定積分的概念與性質(zhì)課件

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入不定積分定積分概念性質(zhì) 計(jì)算 應(yīng)用第1頁，共41頁。 第5章 定積分及其應(yīng)用5.2 微積分基本公式5.3定積分的換元積分法與分部積分法5.4 廣義積分5.5定積分的應(yīng)用5.1 定積分的概念與性質(zhì)第2頁，共41頁。理解與掌握定積分的概念與性質(zhì) ；掌握牛頓萊布尼茲公式 ；本章基本要求了解變上限積分函數(shù)的概念，會求變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 了解定積分概念產(chǎn)生的背景 ；約10學(xué)時掌握定積分的換元積分法與分部積分法 ；了解無窮限積分的概念，會求簡單的無窮限積分；掌握定積分的幾何意義 。掌握定積分在經(jīng)濟(jì)上與幾何上的應(yīng)用，會求簡單的實(shí)際應(yīng)用問題 。第3頁，共41頁。新課引入? 我們以前學(xué)過圖形的面積計(jì)

2、算，請大家回想一下，有哪些計(jì)算公式？ 正方形、矩形、三角形、梯形、圓、橢圓等。5.1 定積分的概念與性質(zhì)5.1.1 兩個實(shí)例規(guī)則圖形第4頁，共41頁。?不規(guī)則圖形（如圖）的面積如何求？?第5頁，共41頁。1. 曲邊梯形的面積上述圖形的面積可歸結(jié)為下列兩個圖形的面積之差，即把這類幾何圖形定義為曲邊梯形第6頁，共41頁。由連續(xù)曲線所圍的平面圖形稱為曲邊梯形。與三條直線如何求曲邊梯形的面積？用矩形面積近似取代曲邊梯形面積基本思路:例如第7頁，共41頁。如何才能使 這種近似代取更精確當(dāng)曲邊梯形的底邊趨近于零時,矩形面積無限地趨近于曲邊梯形的面積求曲邊梯形的具體方法:將曲邊梯形分成無窮多個小的曲邊梯形在

3、每個小曲邊梯形處作一個矩形近似代取小的曲邊梯形第8頁，共41頁。1. 曲邊梯形的面積abxyoabxyo 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個小矩形）（九個小矩形）第9頁，共41頁。 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系第10頁，共41頁。第11頁，共41頁。第12頁，共41頁。第13頁，共41頁。第14頁，共41頁。第15頁，共41頁。第16頁，共41頁。第17頁，共41頁。分割點(diǎn)上和下和積分近似值311.05556230.1304351.00095430.0697671.00027630.0476191.00013830.0361451.000

4、071030.0291261.000051230.02439021.000031430.0209791.00002第18頁，共41頁。解決步驟：在區(qū)間a,b內(nèi)插入n-1個分點(diǎn) ：把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間第i個小區(qū)間的長度記為 ,即1.曲邊梯形面積的求法(1)分割第19頁，共41頁。在第i個小區(qū)間上任取一點(diǎn) 矩形的面積相應(yīng)小曲邊梯形的面積用以,即 為寬，為高的小近似代替(2)近似代替（以直代曲）第20頁，共41頁。(4)取極限令,則(3)近似求和將n個小矩形面積之和作為曲邊梯形面積的近似值，即四個步驟：分割、近似代替、近似求和、取極限第21頁，共41頁。?且設(shè)某物體作變速直線運(yùn)動,已知速度如何

5、計(jì)算物體從時刻到時刻所經(jīng)過的路程？思路：在一個很短的時間間隔內(nèi)，以內(nèi)任意一時刻的瞬時速度近似代替該區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)的速度，即以勻速代變速。第22頁，共41頁。2.變速直線運(yùn)動的路程解決步驟：第i個小區(qū)間的長度記為 把時間區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間(1)分割在區(qū)間a,b內(nèi)插入n-1個分點(diǎn) ：第23頁，共41頁。(3)近似求和(2)近似代替(以勻速代變速或以不變代變)(4)取極限,則令近似代替內(nèi)任意一點(diǎn)的速度，即以勻速代變速。第24頁，共41頁。兩個實(shí)例2.變速直線運(yùn)動的路程1.曲邊梯形的面積：速度從時刻到時刻所經(jīng)過的路程:四個步驟：分割、近似代替、近似求和、取極限第25頁，共41頁。 以上兩個問題雖

6、然研究對象不同，但是從數(shù)量關(guān)系上看都是要求某種整體的量，且解決問題所用的思想方法也相同，通過： 分割把整體的問題分成局部問題； 近似代替在局部上“以直代曲或以不變代變” 求出局部的近似值； 近似求和得到整體量的一個近似值； 取極限得到整體量的精確值. 以上四步在數(shù)量上都?xì)w結(jié)為對某一函數(shù) 施行結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)運(yùn)算確定一種特殊的和式“在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際中還有許多問題也都可以歸結(jié)為求這種和式的極限，現(xiàn)在拋開其問題的實(shí)際意義，將它們數(shù)量關(guān)系上的本質(zhì)特性加以概括，抽象出來得出定積分的定義.”的極限.第26頁，共41頁。5.1.2 定積分的定義定義51 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，在 中插入個分點(diǎn)，把區(qū)間分

7、成 個小區(qū)間每個小區(qū)間的長度依次為第27頁，共41頁。在每個小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，作函數(shù)值 與小區(qū)間長度 的乘積 ，并作和式（稱為積分和式）記 ，如果當(dāng) 時，和式的極限 存在，則稱這個極限值為函數(shù) 在上的定積分（簡稱積分），記作 ，即第28頁，共41頁。積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定理51 閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)f(x)必可積 。定理52 在閉區(qū)間a,b上只有有限個間斷點(diǎn)，且有界的連續(xù)函數(shù)f(x)必可積 。第29頁，共41頁。說明. 定積分的值與區(qū)間的分法以及點(diǎn)的取法無關(guān)；2. 定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即有3.規(guī)定.由連續(xù)曲線軸所

8、圍成的曲邊梯形的面積：.5.作變速直線運(yùn)動的物體第30頁，共41頁。5.1.3 定積分的幾何意義(1)(2)有時為正，有時為負(fù)時(3)第31頁，共41頁。課堂練習(xí) ：用定積分的幾何意義計(jì)算。第32頁，共41頁。 課堂練習(xí)2 ：用定積分表示陰影部分的面積。第33頁，共41頁。5.1.4 定積分的簡單性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2可以推廣( k 為常數(shù))性質(zhì) ( 積分區(qū)間可加性)性質(zhì)第34頁，共41頁。性質(zhì)在區(qū)間上最小值和最大值,則 上在區(qū)間性質(zhì)如果分別是和性質(zhì)第35頁，共41頁。(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱(1)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱 第36頁，共41頁。例2不計(jì)算定積分的值，比較下列定積分大小 (1)因?yàn)楫?dāng)所以時，(2)因?yàn)楫?dāng)時，例0 0 第37頁，共41頁。課堂練習(xí) ：1比較定積分 與 的大小（答案： ）2比較定積分與 的大?。ù鸢福?)第38頁，共41頁。性質(zhì) ( 積分中值定理 )如果函數(shù)通常我們稱使得至少存在一點(diǎn)上上連續(xù)，則在區(qū)間在閉區(qū)間上的平均值。 在為函數(shù)第39頁，共41頁。積分中值