高中數(shù)學(xué)選修第一冊：選擇性必修第一冊第一章 1.3.1 空間直角坐標(biāo)系

1、1.3空間向量及其運算的坐標(biāo)表示13.1空間直角坐標(biāo)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間直角坐標(biāo)系.2.能在空間直角坐標(biāo)系中寫出所給定點、向量的坐標(biāo)知識點一空間直角坐標(biāo)系1空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底eq blcrc(avs4alco1(i，j，k)，以O(shè)為原點，分別以i，j，k 的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k 都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成

2、八個部分2右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系思考空間直角坐標(biāo)系有什么作用？答案可以通過空間直角坐標(biāo)系將空間點、直線、平面數(shù)量化，將空間位置關(guān)系解析化知識點二空間一點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq o(OA,sup6()，且點A的位置由向量eq o(OA,sup6()唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq o(OA,sup6()xiyjzk.在單位正交基底 i，j，k下與向量 eq o(OA,sup

3、6() 對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)思考空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？答案x軸上的點的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(x，0,0)y軸上的點的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0，即(0，y，0)z軸上的點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0，即(0,0，z)知識點三空間向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq o(OA,sup6()a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使axiyjzk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式

4、可簡記作a(x，y，z)思考空間向量的坐標(biāo)和點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？答案點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x，y，z)，那么向量 eq o(OA,sup6() 的坐標(biāo)也為(x，y，z)1空間直角坐標(biāo)系中，在x軸上的點的坐標(biāo)一定是(0，b，c)的形式()2空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面內(nèi)的點的坐標(biāo)一定是(a，0，c)的形式()3關(guān)于坐標(biāo)平面yOz對稱的點其縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)相反()一、求空間點的坐標(biāo)例1(1)畫一個正方體ABCDA1B1C1D1，若以A為坐標(biāo)原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，則頂點A，C的坐標(biāo)分別為_

5、；棱C1C中點的坐標(biāo)為_；正方形AA1B1B對角線的交點的坐標(biāo)為_答案(0,0,0)，(1,1,0)eq blc(rc)(avs4alco1(1，1，f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(1,2)(2)已知正四棱錐PABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出各頂點的坐標(biāo)解正四棱錐PABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，正四棱錐的高為2eq r(23).以正四棱錐的底面中心為原點，平行于BC，AB所在的直線分別為x軸、y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐各頂點的坐標(biāo)分別為A(2，2,0)，

6、B(2,2,0)，C(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,2eq r(23)答案不唯一反思感悟(1)建立空間直角坐標(biāo)系的原則讓盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面充分利用幾何圖形的對稱性(2)求某點M的坐標(biāo)的方法作MM垂直平面xOy，垂足M，求M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，即點M的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，再求M點在z軸上射影的豎坐標(biāo)z，即為M點的豎坐標(biāo)z，于是得到M點的坐標(biāo)(x，y，z)跟蹤訓(xùn)練1在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CGeq f(1,4)CD，H為C1G的中點，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)解建立如圖所示的空間

7、直角坐標(biāo)系點E在z軸上，它的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為0，而E為DD1的中點，故其坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(0，0，f(1,2).由F作FMAD，F(xiàn)NCD，垂足分別為M，N，由平面幾何知識知FMeq f(1,2)，F(xiàn)Neq f(1,2)，故F點坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，0).因為CGeq f(1,4)CD，G，C均在y軸上，故G點坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,4)，0).由H作HKCG，可得DKeq f(7,8)，HKeq f(1,2)，故H點坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(7

8、,8)，f(1,2).(答案不唯一)二、空間點的對稱問題例2在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P(2,1,4)(1)求點P關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)；(2)求點P關(guān)于xOy平面對稱的點的坐標(biāo)；(3)求點P關(guān)于點M(2，1，4)對稱的點的坐標(biāo)解(1)由于點P關(guān)于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標(biāo)為P1(2，1，4)(2)由點P關(guān)于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標(biāo)為P2(2,1，4)(3)設(shè)對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標(biāo)公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)4

9、12，所以P3的坐標(biāo)為(6，3，12)反思感悟空間點對稱問題的解題策略(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解(2)對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2已知點P(2,3，1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點為P1，點P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點為P2，點P2關(guān)于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標(biāo)為_答案(2，3,1)解析點P(2,3，1)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點P1的坐標(biāo)為(2,3,1)，點P1關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點P2的坐標(biāo)為(2,3,1)，點P2關(guān)于z軸的對稱點P3的坐標(biāo)是(2，3,1)三、空

10、間向量的坐標(biāo)例3已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA14，M為BC1的中點，N為A1B1的中點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求向量eq o(AB,sup6()，eq o(AC1,sup6()，eq o(BC1,sup6()的坐標(biāo)解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)eq f(1,4)eq o(AB,sup6()i，eq f(1,4)eq o(AC,sup6()j，eq f(1,4)eq o(AA1,sup6()k，eq o(AB,sup6()4i0j0k(4,0,0)，eq o(AC1,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(AC,sup6()0i4j4k(0,4,

11、4)，eq o(BC1,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CC1,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CC1,sup6()4i4j4k(4,4,4)反思感悟向量坐標(biāo)的求法(1)點A的坐標(biāo)和向量 eq o(OA,sup6() 的坐標(biāo)形式完全相同；(2)起點不是原點的向量的坐標(biāo)可以通過向量的運算求得跟蹤訓(xùn)練3已知A(3,5，7)，B(2,4,3)，設(shè)點A，B在yOz平面上的射影分別為A1，B1 ，則向量eq o(A1B1,sup6()的坐標(biāo)為_答案(0，1,10)解析點A(3,5，7)，B(2,4,3)在yOz平面上的射影分別為 A1 (0

12、,5，7), B1 (0,4,3)，向量eq o(A1B1,sup6()的坐標(biāo)為(0，1,10)1點P(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在()Ay軸上 BxOy面上CxOz面上 DyOz面上答案C2在空間直角坐標(biāo)系中，點P(1,3，5)關(guān)于平面xOy對稱的點的坐標(biāo)是()A(1,3，5) B(1,3,5)C(1，3,5) D(1，3,5)答案B3在空間直角坐標(biāo)系中，點P(1，2，3)到平面yOz的距離是()A1 B2 C3 D.eq r(14)答案A4點P(1,1,1)關(guān)于xOy平面的對稱點P1的坐標(biāo)為_；點P關(guān)于z軸的對稱點P2的坐標(biāo)為_答案(1,1，1)(1，1,1)解析點P(1,1,

13、1)關(guān)于xOy平面的對稱點P1的坐標(biāo)為(1,1，1)，點P關(guān)于z軸的對稱點P2的坐標(biāo)為(1，1,1)5在長方體ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，則向量eq o(AC1,sup6()的坐標(biāo)為_答案 (4,2,3) 解析eq o(AC1,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC1,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CC1,sup6()4i2j3k(4,2,3)1知識清單：(1)空間直角坐標(biāo)系的概念(2)點的坐標(biāo)(3)向量的坐標(biāo)2方法歸納：數(shù)形結(jié)合、類比聯(lián)想3常見誤區(qū)：混淆

14、空間點的坐標(biāo)和向量坐標(biāo)的概念，只有起點在原點的向量的坐標(biāo)才和終點的坐標(biāo)相同 1.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則點B1的坐標(biāo)是()A(1,0,0)B(1,0,1)C(1,1,1)D(1,1,0)答案C解析點B1到三個坐標(biāo)平面的距離都為1，易知其坐標(biāo)為(1,1,1)，故選C.2點A(0，2,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是()A在x軸上 B在xOy平面內(nèi)C在yOz平面內(nèi) D在xOz平面內(nèi)答案C解析點A的橫坐標(biāo)為0，點A(0，2,3)在yOz平面內(nèi)3在空間直角坐標(biāo)系中，P(2,3,4)，Q(2，3，4)兩點的位置關(guān)系是()A關(guān)于x軸對稱 B關(guān)于yOz平面對稱C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱

15、D以上都不對答案C解析當(dāng)三個坐標(biāo)均相反時，兩點關(guān)于原點對稱4在空間直角坐標(biāo)系中，已知點P(1，eq r(2)，eq r(3)，過點P作平面yOz的垂線PQ，則垂足Q的坐標(biāo)為()A(0，eq r(2)，0) B(0，eq r(2)，eq r(3)C(1,0，eq r(3) D(1，eq r(2)，0)答案B解析由于垂足在平面yOz上，所以縱坐標(biāo)，豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)為0.5如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，B1Eeq f(1,4)A1B1，則eq o(BE,sup6()等于()A.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)，1)B.eq blc(r

16、c)(avs4alco1(f(1,4)，0，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)，1)D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，0，1)答案C解析eq o(BE,sup6()eq o(BB1,sup6()eq o(B1E,sup6()keq f(1,4)jeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,4)，1).6點P(1,2，1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(x，y，z)，則xyz_.答案0解析點P(1,2，1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(1,0，1)，x1，y0，z1，xyz1010.7已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，則線段AB中點

17、的坐標(biāo)為_答案(4,0，1)解析設(shè)中點坐標(biāo)為(x0，y0，z0)，則x0eq f(35,2)4，y0eq f(22,2)0，z0eq f(42,2)1，中點坐標(biāo)為(4,0，1)8已知空間直角坐標(biāo)系中三點A，B，M，點A與點B關(guān)于點M對稱，且已知A點的坐標(biāo)為(3,2,1)，M點的坐標(biāo)為(4,3,1)，則B點的坐標(biāo)為_答案(5,4,1)解析設(shè)B點的坐標(biāo)為(x，y，z)，則有eq f(x3,2)4，eq f(y2,2)3，eq f(z1,2)1，解得x5，y4，z1，故B點的坐標(biāo)為(5,4,1)9.建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，正方體DABCDABC的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱CD，DA

18、，AA，AB，BC，CC的中點，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標(biāo)解正方體DABCDABC的棱長為a，且E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱CD，DA，AA，AB，BC，CC的中點，正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標(biāo)為Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，a)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，0，a)，Geq blc(rc)(avs4alco1(a，0，f(a,2)，Heq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，0)，Ieq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，a，0)，Jeq blc(rc)(avs4alco1(0，a

19、，f(a,2).10.如圖所示，過正方形ABCD的中心O作OP平面ABCD，已知正方形的邊長為2，OP2，連接AP，BP，CP，DP，M，N分別是AB，BC的中點，以O(shè)為原點，eq blcrc(avs4alco1(o(OM,sup6()，o(ON,sup6()，f(1,2)o(OP,sup6()為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系若E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點，求點A，B，C，D，E，F(xiàn)的坐標(biāo)解由題意知，點B的坐標(biāo)為(1,1,0)由點A與點B關(guān)于x軸對稱，得A(1，1,0)，由點C與點B關(guān)于y軸對稱，得C(1,1,0)，由點D與點C關(guān)于x軸對稱，得D(1，1,0)又P(0,0,2)，E為AP的中點

20、，F(xiàn)為PB的中點，所以由中點坐標(biāo)公式可得Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1).11已知空間中點A(1,3,5)，點A與點B關(guān)于x軸對稱，則向量點B的坐標(biāo)為_答案(1，3，5)12在空間直角坐標(biāo)系中，點M(2,4，3)在xOz平面上的射影為點M1，則點M1關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是_答案(2,0,3)解析由題意，知點M1的坐標(biāo)為(2,0, 3)，所以點M1關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是(2,0,3)13如圖，正方體ABCDABCD的棱長為2，則圖中的點M關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為_答案(1，2，1)解析因為D(2，2,0)，C(0，2,2)，所以線段DC的中點M的坐標(biāo)為(1，2,1)，所以點M關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為(1，2，1)14.如圖是一個正方體截下的一角PABC，其中PAa，PBb，PCc.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則ABC的重心G的坐標(biāo)是_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，f(b,3)，f(c,3)解析由題意知A(a，0,0)，B(0，b，0)，C(0,0，c)由重心坐標(biāo)公式得點G的坐標(biāo)為eq blc(rc