信號與線性系統(tǒng)分析第4章-課件

1、14 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 信號分解為正交函數(shù)4.2 傅里葉級數(shù)4.3 周期信號的頻譜4.4 非周期信號的頻譜4.5 傅里葉變換的性質(zhì)4.6能量譜和功率譜4.7 周期信號的傅里葉變換4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析4.9 取樣定理24.1 信號分解為正交函數(shù)在線性空間中，任何矢量可用相互垂直的單位矢量表示。這組矢量稱為正交矢量集。 一. 正交函數(shù)集 正交函數(shù)：函數(shù)1(t)和2(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)正交，則 正交函數(shù)集：n個函數(shù)1(t)，n(t)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)構(gòu)成的正交函數(shù)集i(t)滿足 3Ki為常數(shù)，如果Ki1，則稱該函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。 完備正交函數(shù)集：在正交函數(shù)集之外，

2、不存在函數(shù)與之正交。一個完備的正交函數(shù)集通常包括無窮多個函數(shù)。 正交復(fù)函數(shù)的定義：正交函數(shù)集例：（在區(qū)間t0，t0+T，且T=2）三角函數(shù)集：1，cos(nt)，sin(nt)；n1，2，3，復(fù)指數(shù)函數(shù)集：ejnt；n0，1，2， 4二. 信號分解為正交函數(shù) 對任一函數(shù)f(t)用n個正交函數(shù)的線性組合來近似選擇Cj時使實際函數(shù)與近似函數(shù)之間的誤差最小，取均方誤差要使均方誤差最小，就是求函數(shù)的極值。對上式求極值得 5于是可得誤差 均方誤差總是大于等于0，增大n可使誤差減小。 6當(dāng)n，誤差為0，則有帕斯瓦爾(Parseval)方程帕斯瓦爾方程物理意義：如果f(t)是電壓或電流信號，則單位電阻上信號

3、的總能量等于信號的各正交分量的能量之和。 因此f(t)在區(qū)間(t1,t2)可分解為無窮多項正交函數(shù)之和 74.2 傅里葉級數(shù)周期信號在區(qū)間(t0，t0T)上可以展開成在完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。三角函數(shù)集或復(fù)指數(shù)函數(shù)集是完備的正交函數(shù)集，由其展開的級數(shù)統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。一. 周期信號的分解 設(shè)有周期信號f(t)，可分解為 an、bn稱為傅里葉系數(shù)?？捎上率角蟮?an是n的偶函數(shù)，即 anan ；bn是n的奇函數(shù)，即 bnbn 。 f(t)分解式的另一種形式式中 A0=a09例：將方波信號展開為傅里葉級數(shù)。 1f(t)t-T-1T解：傅里葉系數(shù)為 10傅里葉級數(shù)的展開式為 11圖示方波信號分

4、解吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象 ：當(dāng)n時，在間斷點處有9%的偏差。 如果方波信號如圖所示1f(t)t-T-1T則傅里葉級數(shù)的展開式為 12二. 奇、偶函數(shù)的傅里葉系數(shù) 根據(jù)傅里葉系數(shù)計算式，f(t)為偶函數(shù)，則系數(shù)為 f(t)為奇函數(shù)，則系數(shù)為 13任何函數(shù)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分 f(t)fod(t)fev(t) 由于f(t)fod(t)fev(t)fod(t)fev(t)所以 例f(t)=et(t)，則0tf(t)0.50.50tf(t)0.514Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形15全波整流信號 f1(t)=E|sin0t|

5、Ef1(t)t-TT16求半波整流信號f2(t)Esin(0t)(sin0t)的傅立葉級數(shù)。Ef2(t)t-TT半波整流信號是由奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分組成的：17f(t)為奇諧函數(shù)：將f(t)移動T/2后，與原波形反相，即對稱于橫軸 f(t)f(tT/2) 1f(t)t-TT奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中只含奇次諧波，不含偶次諧波。 18三. 傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 因為cosx(ejxejx)/2，所以 AnAnnn19Fn稱為復(fù)傅里葉系數(shù)，計算式為 20傅里葉級數(shù)小結(jié)： 214.3 周期信號的頻譜一. 周期信號的頻譜 周期信號的傅里葉級數(shù)An、Fn、 n與n 有關(guān)，也即與頻率有關(guān)。An或|Fn|

6、與之間的關(guān)系稱為幅頻特性，相應(yīng)地可畫出頻譜圖，稱為幅度頻譜。 n與之間的關(guān)系稱為相位頻譜。周期信號的頻譜只在n處取值，是離散頻譜。 22Sa(x)二. 周期矩形脈沖的頻譜01T/2-T-/2f(t)t定義取樣函數(shù)為Sa(x)為偶函數(shù)23所以在頻譜圖上n處，存在譜線，譜線間隔為 。T不變：減小，幅度減小，一周內(nèi)譜線增加，間隔不變。不變：T增加，幅度減小，譜線間隔變密。圖示頻譜圖。信號能量集中在第一個零點內(nèi)，2/2f0 。定義周期矩形脈沖信號的頻帶寬度為：F=f0=1/ 。24三. 周期信號的功率 周期信號的歸一化平均功率這是功率形式的帕斯瓦爾恒等式。例：幅度為1，脈沖寬度為0.2，周期為1的矩形

7、脈沖信號，信號功率為 25其傅里葉系數(shù)為第一個零點為0.2n=，即n=5。在頻譜第一個零點內(nèi)各分量的功率和為第一個零點內(nèi)分量所占總功率的比例為 264.4 非周期信號的頻譜一. 傅里葉變換 由傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式及其系數(shù)可得當(dāng)T時，d，1/Td/2，n，離散頻率變成連續(xù)頻率，F(xiàn)n為無窮小。上式成為 27常用下面符號簡記： F(j)F f(t)F f(t)表示對函數(shù)f(t)取傅里葉變換，F(xiàn)(j)稱為f(t)的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù)； f(t)F 1F(j) F 1F(j)表示對函數(shù)F(j)取逆變換 ，f(t)稱為F(j)的原函數(shù)。對應(yīng)關(guān)系簡記為：f(t)F(j)頻譜函數(shù)是的復(fù)函數(shù) F(j)|F(

8、j)|ej()R()jX()其中|F(j)|為幅度頻譜，()為相位頻譜。28比較：實函數(shù)f(t)，復(fù)函數(shù)F(j)，復(fù)變函數(shù)F(s)。傅里葉變換的三角函數(shù)形式物理意義：非周期信號含有所有連續(xù)頻率分量，但其幅值為無窮小，用密度代替幅度來表示。傅里葉積分由傅里葉級數(shù)推導(dǎo)而得，所以f(t)在無限區(qū)間上滿足狄氏條件是傅里葉積分存在的條件。|F(j)|是偶函數(shù)該項積分為029一些特殊函數(shù)的傅里葉變換(1) 門函數(shù)的頻譜函數(shù)門函數(shù) g(t)(t/2)(t/2) 頻譜圖傅里葉積分存在的充分條件是f(t)在無限區(qū)間上絕對可積 f(t)t/21030(2) 單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t)et(t) 0

9、 幅度譜和相位譜分別為 0tf(t)31(3) 雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f1(t)e|t| 0 (4) 另一形式的雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)(0) 32二. 奇異函數(shù)的傅里葉變換 (1) 沖激函數(shù)的頻譜 頻譜密度恒為1，稱為均勻譜或白色頻譜。沖激函數(shù)的頻譜也可由門函數(shù)推得 (t)1 33(2) 沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜即 (t)j 幅度譜|F(j)|，相位譜()/2 。根據(jù)廣義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義可得 F (n)(t)(j)n 。(3) 單位直流信號的頻譜單位直流信號可看作雙邊指數(shù)函數(shù)f1(t) 當(dāng)0時的極限 直流分量為有限值，頻譜密度為無窮。34 頻譜函數(shù)是沖激函數(shù)，其強度為所以(4)

10、 符號函數(shù)的頻譜 符號函數(shù)定義為 1sgn(t)t0-135sgn(t)可看作是雙邊指數(shù)函數(shù)f2(t)當(dāng)0時的極限，其頻譜函數(shù)為通常表示為 sgn(t)2/j (5) 階躍函數(shù)的頻譜 36常用函數(shù)的傅里葉變換：374.5 傅里葉變換的性質(zhì)(1) 線性 若 fi(t) Fi(j) (i=1,2,n)則對任意常數(shù)ai (i=1,2,n)，有 傅里葉變換對傅立葉變換后線性性質(zhì)不變。38(2) 奇偶性分析頻譜函數(shù)的奇偶性，及其與時間函數(shù)之間的關(guān)系。頻譜函數(shù)的實部和虛部分別為 頻譜函數(shù)的模和相角分別為 39f(t)是時間t的實函數(shù)：R()=R(), X()=X() |F(j)|=|F(j)|, ()=(

11、) 若f(t)是偶函數(shù)，則X()0，F(xiàn)(j)R()；若f(t)是奇函數(shù)，則R()0，F(xiàn)(j)jX()。f(t)的傅里葉變換為 F(j)R()jX () R()jX()F*(j)即 F f(t)F(j)F*(j) 40f(t)是時間t的虛函數(shù)，即f(t)=jg(t)，則有 R()=R(), X()=X()|F(j)|=|F(j)|, ()=() F f(t)F(j)=F*(j) 類似可得f(t)為復(fù)函數(shù)的性質(zhì)。無論f(t)為實函數(shù)或復(fù)函數(shù)，都有F f(t)=F(j)F f*(t)=F*(j)F f*(t)=F*(j)41(3) 對稱性若f(t) F(j) 則 F(jt) 2f() 傅里葉逆變換式

12、將式中的自變量t換為t得 將上式中的t換為，換為t，即得42例：求取樣函數(shù)Sa(t)=sint/t的頻譜函數(shù)。門函數(shù)傅氏變換 g(t) Sa(/2)根據(jù)對稱性 Sa(t/2) 2g()令2，則得 Sa(t) g2() 例：求函數(shù)f(t)=t的頻譜函數(shù)。 (t) j jt 2()=2() t j2() 43(4) 尺度變換 若 f(t) F(j) 則 如a1，則表示在時域中信號對時間的壓縮，對應(yīng)其在頻域中信號占有頻帶的擴展。證明：令x=at，則當(dāng)a0時 44令x=tt0(5) 時移特性 當(dāng)a0時若 f(t) F(j)則 f(t t0) e jt0F(j)，(t0為常數(shù)) 證明：同理可得f(t+t

13、0)的變換。 45例：求圖示五脈沖信號的頻譜。解：單脈沖信號的變換為 g(t)Sa(/2) 因為 f(t)g(t)+g(t+T)+g(tT)+g(t+2T)+g(t2T)所以 F(j)Sa(/2)(1+ejT+ejT+ej2T+ej2T) Sa(/2)1+2cos(T)+ 2cos(2T)當(dāng)T4時波形見圖4.5-4。f(t)t/2T10-T2T-2T脈沖數(shù)n？46綜合尺度變換和時移特性有若 f(t) F(j) 則由尺度變換可得反轉(zhuǎn)特性: F f(t)F(j)例：求圖示f2(t)、f3(t)函數(shù)的傅里葉變換。 f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-147解：f1

14、(t)為門函數(shù)，其傅里葉變換為g2(t) 2Sa() 函數(shù)f2(t)可表示為 f2(t)=f1(t+1)f1(t1)其傅里葉變換又f3(t)=f2(2t)，所以48f3(t)也可直接由綜合變換式求得 f3(t)=g2(2t+1)g2(2t1) g2(t) 2Sa() 49(6) 頻移特性 若f(t) F(j)，且0為常數(shù)則 應(yīng)用頻移特性實現(xiàn)頻譜搬移，將信號f(t)乘以載頻信號cos0t或sin0t得到。因為同理可得50例：矩形調(diào)幅信號51(7) 卷積定理 時域卷積定理 若 f1(t) F1(j) f2(t) F2(j) 則f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j) 證明： 52頻域卷積定理

15、若f1(t) F1(j)f2(t) F2(j) 則 證明：53例：求斜升函數(shù)r(t)=t(t)的頻譜。解：根據(jù)函數(shù)t和(t)的頻譜，應(yīng)用頻域卷積定理 由此可得： F |t|=F t(t)+(t)(t)54(8) 時域微分和積分 時域微分定理 若 f(t) F(j) 則 f(n)(t) (j)nF(j) 根據(jù)卷積的微分運算和時域卷積定理，則有 F f(t)=F f(t)*(t)=F f(t)F (t)=jF(j) 重復(fù)應(yīng)用以上結(jié)果得時域微分定理。在交流電路分析時：時域積分定理 若 f(t) F(j)則 f(1)(t) F(0)()+(j)1F(j) 55根據(jù)時域卷積定理，可得 F f(1)(t)

16、=F f(1)(t)*(t)=F f(t)*(1)(t) =F f(t)F (t)=F(j)()+1/j =F(0)()+F(j)/j F(0)可以在頻域中求，也可在時域中求： 56例：求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。f(t)t-/2/210f(t)t-/2/22/0-2/f(t)t-/2/20(2/)(2/)(-4/)對其求二次導(dǎo)數(shù)得沖激函數(shù)57f(t)的頻譜函數(shù)為因為F(0)=0，F(xiàn)(j)/j|=0=0，所以f(t)的頻譜函數(shù)為則三角形脈沖可表示為 58則頻譜函數(shù)應(yīng)為在時域積分定理中認為實際上例：(t)與sgn(t)/2的導(dǎo)數(shù)都是(t)，但時值不同59(9) 頻域微分和積分 頻域微分若f(t) F

17、(j)則 (jt)nf(t) F(n)(j) 或 tnf(t) jnF(n)(j) 證：F 1F(j)=F 1F(j)*() =2F 1F(j)F 1()即 (jt)1f(t) F(1)(j)類推可得n次微分。時域函數(shù)有tn因子時，變換可考慮用頻域微分性質(zhì)。 60頻域積分若f(t) F(j)則 式中f(0)可以在時域中求，也可在頻域中求證明： F 1F(1)(j)=F 1F(j)*(1)() =2F 1F(j)F 1() = 2f(t)F 1()61時域函數(shù)有t1因子時，且f(0)=0，可考慮用如下頻域積分性質(zhì)因為根據(jù)對稱性取反轉(zhuǎn)62例：求r(t)=t(t)的頻譜函數(shù)。例：求Sa(t)=sin

18、t/t的頻譜函數(shù)。應(yīng)用頻域微分應(yīng)用頻域積分63若 f1(t)F1()，f2(t)F2()則有相關(guān)定理 F R12()=F1(j)F2*(j) F R21()=F1*(j)F2(j)這是因為 F R12()=F f1()*f2() =F1(j)F2(j)=F1(j)F2*(j)相關(guān)定理中f1(t)、f2(t)應(yīng)該是實函數(shù)。對于自相關(guān)函數(shù)則有 F R()=F(j)F*(j)=|F(j)|2(10) 相關(guān)定理 64傅里葉變換性質(zhì)小結(jié) 線性 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(j)+ a2F2(j)奇偶性 f(t)為實函數(shù)：R()、|F(j)|偶函數(shù)；X()、 ()奇函數(shù)。F f(t)=F(j)

19、=F*(j)對稱性 F(jt) 2f() 時移特性 尺度變換65時域卷積定理 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j) 頻域卷積定理 時域微分f(n)(t) (j)nF(j) 時域積分 頻域微分 (jt)nf(t) F(n)(j) 頻域積分 頻移特性66若E、P有界，則f(t)稱為能量信號或功率信號。能量譜 若f(t)為實函數(shù)，信號能量與頻譜函數(shù)的關(guān)系 4.6 能量譜和功率譜67即 上式也是能量形式的帕斯瓦爾方程。可將上式改寫為物理意義：在df頻帶范圍內(nèi)，信號具有的能量為無窮小量|F(j)|2df 。定義能量密度譜 E ()=|F(j)|2信號的能量譜是其自相關(guān)函數(shù)的頻譜函數(shù) E ()=F

20、 R()=|F(j)|2E ()反映了信號的能量在頻域中的分布。68功率譜 定義函數(shù) fT(t)=f(t)(t+T/2)(tT/2) FT(j)=F fT(t)如果f(t)是實函數(shù)，則信號平均功率為當(dāng)T時，fT(t)f(t)。定義功率密度譜為功率譜P ()反映信號功率在頻域中分布。69若f1(t)和f2(t)是功率信號，定義互相關(guān)函數(shù)為若f(t)是功率信號，定義自相關(guān)函數(shù)為其傅立葉變換為70即 R()P ()此即維納-欣欽關(guān)系，據(jù)此可用功率譜描述隨機信號的頻率特性。例：求信號f(t)=Sa(t)的能量。解：已知變換對根據(jù)信號的能量與頻譜函數(shù)關(guān)系式，Sa(t)的能量為714.7 周期信號的傅里葉

21、變換一. 正、余弦函數(shù)的傅里葉變換二. 一般周期函數(shù)的傅里葉變換 周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 式中=2/T。72周期函數(shù)的傅里葉變換 上式表明周期函數(shù)的F(j)和Fn之間關(guān)系。傅里葉變換得到的是頻譜密度F(j)，傅里葉級數(shù)得到的是傅里葉系數(shù)Fn。 周期性單位沖激函數(shù)系列稱為梳狀函數(shù) 73所以T(t)的傅里葉變換為 梳狀函數(shù)的傅里葉系數(shù)為0-2T-TT2TT(t)t0-2-2()74周期信號fT(t)在一個周期內(nèi)(T/2T/2)函數(shù)令為f0(t)，則 fT(t)=f0(t)*T(t) (見P71)其傅里葉變換為 比較可得傅里葉變換中的一些性質(zhì)、定理也可用于傅里葉級數(shù)。主周期信號f0(t)包含了周期

22、信號fT(t)的全部信息。75則其傅里葉變換為 例：周期矩形脈沖信號其傅里葉系數(shù)為7677例：將圖示周期信號展開成指數(shù)型傅里葉級數(shù)。fT(t)0t1T-T解：f1(t)的傅里葉變換為f0(t)的傅里葉變換為 f0(t)0t1Tf1(t)0t1T/278fT(t)的傅里葉系數(shù)為 fT(t)的傅里葉級數(shù)為 實際上794.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析一. 頻率響應(yīng) 系統(tǒng)的時域分析法用(t)或(t)作為基本信號，系統(tǒng)的頻域分析法可用虛指數(shù)函數(shù)ejt作為基本信號。 在時域分析中，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 yzs(t)=h(t)*f(t) 應(yīng)用傅里葉變換的時域卷積性質(zhì) ，上式成為 yzs(t)=F 1H(j)F(j

23、) 頻域分析法就是應(yīng)用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)的響應(yīng)，將時域中的卷積運算變換為頻域中的相乘運算。 由于在頻域分析時，只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此以下yzs(t)簡寫為y(t)。80LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，設(shè)激勵為虛指數(shù)函數(shù)f(t)=ejt(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y(t)=h(t)*f(t) 式中H(j)是h(t)的傅里葉變換，稱為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位變化。 任意信號f(t)可以看作無窮多個虛指數(shù)信號ejt之和，即 81任意信號激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)的推導(dǎo)：H(j) 也可定義為|H(j)|稱為幅頻特性，()稱為相頻特性。 82例：求系統(tǒng)y(t)+2y

24、(t)=f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，f(t)=et(t)。解：對微分方程取傅里葉變換得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得激勵的傅里葉變換 響應(yīng)的傅里葉變換 取傅里葉逆變換得系統(tǒng)響應(yīng) y(t)=(ete2t)(t) 83例：電路如圖所示，激勵為us(t)=(t)，求零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)。 +CR_+us(t)_uC(t)解：電路頻率響應(yīng)函數(shù)為激勵的傅里葉變換 84電路零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)的頻譜函數(shù)為 取傅里葉逆變換得 uC(t)=F 1UC(j)=(1et)(t)根據(jù)交流電路建立電路方程的方式，得到頻率響應(yīng)函數(shù)，由H(j)可求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。85例：求圖示系統(tǒng)的輸出y(t)。已知f(t)s(

25、t)x(t)y(t)H(j)解：門函數(shù)的頻譜函數(shù)為取4，根據(jù)對稱性可得 4Sa(2t)2g4()=2g4()即 F sin(2t)/t=g4()s(t)的頻譜函數(shù)為F cos(3t)=(+3)+(3)86根據(jù)系統(tǒng)圖得y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*f(t)s(t)取傅里葉變換得 87取逆變換可得-11X(j)5-5g4(+3)+ g4(3)H(j)3-3g6()Y(j)-113-3g2(+2)+ g2(2)88二. 無失真?zhèn)鬏敓o失真?zhèn)鬏數(shù)妮敵鲂盘柖x為：y(t)=Kf(ttd) 對上式取傅里葉變換得：Y(j)=KejtdF(j) 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為：H(j)=Kejtd 所以無失真?zhèn)?/p>

26、輸?shù)臈l件為 |H(j)|=K ()=td |H(j)|0K()089無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=K(ttd) 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的沖激響應(yīng)還是沖激函數(shù)，但有強度變化和延時。 三. 理想低通濾波器的響應(yīng)理想低通濾波器可看作頻域中寬度為2c的門函數(shù)根據(jù)對稱性，由得 |H(j)|01c-c()90令=2c，得 所以 理想低通濾波器的沖激響應(yīng) 沖激響應(yīng)在輸入沖激之前就已出現(xiàn)，因而是非因果系統(tǒng)，這是由于理想化的結(jié)果，實際不可實現(xiàn)。 91理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為式中Sa(x)為偶函數(shù)，其積分定義正弦積分 所以令 c(td)=x xc=c(ttd)92物理可實現(xiàn)系統(tǒng)應(yīng)滿足的條件：時域（因果條件） h

27、(t)0, t0 g(t)0， t2m時，不發(fā)生混疊現(xiàn)象，可以從取樣信號中恢復(fù)原信號。否則就不能恢復(fù)原信號。 例：對信號f(t)=2sin0t+sin30t進行沖激取樣，取樣頻率應(yīng)為多少？因為m=30，所以s60 。 矩形脈沖取樣 取樣脈沖序列是幅度為1，脈寬為(Ts)的矩形脈沖序列 s(t) = pTs(t) 其頻譜函數(shù)(見P168)為97則取樣信號的頻譜函數(shù)f(t)0tF(j)0m-mP(j)0spTs(t)0tTs1fs(t)0tTsFs()0sm98二. 時域取樣定理f(t)s(t)fs(t)h(t)f(t)為了從Fs(j)中無失真地恢復(fù)F(j)，選擇一個理想低通濾波器(時延為0，幅度

28、為Ts)輸出信號頻譜F(j)= Fs(j)H(j) F(j)0smc99低通濾波器是幅值為Ts的門函數(shù)，其沖激響應(yīng)為由此得 令 c=s/2100101f(t)0tfs(t)0tTs-Tsh(t)0tTs-TsFs(j)0sm-s0cH(j)-c0F(j)m-mF(j)S(j)Fs(j)H(j)F(j)102時域取樣定理 ：一個頻譜在區(qū)間(m，m)以外為零的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts(Ts2m)上的樣點值f(nTs)確定。奈奎斯特(Nyquist)頻率：取樣頻率的下限fs2fm ；奈奎斯特間隔：取樣間隔的上限TsTm/2。例1：求信號f(t)2+4cos(5t)+cos(10t)的取樣頻率。解：因為 m2fm10 rad/sf(t)最高頻率 fm5/ Hz奈奎斯特頻率 fs2fm10/ Hz奈奎斯特間隔 Ts 1/fs/10 s 103例2：求信號