合成標準不確定度的計算完整版

1、合成標準不確定度的計標準化管理處編碼BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N第七講合成標準不確定度的計算口減小字體增大字體作者：李慎安來源：發(fā)布時間：2007-05-0810:19:04計量培訓：測量不確定度表述講座國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局李慎安合成標準不確定U的定義如何理解c合成標準不確定度無例外地用標準偏差給出，其符號u以小寫正體C作為下角標；如給出的為相對標準不確定度，則應另加正體小寫下角標rel，成為u。按JJF1001定crel義為:當測量結(jié)果是由若干個其他量的值求得時，按其他各量的方差和協(xié)方差算得的標準不確定度。如各量彼此獨立，則協(xié)方差為零；如不為零（相關(guān)情況下），則必須加

2、進去。上述定義可以理解為:當測量結(jié)果的標準不確定度由若干標準不確定度分量構(gòu)成時，按方和根（必要時加協(xié)方差）得到的標準不確定度。有時它可以指某一臺測量儀器，也可以指一套測量系統(tǒng)或測量設備所復現(xiàn)的量值。在某個量的不確定度只以一個分量為主，其他分量可忽略不計的情況下，顯然就無所謂合成標準不確定度了。什么是輸入量、輸出量在間接測量中，被測量Y不能直接測量，而是通過若干個別的可以直接測量的量或是可以通過資料查出其值的量，按一定的函數(shù)關(guān)系得出：Y=f（X,X,，X）12n其中X為輸入量，而把Y稱之為輸出量。i例如:被測量為一個立方體的體積V,通過其長1、寬b和高h三個量的測量結(jié)果，按函數(shù)關(guān)系V=1bh計算

3、，則1，b，h為輸入量，V為輸出量。什么叫作線性合成例如在測量誤差的合成計算中，其各個誤差分量，不論是隨機誤差分量還是系統(tǒng)誤差分量，當合成為測量誤差時，所有這些分量按代數(shù)和相加。這種合成的方法稱為線性合成。不確定度的各個分量如彼此獨立，則恒用方和根的方式合成。但如果其中某兩個分量彼此強相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)r=+1，則合成時是代數(shù)相加，即線性合成而非方和根合成。什么叫靈敏系數(shù)當輸出量Y的估計值y與輸入量X的估計值x,x,x之間有i12ny=f(x，x，x)的函數(shù)關(guān)系時，在不確定度的傳播中，把偏導數(shù)，押二c稱為靈12ni敏系數(shù)，它定量地給出了輸入量X，與輸出量y之間的相互變化關(guān)系之比值。它本身也是i個

4、量值，有數(shù)值和量綱，往往其量綱并非1,而是有測量單位的，這種情況下不能將它按純數(shù)對待。偏導數(shù)應該是在代入輸入量的估計值時作出評定，即在X=x時評定的。ii它描述了輸入估計值X的微小變化Ax，引起y的變化(y)=Wx/x。如果這個iiii變化是由估計值X的標準不確定度u(x)所引起，貝Uy相應的變化為V,u(x)o因此，iii合成方差“T可以看作各項方差之和，而每一項代表了由每個輸入估計值x相關(guān)聯(lián)之估i計方差產(chǎn)生的輸出估計值y的估計方差。也就是：J：l式中：c二廠八.，u(y)=|c|u(x)iiiii以下給出幾種比較簡單而又較常見的函數(shù)關(guān)系的靈敏系數(shù)：y=Ax+Bx12c二A；c二B12y=1

5、/xC=(l/X2)y=x/(x+x)112C=X/(x+X)21212c=-x/(x+x)22112y=x/(1+x)C=1/(1+x)2y=xx12c=x,c=x1211y=x2c=2xy=x1/2c=1/2(2x1/2)(|l)y=Aac41-IMI-以上A,B,a,b,k可以是負數(shù)或分數(shù)或等于1。當用實驗方法求靈敏系數(shù)時，特別是在y與x之間不存在簡單函數(shù)關(guān)系時，可以通過i將其余輸入量保持不變，僅變化第i個x,設變化量為Ax,由此而導致的y的變化設為TOC o 1-5 h ziiy,則c二Ay/Ax。但也可通過函數(shù)關(guān)系計算出Ay。ii輸入量X的不確定度u(x)只有在乘了相應的靈敏系數(shù)c之

6、后，才是輸出量Y的不確iii定度u(y)的一個分量u(y)。它們也才會有相同的量綱。i在線性函數(shù)關(guān)系中輸入量的相對標準不確定度u(X)是否可以也按方和根合成為輸reli出量Y的相對標準不確定度u(y)rel在輸入量x,X,，X彼此獨立的情況下，如果它們與輸出量Y的函數(shù)關(guān)系是線性的，12N例如最簡的一種情況：Y=X+X12若已知u(x)與u(X)，是不能按方和根計算Y的相對標準不確定度rel1rel2u(y)的。例如：由兩個500g的砝碼相加，組成為輸出量lOOOg。每個500g砝碼的標準不rel確定度u(x)=u(x)=o.5g，則這輸出量lOOOg的不確定度實際上u(y)丄譏八-UW12=Z

7、J=0.71g。對1000g來說，其相對標準不確定度應為u(y)=0.71g/1000gX10-3。rel但如果用相對不確定度來合成，u(x)=u(x)=0.5g/500g=1X10-3，它們未合成前已大于rel1rel2u(y)。顯然是不合理的。rel有些情況下，例如在化學分析中，在給定濃度下的某些不確定度的分量，這些分量的相對標準不確定度均是除以某個相同的分母，而輸出量的相對標準不確定度也是這同一個分母，這時是可以采用方和根來合成相對標準不確定度的。必須注意，盡管相對標準不確定度u(X.)都無例外地是無量綱量，它們都用純數(shù)給出，reli但是這些純數(shù)并不都是無條件地可以相對減或是進行方和根運

8、算的。因為這些數(shù)都是量值，而且往往是不同定義的量值。也往往在這種相互獨立的線性函數(shù)中，輸入量X與X按B類方法評定時，一開始就是給12出的相對標準不確定度u(x)和u(x)，例如通過測量儀器引用誤差評定的結(jié)果。那rel1rel2么，由于分母不同(輸出量與輸入量)，也是不能采用方和根得出輸出量的相對合成標準不確定度u(y)的。在這種情況下，必須先把u(x)與u(x)算成標準不確定度u(x)與TOC o 1-5 h zcrelrel1rel21u(x)后再合成為u(y)；如這時要求給出u(y)，即可將u(y)除以y。這是當前極易被2ccrelc忽略的問題之一。當輸入量X與輸出量Y之間的函數(shù)關(guān)系為Y=

9、f(X，X,，XW：匚訃i12N.Y或時，是否也應按先算出靈敏系數(shù)c通過廠譏=；cu(x)2=(y)合成iii可以這樣合成，但不一定要如此復雜。采用這種方法需要麻煩的偏導數(shù)。更為簡單的辦法是采用輸入量的相對標準不確定度u(x)二u(x)/x乘以其相應的X的指數(shù)p，即reliiiiipu(x)/x，進行簡單的平方和得到輸出量Y的相對合成方差滬/刃即卩iii如果我們要求得到u(y)而不是u(y)，則可將得到的u(y)乘以y即可。這是一種完c-crelcrel全等效的計算方法。例如通過物體質(zhì)量m與其運動速度v的測量，求該物體的動能E。它們之間的函數(shù)關(guān)系式k(稱測量模型)是：E=(1/2)mv2k設輸

10、入量m的標準不確定度為u(m)=lg，而m的最佳估計為1kg，速度v的量佳估計為100m/s，其標準不確定度u(v)=0.1m/s，求輸出量E的標準不確定度u(E)。這時，不必kk去求偏導數(shù)得出靈敏系數(shù)，而是求輸入量的相對標準不確定度u(m)=u(m)/m=lg/1kg=1X10-3，u(v)二u(v)/v=(0.1m/s)/(100m/s)=lX10-3，m的指數(shù)為relrel1，v的指數(shù)為2，則，=(lX10-3)2+(2XlX10-3)2=5X10-6，故u(E)X10-3relk而u(E)=X10-3X(l/2)XlkgX(100m/s)2k=X10-3XX104kgm2/s2=llk

11、gm2/s2=llj如果p,只是正1或負1,則在這一情況下：i這就是說:在這種情況下估計值y的相對合成標準不確定度，等于輸入估計值x的相對標i準不確定度的方和根。舉例如下：設以鹽酸作為標準滴定溶液，用以測量某樣品中所含氫氧化鉀的質(zhì)量分數(shù)W(KOH),標準溶液的濃度c(HCl)=(l10-3)mol/L(k=2)，則其標準不確定度uc(HCl)=(1/2)X1X10-rel3=X10-3。滴定終點消耗50mL，按所用的B級滴定管厶=%(厶為最大允許誤差)，由于通過兩次讀數(shù)之差得出，按正態(tài)分布考慮，取包含因子k=3,得消耗體積V的相對標準不確定度u(V)=(l/3)X%X：=X10-2。氫氧化鉀的

12、相對摩爾質(zhì)量來自國際1995年公布的相rel對原子質(zhì)量表，其不確定度大大小于10-5，可忽略不計，其值m(koh)=，在本例計算中可r取近似為，其修約導致的不確定度即可忽略。樣品質(zhì)量m=10g，按所用天平和砝碼的相對擴展不確定度U(m)=3X10-4，包含因子k=3,得其相對標準不確定度為u(m)=1X10-4。relrel計算方程(測量模型)為：W(KOH)=f(V(HCl)，c(HCl)，M(KOH)，m)=(V(HCl)Xc(HCl)XM(KOH)/m代入輸出量的估計值得：W(KOH)=X10-3其相對標準不確定度uW(KOH)，可按u(V)，u(c)，u(m)按方和根得出為：relre

13、lrelreluW(KOH)=reljr:-.-=X10-2如要求給出uW(KOH)，則再乘以W(KOH)的估計值：X10-3XX10-2=17X10-5本例所討論的計算方法，提供了不需求靈敏系數(shù)對合成標準不確定度的計算。當輸入量X之間出現(xiàn)了兩個或兩個以上的量X明顯相關(guān)時，是否可以不去計算協(xié)方差或ii是相關(guān)系數(shù)進行合成標準不確定度的計算在JJF1059中只提到協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的A類評定方法，將它與其他分量的方差相加進行合成。實際工作中，特別是在計量學領(lǐng)域，采用A類評定是十分復雜的。我們可以按經(jīng)驗，把輸入量x中強相關(guān)的那些分量(u(x)等也是由若干分量合成的，其中既有與其他ii輸入量強相關(guān)的分量

14、，也有相互獨立的分量)，按強相關(guān)(r=+1)先行單獨合成作為輸出量不確定度u(y)的一個分量，然后把不相關(guān)的那些分量按彼此獨立合成為u(y)的第二個分量，最后將此兩分量按彼此獨立來進行合成(參閱本講座。例如:在JJF1059合成標準不確定度u(y)的評定中，給過一個例子，當標稱值為1kQc的10個電阻器，用1個值為R的標準電阻器校準，設校準過程中的不確定度遠小于R的TOC o 1-5 h zss標準不確定度u(R)而忽略不計，校準證書給出u(R)=Q?，F(xiàn)將此10個電阻器用電阻可忽ssJO略的導線串聯(lián)構(gòu)成一個10kQ的參考電阻，其R=f(R.)=，R.(線性相加)。JJF1059refii中給出

15、的電阻器的相關(guān)系數(shù)為r(R，R)=1，并不可能是按A類評定的，因為不存在多個ij標準器分別對這10個電阻器進行校準。這里的r(R，R)是按經(jīng)驗得出的。通過經(jīng)驗，當ij兩個(或多個)輸入量使用了同一個標準器或同一臺測量儀器時，或使用了相同的參考數(shù)據(jù)，則它們之間存在極大的正相關(guān)。10個電阻器的校準正是這種情況。在r=+1的情況下，即線性相加，因而，所構(gòu)成的10kQ的R的合成標準不確定度ref10-u(R)=Lu(R)crefi=10XQ二Q但是，如果校準過程中帶來的不確定度并非可忽略不計，例如在對這10個中每個電阻器校準過程中的標準不確定度為Q，10個這樣的分量彼此獨立，大小也一樣，合成起來就是QXUQ。它應按方和根與前面相關(guān)部分合成的Q合成的u(R)=JEmref二Q。合成標準不確定度u(y)的自由度計算中應注意什么問題c合成標準不確定