taylorformula；Proof；Application目錄摘要I關(guān)鍵詞ABSTRACII0引言1泰勒公式簡介1帶四種余項泰勒公式的證明2TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 帶佩亞諾型余項泰勒公式的證明2帶拉格朗日型余項泰勒公式的證明.3 HYPERLINK l bookmark68 o Current D

3、ocument 帶積分型余項泰勒公式的證明4帶柯西型余項泰勒公式的證明5泰勒公式的應用53.1帶佩亞諾型余項泰勒公式的應用.53.2帶拉格朗日型余項泰勒公式的應用.93.3帶積分型余項泰勒公式的應用12帶柯西型余項泰勒公式的應用.13參考文獻15湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁0引言泰勒公式在數(shù)學運算中起著非常重要的作用利用帶有余項的泰勒公式可以簡單的解決一些復雜問題，所以對泰勒公式的綜合性研究對數(shù)學分析有重要意義泰勒展開有多種類型余項型，而根據(jù)處理不同問題的需要可以選擇不同的余項的類型.我們所學過的主要有：帶佩亞諾型余項、帶拉格朗日型余項、帶積分型

4、余項，帶柯西型余項的泰勒公式1泰勒公式簡介泰勒公式可以用若干個連加式來表示一個函數(shù)，這些相加項可以由函數(shù)在某一點(或者加上在臨近的一個點的n+1次導數(shù))的導數(shù)求得.但對于正整數(shù)n,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上有連續(xù)n階可導，還滿足(a,b)n+1階可導則可任取xea,b是一定點,則對任意xea,b下式成立f(x)=f(a)+2(x-a)+(x-a)2+f(n)(a)(x-a)n+R(x)1!2!n!nR(x)表示余項，下面舉出幾個我們常用的帶余項的泰勒公式展開:n1)-x2xneaxex=1+x+.+xn+1+R(x).2!n!(n+1)!n丿2)=1+x+x2+.+xn+R(x).n3)

5、vx2x4cosx=1+一_4!2!x6-可+-+(14)x3sinx=x+3!x5-.+(1)n5!x2n+1(2n+1)!+Rn(x).5)(1+x)“1+ax+a(a-1)x2+.+a(a-1).(a-n+1)xn+R(x)n!2!n!n2帶四種余項泰勒公式的證明面我們給出幾種大家常見的帶余項泰勒公式的證明.帶佩亞諾型余項泰勒公式的證明定理1若函數(shù)f在點x0存在直至n階導數(shù)，則有f(x)7(x)+o(x-x0)n)，即TOC o 1-5 h zf(x)f(x)+f(x)(x-x)+fx)(x-x)2+.+f()(x_x(x-x)n+o(x-x)n)(1)n!02!0n!00.證明設(shè)R(x

6、)f(x)+T(x),Q(x)(x一x)nnnn0現(xiàn)在只需證lim0.xtx0Qlx丿由關(guān)系式fk(x)T(k)(x),n1,2,.TOC o 1-5 h z0n0可知R(x)R(x).R(n)(x)0.n0n0n0并容易知Q(x)Q(x).Q(n)(x)0,Q(n)(x)n!.n0n0n0n0因為f(n)(x)存在，0所以在點x的某領(lǐng)域U(x)內(nèi)f存在n-1階導函數(shù)f(x).于是，當00 xeU(x)且xTx,允許連續(xù)使用洛必達法則n-1次，得到00R(x)R(x)limnlimnxtQ(x)xtxQ(x)n0n十R(n-1)(x)=limnxTx0)(x)0n=limXTx0f(n-1)(

7、x)-f(nT)(x)-fn(X)(X-X)004n!(X-X)0=limn!nXTX0=0f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)-(x)0X-X0定理所證的(1)式稱為函數(shù)f在點X0處的泰勒公式,Rn(x)=f(X)-Tn(x)則稱為泰勒公式的余項，形如0(X-X)n)的余項稱為佩亞諾型余項.即(1)又稱帶有佩亞諾型余項的泰0勒公式2.2帶拉格朗日型余項泰勒公式的證明定理2如果一個函數(shù)在a,b上有直至n階的連續(xù)導數(shù)，在(a,b)之間有(n+1)階的導數(shù)，則任意給出的x，xea,b，至少有一點gw(a,b)，使得：f(x)fn(x)f(X)二f(X0)+f(X0)(X-X0)+寺(X-X0)

8、2+令(X-X0)n+(X-X0)n丄證明設(shè)輔助函數(shù)f(n)(t)nF(t)=f(x)-f(tf(t)(x-1+(x-1)即證明的2)式為F(X0)-特G(X0)或者S二吒加則F(t)與6(t)在x,x上連續(xù)，在(x,x)內(nèi)可導.00(t)=-e(X-t)n,n!nG(t)二-(n+1)(x-t)豐0.因為F(x)=G(x)=0，所以由柯西中值定理證明得F(X。)=F(X。)-F(x)=F(g)=f(n+1*g)G(X0)G(X0)-G(x)-g(g)(n+1)!湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁其中g(shù)w(x0,x)u(a,b),(2)式則稱為泰勒公式

9、，該泰勒公式的余項為Rn(x)=f(x)-Tn(x)=(x-x0)n+1，=x0+9(x-x0)，Rn(x)=f(x)-Tn(x)(n+：)(x-x0)n+1,g=x0+9(x-x0).(091)則稱為拉格朗日型余項，所以該泰勒公式稱為拉格朗日型泰勒公式2.3帶積分型余項泰勒公式的證明定理3若函數(shù)f(x)在點x的領(lǐng)域U(x)內(nèi)有連續(xù)的n+1階導數(shù)，則VxuU(x),0f(x)=f(xo)+晉(x-xo)+n!f(n)(xo)(x-xo)n+R(x)-其中R(x)nJxf(+1)(s)(x-s)nds為積分型余項，且n!x00(x-x)n+1R(x)=0J1fn+1(x+t(x-x)(1-t)n

10、dtnn!0003)證明使用Newton-Leibniz公式和使用分部積分法，得f(x)=f(x)+Jxf(t)dt=f(x)-Jxf(t)d(x-t)00 x0 x0=f(x)+f(x)(x-x)+Jxf(x-t)dt0001x0=f(x)+f(x)(x-x)-Jxf(t)d(x-1)20002x0011x=f(x)+f(x)(x-x)+f(x)(x-x)2+Jxf(t)d(x-1)2dt0002002xx0f(x)+f(x)(x-x)+f(x)(x-x)2+.+fn(x-x)n+000200n!0+Jxf(n+1)(t)(x-t)ndtn!x0然后做變量代換s=x+1(x-x)則得到式(3

11、).002.4帶柯西型余項泰勒公式的證明定理4若函數(shù)f(x)在點x的領(lǐng)域U(x)內(nèi)有連續(xù)n+1階導數(shù)，則VxeU(x)，有0f(x)=f(x)+fW)(x-x)+.+-2(x-x)n+R(x).01!0n!0(091)特別當x=0，0則又有簡其中R(x)=f(n+1)(x+9(x-x)(1-9)n(x-x)n+1,nn!000單形式R(x)=f(n+l)(9x)(l-9)nxn+1n!(090，設(shè)輔助函數(shù)0(t)=f(x)-才八;(xt),k!k=0此時令對0(t)與申(t)應用柯西中值公式，知存在ge(0,x)使得n!R(x)=0(x)-0(0)=0(g)=f(n+1)(g)(x-g)nxn

12、+10(x)-0(0)0(g)此時，令g=9x(091).即得到式(4).3泰勒公式的應用帶佩亞諾型余項泰勒公式的應用3.1.1利用佩亞諾余項泰勒公式判別函數(shù)的極值應用帶有皮亞諾型余項的泰勒公式，將函數(shù)的極值的第二充分條件進行推廣，借助高階導數(shù)，可得到極值的另一種判別法.若f(x)在點x0及鄰域U(x0)內(nèi)具有n階連續(xù)導數(shù)，且1)f(x)=f(x)二=f(n-1)(x)=0,f(n)(x)豐0，0000若n為奇數(shù)，則x不是極值點;0(2)若n為偶數(shù)，則當/(n)(x)0,f(x)為極小值.0000證明由已知條件及泰勒公式有f(x)=f(x)+fx2(x-x)n+o(x-x)n，貝V0n!00f

13、(x)-f(x)=-2(x-x)n+o(x-x)n0n!00由于f(n)(x)豐0，則存在點x的某一鄰域U(x)，使得xeU(x)時式(1)等號右端由第0000一項符號決定若n為奇數(shù)，在點x的某一鄰域U(x)內(nèi)，當xx時，(x-x)n0；0000若n為偶數(shù)且f(n)(x)0時，有f(x)-f(x)0即對一切xeU(x)f(x)0，f(x)為極小值.000當xx，(x-x)n0，即x的左右側(cè)，式(1)的右端異號，所以x是非極值0000點.例1求函數(shù)f(x)=x4(x+2)3的極值.8解由于f(x)=x3(x+2)2(7x+8)，所以x=0,x=-2,x=-7是函數(shù)的駐點，求f(x)8的二階導數(shù)f

14、(x)=6x2(x+2)(7x2+16x+8)得f(0)=0,f(-2)=0,f(-7)0，所以f(x)在x=-時取得極大值.73.1.2未定極限與無窮小的應用在利用泰勒公式求極限時，首先看清楚所求極限的形式，然后根據(jù)所學的再來對極限進行泰勒展開.例2求極限limCSx-曠2.20sin4x極限中分母的次數(shù)是4,現(xiàn)在把cosx，e-7展開到x的4次冪,cosx=1一x2+x4+o(x4)2!4!x2x21x2e2=1+()2+o(x4)22!2故cosx一e2limxtosin4x(丄x4+0(x4)=lim4!80 x4112.例3求極限lim；1+x+、1x一2.5x2分析因為分子中有根號

15、項，可以運用洛必達法則來解決問題，但是步驟繁瑣只要我們使用泰勒公式來求解，問題就簡單了.解將耳1+x和1x在x=0處點的麥克勞林公式展開x2項得J1+x=1+o(x2)和心1x=1+o(x2).28281+x+x2limTOC o 1-5 h zxtOx2x2(I+x1)+(：1x1)=limxtOxx2xx2(1+o(x2)+(1+o(x2)=lim2_828xtOx2=lim+o(x2)8xtOx2例4確定a的值，使得函數(shù)xx2+x2ex3sinx+2sinxcosx與x為同階無窮小.湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文6)第 頁共15頁6)第 頁共15頁a=3因為x-x2+x

16、2ex-3sinx+2sinxcosx=x-x2+x2(1+x+o(x3)-3(x-+o(x3)+(2x-8-+O(x3)266=6x3+o(x3).例5已知極限limx-arCtanx=c，其中k,c為常數(shù)，且c豐0，求k,c.xt0 xkx-arctanxlimxtO因為c為常數(shù)，所以k-3二0,xk1-=limxt0kxk-1x2=lim!xt0kxk-11=limlxt0kxk-3=lim-.xt0kxk-3即k=3，因此c=33.1.3求行列式的值要用泰勒公式余項來計算行列式的基本思路：首先要知道所求行列式的基本特點，構(gòu)造與該行列式相對應的行列式函數(shù)，然后再把這個行列式函數(shù)在某點按泰

17、勒公式展開，最后求出行列式函數(shù)的各階導數(shù)值即可.例66求n階行列式xyyyzxyyD=.z.zxyzzzzx5)解記f(x)=D按泰勒公式在z處展開:n，f(x)=f(z)+罟(x-z)+埒(x-z)2+斗n1!2!n!湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文第 #頁共15頁第 頁共15頁第 頁共15頁易知D=kz-y0z-y7)由(7)得，f(z)=z(z-y)k-1,k=1,2,.,n時都成立根據(jù)行列式求導的規(guī)則，有kn-2TOC o 1-5 h zf(x)=nf(x),f(x)=(n-l)f(x)，廣(x)=2f(x),f(x)=1(因為/(x)=x).n

18、n-1nTn-22111于是f(x)在x=z處的各階導數(shù)為nf(z)=f(z)|=nf(z)=nz(z-y)n-2nnx=zn-1f(z)=f(z)|=nf(z)=n(n-1)z(z-y)n-3nnx=zn-1fn-1(z)二fn-11二n(n-1”2f(z)二n(n-1)2znnx=z1f(n)(z)=n(n-1”2n把以上各導數(shù)代入(6)式中,有nn(n-1)f(x)=z(z-y)n-1+z(z-y)n-2(x-z)+z(z-y)n-3(x-z)2n1!2!n(n-12)/、n(n-1”21/、+z(x-z)n-1+(xz)n.若z工y,有f(x)=z(x-y)n-y(x-z)nnz-y(

19、n-1)!n!若z二y,有/(x)=(x-y)n-1x+(n-1)y,n帶拉格朗日型余項泰勒公式的應用3.2.1證明中值公式例7設(shè)f(x)在區(qū)間上三階可導，試證3ce(a,b)使得f(b)=f(a)+f(乎)(b-a)+右f(c)(b-a)3.證明設(shè)下式成立的實數(shù)f(b)f(a)f(2)(ba)24f(c)(ba)3=0現(xiàn)在就要證明3ce(a,b),使得k=f(c)(10),令11)g(x)-/(x)-/(a)-/(2)(x-a)-24(x-a)3則g(a)-g(b)-0,由羅爾定理，e(a,b)使得g(g)-0由(11)式得12)f(G-f(學)+f(學)(竽)-8(a-g)2-02228上

20、式是關(guān)于k的方程，則f(g)在點圧處的泰勒公式2k1f(g)-f(寧)-廠(于)(子)+2小)(子)213)3ce(a,b)，比較(12)(13)式有(a-g)2-f(c)(a-g)2，則k-f(c)，從而得到88(8).322證明不等式和等式在證明不等式的問題中，我們經(jīng)常遇到題中的有高階導數(shù)，我們就可以選擇合適的泰勒展開點，而且展開的最高階導數(shù)不得超過題中給出的最高階導數(shù)，最后用高階導數(shù)的放大有界性進行放縮，得到要證明的不等式.對泰勒公式的展開點x和被展開點的x0的選擇是有講究的，因為展開的階數(shù)和項數(shù)都可能根據(jù)需要而改變.例8設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上二階可導，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)取到最

21、大值-，且2二階導數(shù)滿足If(x)l2，證明If(0)+f(1)12證明設(shè)xe(0,1)為函數(shù)最大值點，則f(x)-1且f(x)-0把函數(shù)f(x)在x-0,10020處的值用x處的帶拉格朗日余項的泰勒公式表示，且最高導數(shù)為2，則0f(0)-f(x)+f(x)(0-x)+1f臨)(0-x)2-1+1f臨)x2,ge(0,x),000210221010f(1)-f(x)+f(x)(1-x)+1f(g)(1-x)2-1+1f(g)(1-x)2,ge(x,1).000220222020于是If(0)I+If(1)I1+x2+(1-x)21+1=2不等式得證.00例9證明limnsin(2兀en!)-2

22、兀xT8證明由泰勒公式，可知湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁n11e=lk+時e00nhe=丄+1+k=0k!(n+1)!(n+2)!1e0n+1,0e1,n+1將上述兩式兩邊相減，得e0.=+e0.(n+1)!n+1(n+1)!(n+2)!n+1e0n=1+e0n+1(n+2)!lime0”=1+lim-e0n+1x*xt(n+2)!n+12兀en!=2兀(1+111+.+1!2!于是=2kk+王eq,(n+1)!k=n!(1+丄+丄+.+丄),1!2!n!nsin(2兀en!)=nsin丄en+1=2兀弋ee”sin(二ee”)/(二ee,)n+

23、1n+1n+1limnsin(2兀en!)=lim2兀e0nsin2e0n)/(丄e0n)x*xTsn+1n+1n+1=2兀3.2.3計算近似值的應用一些數(shù)值的近似計算和函數(shù)的近似計算式可以利用泰勒公式得到函數(shù)的近似計算式利用f(x)麥克勞林展開得到f(0)fn(0)f(x)心f(0)+f(0)X+2rX2+Xnn!誤差是余項R(x)n湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁例10計算lg11的值,準確到10-5.解lg11=lg(1O+1)=1+lg(1+10)=1+ln10ln(1+10)因為x2x3xnxn+1ln(1+x)x+(1)n1+(1)n23

24、n(n+1)(1+0 x)n+100-1要使|(-1)n10-(n+1)|10-n+1105-(n+1)=104-n,取n=4,故lg11=1+(-+)1.041396ln10102003000400003.3帶積分型余項泰勒公式的應用3.3.1定積分計算當題目或者問題條件出現(xiàn)具有二階導二階以上的連續(xù)導，可以考慮泰勒公式.例11計算f1ex(1-x)ndx(ngN+)0解設(shè)f(x)=ex貝yf(n+嘰x)=ex由公式有f1ex(1-x)ndx=n!(ei一eo一eol一.一eoln)on!=n!(e一2一-.一丄)2!n!.例12計算f1xm(1-x)ndx0.j1Xm(1-X)ndx=jlX

25、m+n+im!丿d,(1-x)ndx(m+n+1)!,m!=n!_(m+n+1)!n!m!(m+n+1)!3.4帶柯西型余項型泰勒公式的應用3.4.1初等函數(shù)的冪級數(shù)的展開式中的應用例13證明若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,+s)內(nèi)可導，且limf(x)+f(x)=0，則xslimf(x)=0證明令F(x)=f(x)ex,G(x)=ex，顯然，G(x)豐0已知limf(x)+f(x)=0,xs即ve0,3A0,VxA，有If(x)+f(x)lA，根據(jù)柯西中值定理，有F(x)-F(A)=F(C)G(x)-G(A)=G(C)f(x)f(A)eA-x=f(x)exf(A)eA=f(c)+f(c)1-eA-

26、xex-eA或If(x)IA，VxA，有eA-xe與eA-xA，有1If(x)IIf(A)Ie+2e=(If(A)I+2)8,即limf(x)=0 xT8例14設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上可微，且a與b同號，證明：玉w(a,b)，使得(1)2gf(b)-f(a)=(b2-a2)f程).湖南理工學院本科畢業(yè)論文湖南理工學院本科畢業(yè)論文第 頁共15頁第 頁共15頁b(2)f(a)-f(b)=g(In-)廣化).a證明(1)將原不等式變形為f-f)二學知，只要引入輔助函數(shù)g(x)二x2.由TOC o 1-5 h zb2一a22g于f(x)，g(x)在(a,b)上滿足柯西中值定理條件，所以北w(a,b)f(b)f(a)二f憶)b2一a22g即2gf(b)一f(a)二(b2-a2)f生).(2)將原不等式變形為f(b)一f(a)二半知，只要引入輔助函數(shù)g(x)=lnlxI，InIbI-lnlaI1由于f(x)，g(x)在(a,b)上滿足柯西中值定理條件，所以北w(a,b)，使f(b)一f(a)f代)”)lnlbI-lnlaI二T)，即bbf(b)-f(a)=7lnIIf(g)Mln(-)fg)aa總結(jié)從大量的應用中發(fā)現(xiàn)很多問題用泰勒公式去解決很容易，也很簡單，同時靈活巧妙的應用泰勒公式卻不容易.當然，不同余項的泰勒公式之間是可以轉(zhuǎn)換的，但是，不同的余項型在解決不同的類型的問題時有