高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件8

1、一、 多元函數(shù)的極值 定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值為0;在點(diǎn) (0,0) 有極大值為R;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有 牛牛文庫文檔分享例1:討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為 牛牛文庫文檔分享說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.

2、取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在故 牛牛文庫文檔分享時, 具有極值定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明見 第九節(jié)(P65) . 時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù) 牛牛文庫文檔分享例2.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù) 牛牛文庫文檔分享在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;

3、在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.在點(diǎn)(1,2) 處不是極值; 牛牛文庫文檔分享二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點(diǎn)P 時, 為極小 值為最小 值(大)(大)依據(jù) 牛牛文庫文檔分享例3.解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省. 牛牛文庫文檔分享三、條件

4、極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法. 牛牛文庫文檔分享推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如, 求函數(shù)下的極值.在條件 牛牛文庫文檔分享則問題為求x,y ,解方程組解: 設(shè) x,y ,z 分別表示長、寬、高,z 使在條件下，求函數(shù)的最大值.(1)(2)(3) 牛牛文庫文檔分享 牛牛文庫文檔分享內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法 牛牛文庫文檔分享設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值