高中數(shù)學選修第一冊：第2章 2.1　坐標法-【新教材】人教B版（2019）高中數(shù)學選擇性必修第一冊講義

1、2.1坐標法學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1理解平面直角坐標系中的基本公式(重點)2理解坐標法的數(shù)學思想并能掌握坐標法的應(yīng)用(重點、難點)1通過學習實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)2借助距離公式和坐標法的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)小華以馬路上的電線桿為起點，先向東走了5 m，然后又向西走了8 m，那么小華現(xiàn)在的位置離電線桿多遠？對于這類問題，我們可以建立一個直線坐標系，確定出正、負方向，利用數(shù)軸上兩點間的距離公式來求解1平面直角坐標系中的基本公式(1)數(shù)軸上兩點間的距離公式如果數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為x1(即A的坐標為x1，記作A(x1)，且B(x2)，則向量eq o(

2、AB,sup7()的坐標為x2x1，數(shù)軸上兩點之間的距離公式|AB|eq o(AB,sup7()|x2x1|如果M(x)是線段AB的中點，則eq o(AM,sup7()eq o(MB,sup7()數(shù)軸上的中點坐標公式xeq f(x1x2,2)思考：數(shù)軸的概念是什么？數(shù)軸上的點與實數(shù)有怎樣的關(guān)系？提示給定了原點、單位長度和正方向的直線是數(shù)軸，數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的(2)平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq o(AB,sup7()(x2x1，y2y1)，|AB|eq o(AB,sup7()|eq r(x2x12y2y12)，若M(x，y)是線段AB的中點

3、，則eq o(AM,sup7()eq o(MB,sup7()，則直角坐標系內(nèi)的中點坐標公式xeq f(x1x2,2)，yeq f(y1y2,2)2坐標法通過建立平面直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運算等解決問題的方法稱為坐標法1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面直角坐標系內(nèi)的點與實數(shù)一一對應(yīng)()(2)數(shù)軸上起點相同的向量方向相同()(3)點M(x)位于點N(2x)的左側(cè)()(4)數(shù)軸上等長的向量是相等的向量()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)(2)終點不一定相同(3)x與2x的大小無法確定(4)方向不一定相同2(教材P69習題21A改編

4、)已知數(shù)軸上A(3)，B(8)，則A，B兩點間的距離為()A3B8C11D5C|AB|8(3)|113已知A(1,2)，B(2,6)，則AB的中點坐標為_eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4)設(shè)AB的中點為M(x，y)，則xeq f(12,2)eq f(3,2)，yeq f(26,2)4，中點坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，4)4已知A(2,4)，B(1,3)，則A，B兩點間的距離為_eq r(10)|AB|eq r(212432)eq r(10)數(shù)軸上的點與實數(shù)間的關(guān)系【例1】(1)若點P(x)位于點M(2)，N(3)之間，求x的取值范圍；

5、(2)試確定點A(a)，B(b)的位置關(guān)系解(1)由題意可知，點M(2)位于點N(3)的左側(cè)，且點P(x)位于點M(2)，N(3)之間，所以2xb時，點A(a)位于點B(b)的右側(cè)；當a32，所以A(32)位于B(23)的左側(cè)(2)因為m21meq blc(rc)(avs4alco1(mf(1,2)eq sup12(2)eq f(3,4)eq f(3,4)0，所以m21m，所以B(m21)位于A(m)的右側(cè)(3)當a0時，|a|a，則A(|a|)和B(a)為同一個點當aa，則A(|a|)位于B(a)的右側(cè)數(shù)軸上兩點間的距離探究問題1如果兩點的位置不確定，如何求其距離？提示分類討論2向量的長度及

6、數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系提示|AB|d(A，B)|xBxA|，ABxBxA【例2】已知數(shù)軸上點A，B，P的坐標分別為1,3，x當點P與點B的距離是點P與點A的距離的3倍時，求點P的坐標x思路探究數(shù)軸上兩點間的距離點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系數(shù)軸上的基本公式解由題意知|PB|3|PA|，即|x3|3|x1|，則3(x1)x3，或3(x1)(x3)解得x3；解得x0所以點P的坐標為3或01本例中若點P到點A和點B的距離都是2，求點P的坐標x，此時點P與線段AB有著怎樣的關(guān)系？解由題意知|PA|PB|2，即eq blcrc (avs4alco1(|x1|2，,|x3|2，)解得x1此時點P的坐標為1，顯然此時P為線段

7、AB的中點2本例中在線段AB上是否存在點P(x)，使得點P到點A和點B的距離都是3？若存在，求出點P的坐標x；若不存在，請說明理由解不存在這樣的點P(x)因為d(A，B)|31|4，要使點P在線段AB上，且d(P，A)d(P，B)3，則d(A，B)d(P，A)d(P，B)，這是不可能的數(shù)軸上的基本公式應(yīng)用思路與方法(1)已知向量eq o(AB,sup7()，eq o(BC,sup7()，eq o(AC,sup7()中的兩個的坐標，求另外一個的坐標時，使用eq o(AC,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()求解(2)已知向量的起點和終點的坐標，求向量坐標，使用eq

8、 o(AB,sup7()xBxA求解(3)已知數(shù)軸上兩點間的距離時，使用d(A，B)|AB|xBxA|求解兩點間距離公式的應(yīng)用【例3】已知ABC的三個頂點坐標是A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)(1)判斷ABC的形狀；(2)求ABC的面積思路探究(1)先根據(jù)已知條件，畫出草圖，判斷ABC的大致形狀，然后從邊著手或從角著手確定其形狀(2)結(jié)合三角形形狀求解解(1)|AB|eq r(332312)2eq r(13)，|AC|eq r(132712)2eq r(13)，又|BC|eq r(132732)2eq r(26)，|AB|2|AC|2|BC|2且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形(

9、2)ABC的面積SABCeq f(1,2)|AC|AB|eq f(1,2)2eq r(13)2eq r(13)26判斷三角形形狀的方法(1)采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向(2)利用兩點間的距離公式，分別計算ABC三邊的長度，根據(jù)三角形邊的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理eq o(跟進訓練)2若等腰三角形ABC的頂點A是(3,0)，底邊BC的長為4，BC邊的中點為D(5,4)，求等腰ABC的腰長解因為|AD|eq r(532402)2eq r(5)，在等腰ABD中，由勾股定理得，|AB|eq r(|AD|2|BD|2)eq r(204)2eq r(6)所

10、以等腰ABC的腰長為2eq r(6)坐標法的應(yīng)用【例4】如圖所示，四邊形ABCD為等腰梯形，利用坐標法證明梯形ABCD的對角線|AC|BD|證明建立如圖坐標系，設(shè)A(0，0)，B(a,0)，C(b，c)，則點D的坐標是(ab，c)|AC|eq r(b02c02)eq r(b2c2)，|BD|eq r(aba2c02)eq r(b2c2)，故|AC|BD|利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟(1)建立坐標系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標軸上；(2)用坐標表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標運算；(4)把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系eq o(跟進訓練)3已知ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，

11、建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，證明：|AM|eq f(1,2)|BC|證明以RtABC的直角邊AB，AC所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系設(shè)B，C兩點的坐標分別為(b,0)，(0，c)，斜邊BC的中點為M，所以點M的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(f(0b,2)，f(0c,2)，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(b,2)，f(c,2)由兩點間的距離公式得|BC|eq r(0b2c02)eq r(b2c2)，|AM|eq r(blc(rc)(avs4alco1(0f(b,2)eq sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(0f(c,2)eq sup

12、12(2)eq f(1,2)eq r(b2c2)，故|AM|eq f(1,2)|BC|1坐標平面內(nèi)兩點間的距離公式，是解析幾何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意兩個已知點間的距離反過來，已知兩點間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個點的坐標2平面幾何中與線段長有關(guān)的定理和重要結(jié)論，可以用坐標法來證明用坐標法解題時，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依賴于平面直角坐標系的建立而改變的，但不同的平面直角坐標系會使計算有繁簡之分，因此在建立直角坐標系時必須“避繁就簡”3本節(jié)課要掌握的規(guī)律方法(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)之間的關(guān)系(2)數(shù)軸上兩點間的距離及平面直角坐標系內(nèi)兩點間的距離公式4本節(jié)課的易錯點是坐標法的應(yīng)用，容易將坐標寫錯1下列各組點中，點C位于點D的右側(cè)的是()AC(3)和D(4)BC(3)和D(4)CC(4)和D(3) DC(4)和D(3)A由數(shù)軸上點的坐標可知A正確2已知A(8，3)，B(5，3)，則線段AB的中點坐標為()Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，2)Beq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3)Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3) Deq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，3)B由中點坐標公式可以求得3已知M(2,1)，N(1,5)，則|MN|等于_5|MN|eq