多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則62876課件

1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則全微分形式不變性小結(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的 求導(dǎo)法則第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1第1頁，共33頁。一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則)2第2頁，共33頁。情形1.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形.3第3頁，共33頁。證 明見教材,在此省略.定理且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算:多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),例4第4頁，共33頁。復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個(gè)的情況.定理推廣導(dǎo)數(shù)變量樹圖(關(guān)系圖) 三個(gè)中間變量稱為全導(dǎo)數(shù)(鏈?zhǔn)角髮?dǎo)公式法則).多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則5第5頁，共33頁。例 設(shè) 求這是冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但用全導(dǎo)數(shù)公式較簡便.法二 yuvx解法一可用取對數(shù)求導(dǎo)法計(jì)

2、算.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則6第6頁，共33頁。情形2.復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形.7第7頁，共33頁。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)為則復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算中間變量為多元函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),的情形.例8第8頁，共33頁。 變量樹圖uv多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則9第9頁，共33頁。解多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例10第10頁，共33頁。中間變量多于兩個(gè)的情形類似地再推廣,復(fù)合函數(shù)在對應(yīng)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計(jì)算:三個(gè)中間變量兩個(gè)自變量多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則11第11頁，共33頁。例 設(shè)解自己畫變量樹 求多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則12第12頁，共33頁。情形3復(fù)合函數(shù)的中

3、間變量既有一元,又有多元(混合型)函數(shù)的情形13第13頁，共33頁。即兩者的區(qū)別區(qū)別類似多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.把復(fù)合函數(shù)中的y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)把中的u及y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)例14第14頁，共33頁。解 zuxyxy變量樹圖多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例15第15頁，共33頁。 設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 變量樹圖ursxt或記 u對中間變量 r,s 的偏導(dǎo)數(shù) 注從而也是自變量x, t 的復(fù)合函數(shù). 解都是r, s 的函數(shù), 對抽象函數(shù)在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí), 一定要設(shè)中間變量.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例16第16頁，共33頁。ursxt變量樹圖 設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則17

4、第17頁，共33頁。ursxt變量樹圖 設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則18第18頁，共33頁。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且滿足2019年考研數(shù)學(xué)三, 8分故例19第19頁，共33頁。由解現(xiàn)將把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中的形式:設(shè) 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),函數(shù)換成極坐標(biāo)的函數(shù):及 以及函數(shù)對 的偏導(dǎo)數(shù)來表達(dá).多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例20第20頁，共33頁。復(fù)合而成.ruxy(1)及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則21第21頁，共33頁。得ruxy多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則22第22頁，共33頁。(2)ruxy設(shè) 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則23第23頁，共3

5、3頁。同理可得多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則24第24頁，共33頁。兩式相加,得:多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則25第25頁，共33頁。二、全微分形式不變性具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有全微分則有全微分全微分形式不變性多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則26第26頁，共33頁。解例 通過全微分求所有一階偏導(dǎo)數(shù),比鏈導(dǎo)法則求偏導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)顯得靈活方便.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則27第27頁，共33頁。1992年研究生考題,計(jì)算,5分 解設(shè)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),例28第28頁，共33頁。求在點(diǎn)(1,1)處可微,且設(shè)函數(shù)解2019年考研數(shù)學(xué)一, 6分多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由題設(shè)例29第29頁，共33頁。多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 (鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則)全微分形式不變性多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”三、小結(jié)不論 u , v 是自變量還是中間變量,30第30頁，共33頁。多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確的是( ).思考題31第31頁，共33頁。思考題解答令則兩邊對t求導(dǎo),得多元復(fù)合函數(shù)的求