2021-2022學(xué)年河北省衡水市高一下學(xué)期第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年河北省衡水市高一下學(xué)期第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）ABCDB【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算計算作答.【詳解】.故選：B2在中內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且，則（）ABCDD【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算作答.【詳解】在中，因，則，由正弦定理及得：，所以.故選：D3水平放置的平面四邊形ABCD的斜二測直觀圖是一個長為3，寬為的矩形，則四邊形ABCD的實(shí)際面積為（）A12B6CDA【分析】由已知，先計算出該圖形斜二測直觀圖的面積，然后再根據(jù)原圖形面積S與直觀圖面積S之間的關(guān)系換算關(guān)系，可直接求解出四邊形AB

2、CD的實(shí)際面積.【詳解】解：由題意得，矩形的面積為由斜二測畫法，得四邊形ABCD的實(shí)際面積為故選：A4設(shè)、是兩個不同的平面則“中有三個不共線的點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B【分析】利用平行平面的性質(zhì)、特例法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】如下圖所示：當(dāng)、相交時，設(shè)，若、，且，則、到平面的距離相等，若線段的中點(diǎn)，則、到平面的距離相等，則、到平面的距離相等，即“中有三個不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”；若，則內(nèi)所有點(diǎn)到平面內(nèi)的距離都相等，即“中有三個不共線的點(diǎn)到的距離相等”“”.因此，“中有三個不共線的點(diǎn)到的距離相等”

3、是“”的必要不充分條件.故選：B.5如圖，在直三棱柱中，分別是棱，上的動點(diǎn)，則的最小值是（）ABCDD【分析】作出三棱柱的側(cè)面展開圖，可知四點(diǎn)共線時取最小值，利用勾股定理可得結(jié)果.【詳解】將直三棱柱的側(cè)面展開，如圖所示，當(dāng)四點(diǎn)共線時，取得最小值，則最小值為：故選：D.6在三棱錐中，底面，則AD與平面BCD所成角的正弦值為（）ABCDD【分析】根據(jù)余弦定理可得，作于可知AD與平面BCD所成角為，再根據(jù)三角形面積公式求得，進(jìn)而求得即可【詳解】由余弦定理，故，作于，因?yàn)榈酌妫剩?，故平面，故AD與平面BCD所成角為.又，解得，故故選：D7在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點(diǎn)，則異面直線EF與夾角

4、的余弦值為（）ABCDA【分析】設(shè)棱的中點(diǎn)為G，連接FG，EG，BE，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到EFG為異面直線EF與所成的角求解【詳解】解：如圖， 設(shè)棱的中點(diǎn)為G，連接FG，EG，BE，因?yàn)?，所以，故EFG為異面直線EF與所成的角設(shè)正方體的棱長為2，則，在等腰三角形EFG中，故異面直線EF與夾角的余弦值為故選：A8在正四棱錐中，則平面截四棱錐外接球的截面面積是（）ABCDB【分析】先作出輔助線，求出外接球半徑，求出球心到截面的距離，從而得到截面圓的半徑，求出截面的面積.【詳解】如圖，作平面，垂足為，則是正方形外接圓的圓心，從而正四棱錐外接球的球心在上，取棱的中點(diǎn)，連接，作，垂足為.由題中數(shù)據(jù)可得，

5、設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，即，解得.由題意易證，則，故.故所求截面圓的面積是.故選：B二、多選題9已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A若，則是實(shí)數(shù)B若是實(shí)數(shù)，則C若，則是純虛數(shù)D若是純虛數(shù)，則AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)知識對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則是實(shí)數(shù)，故A正確；對于B選項(xiàng)，若是實(shí)數(shù)，則，故B正確；對于C選項(xiàng)，若，則不一定是純虛數(shù)，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，若是純虛數(shù)，則且，故D錯誤.故選：AB10已知m，n，l是三條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題不正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則ABC【分析】舉例說明判斷A，B，C；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷D作答.【

6、詳解】如圖，在直三棱柱中，是銳角三角形，對于A，直線分別為，直線為直線，滿足，而與不垂直，A不正確；對于B，平面與平面分別為，平面為平面，滿足，而平面與不垂直，B不正確；對于C，平面為平面，平面為平面，直線為直線，滿足，而，C不正確；對于D，因，則有，而，于是得，D正確.故選：ABC11已知的內(nèi)角，所對的邊分別為，下列四個命題中正確的命題是（）A若，則B若是銳角三角形，則恒成立C若，則一定是直角三角形D若，則一定是銳角三角形ABC【分析】利用正弦定理邊角互化可以判斷出A正確；由三角形內(nèi)角和為，結(jié)合誘導(dǎo)公式可推得B正確；利用正弦定理及余弦定理即可判斷出C正確；利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及正弦定

7、理及余弦定理結(jié)合三角形知識判斷出D.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，所以A正確；對于B，若為銳角三角形，可得且，可得，且，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，所以，所以B正確；對于C，由正弦定理及，知，所以，因?yàn)?，則或，又，則，三角形為直角三角形，故C正確；對于D，若，則,由正弦定理得，則角B為銳角，但不一定是銳角三角形，故D錯誤；故選：ABC.12在三棱錐中，三條棱兩兩垂直，且，若點(diǎn)P，A，B，C均在球 O 的球面上，M 為球面上的一個動點(diǎn)，則（）A球 O 的表面積為BO 到平面 ABC 的距離為C三棱錐體積的最大值為D存在點(diǎn) M ，使平面 ABCBCD【分析】由題可將三棱錐補(bǔ)成正方體

8、，然后利用正方體的性質(zhì)及球的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】如圖，將三棱錐補(bǔ)成正方體，則該三棱錐的外接球與該正方體的外接球相同，所以球O的半徑為，則球O的表面積為，A錯誤；由正方體的性質(zhì)可知，又，可得平面，故，同理可得，又，可得平面，設(shè)P到平面ABC的距離為，因?yàn)?，所以由，得，得，所以O(shè)到平面ABC的距離為，B正確；由題可知O到平面PAB 的距離為1，故M到平面PAB的距離最大值為，所以三棱錐體積的最大值為，C正確；因?yàn)槠矫鍭BC，若平面ABC，則因?yàn)锳O不垂直于PD，所以MA可以平行于PD，D正確故選：BCD.三、填空題13已知某圓錐的母線長為3，其側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的體積為_【分析】先

9、由側(cè)面展開圖求出底面圓半徑，進(jìn)而求得高，再由體積公式求解即可.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長為l，高為h，底面圓的半徑為r圓錐側(cè)面展開圖的面積為，解得，該圓錐的體積為故答案為.14已知輪船A在燈塔B的北偏東45方向上，輪船C在燈塔B的南偏西15方向上，且輪船A，C與燈塔B之間的距離分別是10千米和千米，則輪船A，C之間的距離是_千米【分析】根據(jù)題意作出圖形，再利用余弦定理求解作答.【詳解】依題意，如圖，在中，由余弦定理得：，所以輪船A，C之間的距離是千米.故15在正三棱錐中，M是棱PC上的任意一點(diǎn)，則的最小值是_【分析】借助于側(cè)面展開圖，則可得的最小值即為，此時，利用余弦定理可得，結(jié)合等面積法求【詳

10、解】如圖，借助于側(cè)面展開圖，則可得的最小值即為，此時在中，則，則的最小值為故16如圖，在長方體中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E為棱CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱（包括端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，則三棱錐外接球表面積的最小值是_【分析】取AE的中點(diǎn)，過作平面ABCD的垂線，與平面交于點(diǎn)M，過M作的垂線，垂足為N，設(shè)，則設(shè)球O的半徑為R，求出，得到的取值范圍，即得解.【詳解】解：如圖，取AE的中點(diǎn)，過作平面ABCD的垂線，與平面交于點(diǎn)M，過M作的垂線，垂足為N，則三棱錐外接球的球心O在上設(shè)，則設(shè)球O的半徑為R，則，即，所以因?yàn)椋?，則.故三棱錐外接球的表面積故四、解答題17如圖，在正三棱柱中，D是BC的中點(diǎn)(1

11、)證明：平面(2)求四棱錐與三棱錐的體積之比(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于O，連接OD即可得到，從而得證；（2）設(shè)，根據(jù)錐體的體積公式分別求出，即可得解；【詳解】(1)證明：連接，交于O，連接OD因?yàn)镺是的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)D是的中位線，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以平?2)解：設(shè)，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以D到AB的距離d等于C到AB的距離的一半，所以，所以又，所以，即所求體積之比為18如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且(1)證明：(2)若平面平面求三棱錐的表面積(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)、直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合線面垂直的判定、性質(zhì)推理

12、作答.（2）令，連，由給定條件證明，再求出即可計算作答.【詳解】(1)在直四棱柱中，平面ABCD，平面ABCD，則，菱形ABCD中，而，平面，于是得AC平面，又平面，所以.(2)如圖，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接，則O為BD的中點(diǎn)，因，即，則，同理有，即是二面角的平面角，而平面平面，則有，又，同理，即，解得，因此，而，所以三棱錐的表面積為19如圖，在三棱錐中，PA平面ABC，是直角三角形，D，E分別是棱PB，PC的中點(diǎn)(1)證明：平面PAC平面ADE(2)求三棱錐的體積(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意易知，從而可證平面PAC，而由中位線定理可得，于是平面PAC，最后由面面垂直的判定定

13、理可證得平面PAC平面ADE（2）由等體積法可知三棱錐與三棱錐的體積相等，求出三棱錐的體積即可求出答案,【詳解】(1)證明，因?yàn)槭侵苯侨切?，且，所以因?yàn)槠矫鍭BC，且平面ABC，所以因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，且，所以平面PAC因?yàn)镈，E分別是棱PB，PC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫鍼AC，所以平面PAC因?yàn)槠矫鍭DE，所以平面平面ADE(2)解：因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫鍭BC，且，所以三棱錐的體積連接CD，因?yàn)镈是棱PB的中點(diǎn)，所以三棱錐的體積因?yàn)镋是棱PC的中點(diǎn)，所以三棱錐的體積因?yàn)槿忮F與三棱錐是同一個三棱錐，所以的體積為20記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(1)求C；(2)若a，b為

14、方程的兩個實(shí)數(shù)根，且C的角平分線交AB于點(diǎn)D，求CD(1)；(2)2.【分析】（1）利用同角公式變形，正弦定理角化邊，再借助余弦定理求解作答.（2）由已知條件結(jié)合三角形面積公式計算作答.【詳解】(1)依題意，即，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因，解得，所以(2)依題意，而是的角平分線，則，即，整理得，解得，所以21如圖1，有一個邊長為4的正六邊形ABCDEF，將四邊形ADEF沿著AD翻折到四邊形ADGH的位置，連接BH，CG，形成的多面體ABCDGH如圖2所示.(1)證明.(2)若，且，求三棱錐的體積.(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接BF交AD于O，則O為BF的中點(diǎn)，根據(jù)，得到

15、，即，再利用線面垂直的判定定理證明；（2）利用，得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面，再由平面，由求解.【詳解】(1)證明：如圖，連接BF交AD于O，則O為BF的中點(diǎn).，即，.，平面，平面.平面，.(2)由正六邊形性質(zhì)，可知，.，.，平面，平面.，且，四邊形是平行四邊形，.平面，平面，平面，.22如圖1，在ABC中，E為AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC及其內(nèi)部以邊AB為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示的新的幾何體，點(diǎn)O為C旋轉(zhuǎn)過程中形成的圓的圓心，為圓O上任意一點(diǎn).(1)求新的幾何體的體積.(2)記與底面所成角為.求sin的取值范圍；當(dāng)時，求二面角的平面角的余弦值.(1)2(2)，；-【分析】（1）根據(jù)圓錐的體積公式計