2021-2022學(xué)年廣東省廣州市等五校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年廣東省廣州市等五校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則z是（）ABCDA【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可；【詳解】解：故選：A2已知直線平面，直線平面，則（）A若與垂直，則與一定垂直B若與所成的角為30，則與所成的角也為30C是的充分不必要條件D若與相交，則為一定是異面直線C【分析】利用線面垂直判定定理可判斷A選項(xiàng)；利用線面角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行的判定定理和性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)已知條件直接判斷與的位置關(guān)系，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，當(dāng)與垂直時(shí)，由線面垂直判定定理可得與不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由線面角的定義可知，

2、與所成的角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角，若與所成的角為，則與所成的角滿足，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，即，若，因?yàn)?，則與平行或異面，即.所以，是的充分不必要條件，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)， 若與相交，則與相交或異面，D錯(cuò).故選：C.3集合A=，從A，B中各取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于5的概率是（）ABCDB【分析】依據(jù)古典概型公式解之即可.【詳解】從A，B中各取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和可能為，共有6個(gè)可能的結(jié)果，其中兩數(shù)之和等于5的有2個(gè)，則從A，B中各取一個(gè)數(shù)，這兩數(shù)之和等于5的概率是故選：B4五月初，受疫情影響線下課暫停，某校組織學(xué)生居家通過(guò)三種方式自主學(xué)習(xí)，每種學(xué)習(xí)方式人數(shù)分布如圖1所示，解封

3、后為了解學(xué)生對(duì)這三種學(xué)習(xí)方式的滿意程度，利用分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意率調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2所示 則下列說(shuō)法中不正確的是（）A樣本容量為240B若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C總體中對(duì)方式二滿意的學(xué)生約為300人D樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人B【分析】對(duì)A，根據(jù)總?cè)藬?shù)抽取4%的同學(xué)進(jìn)行計(jì)算判斷即可；對(duì)B，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算樣本總體滿意度進(jìn)行判斷即可；對(duì)C，根據(jù)方式二中總?cè)藬?shù)和樣本滿意度計(jì)算判斷即可；對(duì)D，根據(jù)滿意率計(jì)算即可【詳解】對(duì)A，由餅圖可得總?cè)藬?shù)為，故樣本容量為，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，滿意的人數(shù)為，故滿意度為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，總體中對(duì)方式二滿意的學(xué)生約為人，故C正確

4、；對(duì)D，樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為人，故D正確；故選：B5ABC的三內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a、b、c，設(shè)向量，若，則角C的大小為（）ABCDB【分析】因?yàn)?，所以，再根?jù)余弦定理化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：B.6已知三棱錐，其中平面，則該三棱錐外接球的表面積為（）ABCDC【分析】根據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合球的性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意設(shè)底面的外心為，O為球心，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕O(shè)是中點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因此，因此四邊形是平行四邊形，故，由余弦定理，得，由正弦定理，得，所以該外接球的半徑滿足，故選：C關(guān)鍵點(diǎn)睛

5、：運(yùn)用正弦定理、余弦定理是解題的關(guān)鍵.7在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則（）ABCDB【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，得到，再根據(jù)，得到，再利用向量的線性運(yùn)算求解.【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，則是的中點(diǎn)，且，又，所以，即，所以，又，故選：B8在銳角中，角，的對(duì)邊分別為，為的面積，且，則的取值范圍為（）ABCDC【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍【詳解】解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡(jiǎn)得，又，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在

6、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，即的取值范圍是故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，所以本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)已知及求出的取值范圍.二、多選題9下列命題正確的是（）A若向量滿足，則為平行向量B已知平面內(nèi)的一組基底，則向量也能作為一組基底C模等于個(gè)單位長(zhǎng)度的向量是單位向量，所有單位向量均相等D若是等邊三角形，則ABD【分析】由平行向量定義可知A正確；由基底的要求可知B正確；由相等向量定義知C錯(cuò)誤；由向量夾角的定義知D正確.【詳解】對(duì)于A，方向相反，是平行向量，A正確；對(duì)于B，為一組基底，不共線，也不共線，也可以作為一組基底，B正確；對(duì)于C，雖然單位向量模長(zhǎng)相等，但方向可以不同，故不是

7、所有單位向量均相等，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，為等邊三角形，D正確.故ABD.10一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體個(gè)表面上分別標(biāo)有數(shù)字，拋擲該正四面體兩次，記事件為“第一次向下的數(shù)字為或”，事件為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A事件發(fā)生的概率為B事件與事件互斥C事件發(fā)生的概率為D事件與事件相互獨(dú)立AD【分析】結(jié)合古典概型、互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】拋擲該正四面體兩次，基本事件有種，依題意：事件為“第一次向下的數(shù)字為或”，事件為“兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，所以, A選項(xiàng)正確.若兩次投擲向下的數(shù)字都為，則事件同時(shí)發(fā)生，所以與不互斥，B選項(xiàng)錯(cuò)

8、誤.事件表示：“第一次向下的數(shù)字為或，且兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，包含的事件為：，共種，所以事件發(fā)生的概率為.事件表示：“第一次向下的數(shù)字為或，且兩次向下的數(shù)字之和為偶數(shù)”，包含的事件為：，共種，所以事件發(fā)生的概率為.事件包含的事件為，共種，所以，所以，即事件與事件相互獨(dú)立，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD11小明用某款手機(jī)性能測(cè)試APP對(duì)10部不同品牌的手機(jī)的某項(xiàng)性能進(jìn)行測(cè)試，所得的分?jǐn)?shù)按從小到大的順序（相等數(shù)據(jù)相鄰排列）排列為：81，84，84，87，y，93，96，96，99，已知總體的中位數(shù)為90，則（）AB該組數(shù)據(jù)的均值一定為90C該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定為84和96D若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小

9、，則ABD【分析】依題意可得，即可求出平均數(shù)，即可判斷A、B，再利用特殊值判斷C，利用基本不等式判斷D；【詳解】解：因?yàn)榭傮w的中位數(shù)為90，所以，所以該組數(shù)據(jù)的均值為，故A正確，B正確，當(dāng)時(shí)，眾數(shù)為84，90，96，當(dāng)，時(shí)，眾數(shù)為84，87，93，96，故C錯(cuò)誤；要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，即方差最小，即最小，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確故選：ABD12如圖，正方形ABCD-A1B1C1D1邊長(zhǎng)為1，P是 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（）ABP的最小值為B 的最小值為C當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐 的體積不變D以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面 的交線長(zhǎng)為ACD【分析】當(dāng)時(shí)，BP最小,結(jié)合

10、正三角形性質(zhì)，求得B到直線的距離，判斷A;建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量，設(shè)求得點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，求得PA+PC的最小值，判斷B;根據(jù)當(dāng)P在直線A1D上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的底面積以及高的變化情況，可確定體積不變沒判斷C;根據(jù)題意確定以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面 的交線即為的內(nèi)切圓，即可求得交線長(zhǎng)，判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，BP最小，由于到直線的距離對(duì)對(duì)于B,解法一：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，以 分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè),表示平面上之間的距離，表示平面上之間的距離，錯(cuò)解法二：將平面翻折到平面上，如圖，連接AC，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)取最小值A(chǔ)C，在三角形ADC中，,，B錯(cuò)

11、誤；對(duì)于C,平面，平面到平面的距離為定值,為定值，則為定值，對(duì)對(duì)于D，由于平面，設(shè)與平面交于點(diǎn)，設(shè)以為球心，為半徑的球與面交線上任一點(diǎn)為，在以為圓心，為半徑的圓上，由于為正三角形，邊長(zhǎng)為 ，其內(nèi)切圓半徑為 ，故此圓恰好為的內(nèi)切圓，完全落在面內(nèi)，交線長(zhǎng)為正確故選：ACD本題考查了空間幾何中的距離以及距離和的最值問(wèn)題，以及三棱錐體積和幾何體中的軌跡問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，要求充分發(fā)揮空間想象能力，解答時(shí)要能借助于幾何體的直觀圖，明確空間的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，靈活應(yīng)用空間向量以及相關(guān)相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.三、填空題13若復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為_1【分析】設(shè)，由條件可得，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可求得最小值.【詳解】設(shè)，

12、由可得，軌跡是以原點(diǎn)為圓心以2為半徑的圓，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)到的距離，則最小值為，故114甲、乙獨(dú)立地解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.8，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.6，那么其中至少有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是_0.92【分析】先求兩個(gè)都沒有解決的概率，然后由對(duì)立事件的概率可得.【詳解】解：由題意可得，甲、乙二人都不能解決這個(gè)問(wèn)題的概率是那么其中至少有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是1-0.08=0.92.故0.9215如圖，三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)之比為，記三棱錐體積為，三棱臺(tái)的體積為，則_【分析】利用相似關(guān)系確定上下底面面積的比值，將棱錐轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)，結(jié)合體積公式求得兩個(gè)幾何體的體積

13、，即可求解.【詳解】由三棱臺(tái)的上、下底邊長(zhǎng)之比為，可得上、下底面的面積比為，設(shè)棱臺(tái)的高為，則點(diǎn)到的距離也為，上底面面積為，則下底面面積為，則.故答案為.16在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型，并要求同學(xué)們將該四棱錐切割成三個(gè)小四棱錐.某小組經(jīng)討論后給出如下方案：第一步，過(guò)點(diǎn)作一個(gè)平面分別交，于點(diǎn)，得到四棱錐；第二步，將剩下的幾何體沿平面切開，得到另外兩個(gè)小四棱錐.在實(shí)施第一步的過(guò)程中，為方便切割，需先在模型表面畫出截面四邊形，若，則的值為_.【分析】解法一：以AC、BD交點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線OA、OB、OP為x、y、z軸正方向構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而寫出、坐標(biāo)，可

14、得，由四點(diǎn)共面有，設(shè)，求值即可.解法二：利用平面的性質(zhì)作出點(diǎn)G的位置，再由平面幾何的知識(shí)即可得解.【詳解】解法一：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)， (a、b均不為0)，則，由題意四點(diǎn)共面，有，其中，設(shè)，由方程組，即，解得.故答案為.解法二：連接AC,BD交于點(diǎn)O，則O是底面的中心，連接PO，PO垂直于底面ABCD，連接AF，交PO于H，可得H為PO的三等分點(diǎn)（靠近O）,連接EH并延長(zhǎng)，與PD的交點(diǎn)即為G，在平面內(nèi)作出三角形PBD，作,垂足分別為S，T，如圖，由題意，,所以，設(shè)，則，又由三角形相似得，,所以，解得.解得：故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用四點(diǎn)共面有且，再設(shè)，應(yīng)用空間向

15、量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示，列方程組求參數(shù).四、解答題17把一個(gè)棋子放在的頂點(diǎn)，棋子每次跳動(dòng)只能沿的一條邊從一個(gè)頂點(diǎn)跳到另一個(gè)頂點(diǎn)，并規(guī)定：拋一枚硬幣，若出現(xiàn)正面朝上，則棋子按逆時(shí)針方向從棋子所在的頂點(diǎn)跳到的另一個(gè)頂點(diǎn)；若出現(xiàn)反面朝上，則棋子按順時(shí)針方向從棋子所在的頂點(diǎn)跳到的另一個(gè)頂點(diǎn).現(xiàn)在拋次硬幣，棋子按上面的規(guī)則跳動(dòng)次.(1)列出棋子從起始位置開始次跳動(dòng)的所有路徑（用頂點(diǎn)的字母表示）；(2)求次跳動(dòng)后，棋子停在點(diǎn)的概率.(1)答案見解析(2)【分析】（1）列舉出所有路徑即可；（2）確定所求事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】(1)解：根據(jù)題意可知，棋子從

16、起始位置開始次跳動(dòng)的所有路徑有：、(2)解：記事件次跳動(dòng)后，棋子停在點(diǎn)，則事件包含個(gè)基本事件，故.18在直三棱柱中， ,點(diǎn)是的中點(diǎn). （1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值（1）見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，由三角形中位線定理可證得，從而可得平面（2）由可得為與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，可得，解三角形得，即為所求【詳解】（1）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，四邊形為正方形， 是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，又平面，平面，平面(2)解：，為與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，異面直線與所成角的余弦值為求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法 一般有三種類型：利用圖中已有的平

17、行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移計(jì)算異面直線所成的角通常放在三角形中進(jìn)行，解題時(shí)注意異面直線所成角的范圍，根據(jù)三角形的內(nèi)角來(lái)確定異面直線所成角的大小19在直角梯形ABCD中，已知，點(diǎn)F是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)若，求的值；(2)求的取值范圍.(1)2；(2).【分析】（1）由、，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及向量位置關(guān)系求即可.（2）令且，同（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得到關(guān)于的表示式，即可求值.【詳解】(1)由圖知：，所以，所以，又，所以.(2)由（1）知：，令且，則，所以.則.20某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年

18、齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)”宣傳使者.（i）若有甲（年齡38），乙（年齡40）兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；（ii）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五

19、組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這人中3545歲所有人的年齡的方差.（1）32.25歲；37.5；（2）（i）；（ii）10.【分析】(1) 根據(jù)頻率分布直方圖，利用組中值乘以相應(yīng)的頻率，即可的這人的平均年齡；設(shè)第80百分位數(shù)為，計(jì)算從左到右頻率和為或計(jì)算從右到左頻率和為，即可求出；(2)（i）由題意可得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，根據(jù)古典概型計(jì)算方法求解即可；（ii）根據(jù)方差的計(jì)算原理計(jì)算合并后方差即可.【詳解】解：（1）設(shè)這人的平均年齡為，則（歲）.設(shè)第80百分位數(shù)為，方法一：由，解得.方法二：由，解得.（2）（i）由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為，甲，第五組抽取2人，記為，乙，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：，共15個(gè)樣本點(diǎn).設(shè)事件“甲、乙兩人至少一人被選上”，則，共有9個(gè)樣本點(diǎn).所以，.（ii）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為，則，設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計(jì)這人中年齡在3545歲的所有人的年齡方差約為10.21如圖，在三棱柱-中， ， ，在底面 的射影為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn).（1）證明：D 平面；（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.（1）詳見解析；（2）.【詳解】（1）根據(jù)條件首先證得平面 ，再證明，即可得證