正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近

1、 總結(jié)2 連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近1 連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式2.4 正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近1 2.4 正交多項(xiàng)式和最佳平方逼近正交多項(xiàng)式是數(shù)值計(jì)算中的重要工具，這里只介紹正交多項(xiàng)式的基本概念、某些性質(zhì)和構(gòu)造方法。離散情形的正交多項(xiàng)式用于下節(jié)的數(shù)據(jù)擬合，連續(xù)情形的正交多項(xiàng)式用于生成最佳平方逼近多項(xiàng)式和下章的高斯型求積公式的構(gòu)造。它們?cè)跀?shù)值分析的其他領(lǐng)域中也有不少應(yīng)用。21 連續(xù)區(qū)間上正交多項(xiàng)式 連續(xù)區(qū)間上的正交多項(xiàng)式的概念與離散點(diǎn)集上的正交多項(xiàng)式概念相似，只要將內(nèi)積的定義作相應(yīng)的改變 。定義2.10 函數(shù)f (x)和 g (x)在連續(xù)意義下的內(nèi)積定義為 （1）其中的 (x)0為給定的權(quán)函數(shù)。 按連

2、續(xù)意義下的內(nèi)積，若多項(xiàng)式組k(x)k=0,n 滿足條件(1),則稱它為在區(qū)間a,b 上的帶權(quán) (x)的正交多項(xiàng)式序列。3事實(shí)上，例2.17 三角函數(shù)組上關(guān)于權(quán)函數(shù)1的正交組。4正交多項(xiàng)式的三項(xiàng)遞推公式: 是首項(xiàng)系數(shù)為1的i次多項(xiàng)式，則 滿足遞推公式:5下面給出幾種常用的正交多項(xiàng)式. (1) 勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式.正交多項(xiàng)式記為 ，由三項(xiàng)遞推公式得(2.4.7)它們是在區(qū)間 -1,1上的帶權(quán) (x)=1的正交多項(xiàng)式.它們的根都是在開區(qū)間 (-1,1)上的單根,并且與原點(diǎn)對(duì)稱.6 (2)第一類Chebyshev多項(xiàng)式. 第一類Chebyshev多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出.它們是在區(qū)間-

3、1,1上的帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式.(2.4.8)7它們的根都在開區(qū)間（-1，1）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱。前幾個(gè)第一類Chebyshev多項(xiàng)式如下:8（3）拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式。 Laguerre多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間0,+)上帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式。前幾個(gè)Laguerre多項(xiàng)式如下: 9它們的根都是在區(qū)間（0，+）上的單根。10(4) Hermite 多項(xiàng)式Hermite多項(xiàng)式可由三項(xiàng)遞推公式給出。它們是在區(qū)間（-，+）上帶權(quán) 的正交多項(xiàng)式。11它們的根都在區(qū)間（-，+）上的單根，并且與原點(diǎn)對(duì)稱前幾個(gè)Hermite多項(xiàng)式如下：122 連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近 連續(xù)函數(shù)空間

4、Ca,b上定義了內(nèi)積（2.4.6）就形成了一個(gè)內(nèi)積空間。在Rn空間中任一向量都可用它的線性無(wú)關(guān)的基表示。類似地，對(duì)內(nèi)積空間任一元素f (x) Ca,b，也可用線性無(wú)關(guān)的基表示。13例如 函數(shù)組,其中線性無(wú)關(guān)。定理2.9 在a,b上線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的Gramer行列式Gn，其中14特別地，它的Gramer行列式Gn是對(duì)角矩陣。15函數(shù)逼近:用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最小(不同的度量意義)2.函數(shù)逼近問題的提出下面討論在區(qū)間a,b上 一般的最佳平方逼近問題。 下面我們討論在區(qū)間a, b上函數(shù)的逼近問題。16則稱 是 f (x)在 中的最佳平方逼近函數(shù)。對(duì)于f (x)C

5、a,b,若存在 ，使得設(shè)是Ca , b中的線性無(wú)關(guān)函數(shù),記定義2.12 (最佳平方逼近函數(shù))(2.4.11)17討論最佳平方逼近函數(shù)的存在性，唯一性及計(jì)算方法。(1)存在性，唯一性 原問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)分知識(shí),它有穩(wěn)定解18取得極小值。19這是關(guān)于aj(j=0,1,n)的線性方程組，稱為法方程. 簡(jiǎn)記為 Ga=d. 其展開形式為(2.4.13)20由(2.4.12)知(2.4.14)誤差與基函數(shù)正交21事實(shí)上, 非負(fù)誤差與基函數(shù)正交22(3) 平方誤差總結(jié)上述討論則有定理2.10-2.12.23H幾何解釋：24證： 法方程組的系數(shù)矩陣為25定理2.12 （最佳平方逼近）(2) 函數(shù)類(2.4.15

6、)26考慮特殊情形-用多項(xiàng)式1,x,x2,xn,作n次最佳平方多項(xiàng)式p*(x)逼近步驟/方法(權(quán)函數(shù)為時(shí)，a,b=0,1)解法方程組 Ga=d27法方程Ga=d中的系數(shù)矩陣為稱之為Hilbert 矩陣。28說(shuō)明: 上式中矩陣G 稱為Hilbert矩陣,是一個(gè)著名病態(tài)矩陣（見第4章）,即當(dāng)某個(gè)元素有微小變化時(shí),引起解的變化很大,且當(dāng)n 越大時(shí)，病態(tài)愈嚴(yán)重。求Ga=d比較準(zhǔn)確的計(jì)算解就很困難.當(dāng)n很大時(shí)它的精度便由舍入誤差影響而迅速惡化。補(bǔ)救的辦法就是取正交多項(xiàng)式作基。改進(jìn):用正交多項(xiàng)式作最佳平方逼近.29(2)用正交多項(xiàng)式作最佳平方逼近 方法（步驟）： 求內(nèi)積： 解法方程組30平方誤差 優(yōu)點(diǎn)：用正交多項(xiàng)式求最佳平方逼近多項(xiàng)式，解法方程組變得簡(jiǎn)單了。 31工程中常用的五種重要的正交多項(xiàng)式32在-1，1上3次最佳平方逼近多項(xiàng)式。例2.18解：法方程組為33平方誤差34法方程組為35 本節(jié)介紹了最佳平方逼近的基本理論(即最佳