傅里葉變換性質(zhì)證明

1、2.6傅里葉變換的性質(zhì)線性若信號期和明的傅里葉變換分別為F J M和F%(田),則對于任意的常數(shù)a和b,有Fafi(t)+fa( t)卜aF/田)+bF/田)將其推廣，若1,2,3.n,則鯉1 n辱式也)I?J 】其中&為常數(shù)，n為正整數(shù)。由傅里葉變換的定義式很容易證明線性性質(zhì)顯然傅里葉變換也是一種線性運算， 在第一章我們已經(jīng)知道了，線性有兩個 含義：均勻性和疊加性。均勻性表明，若信號乘以常數(shù) a,則信號的傅里葉變換 也乘以相同的常數(shù)a,即疊加性表明，幾個信號之和的傅里葉變換等于各個信號的傅里葉變換之和尸少陽+加)”尸卜卜尸以川反褶與共腕性卜/融由二F)於/十人/、設(shè)f(t)的傅里葉變換為Jp

2、,下面我們來討論信號反褶、共腕以及既反褶又共腕后，新信號的傅里葉變換。(1)反褶f(-t)是f的反褶，其傅里葉變換為1r=融g-COiff 3 d .1二匚口建小二尸0(2)共腕e)】二J：n 就=K* (-cd=匚7)葉成二工卜以葉(比j因為dt是實數(shù)，所以dU*=dt 將共麗提到積分之外 根據(jù)俾里葉變換的定義(3)既反褶又共腕巴7(-加匚)產(chǎn)出-f(x)edx = F)本性質(zhì)還可利用前兩條性質(zhì)來證明：設(shè) g(t)=f(-t), h(t)=g*(t),則在上面三條性質(zhì)的證明中，并沒有特別指明f(t)是實函數(shù)還是復函數(shù)，因此，無論f(t)為實信號還是復信號，其傅里葉變換都滿足下面三條性質(zhì)陽（=

3、F（w） 町匕）=，（昉 FLHfhFE勸奇偶虛實性是復函數(shù)，因此可以把它表示已知f(t)的傅里葉變換為。在一般情況下, 成模與相位或者實部與虛部兩部分，即F）= F卜甩+/（由）（2-33）顯然囪卜回麗了祠根據(jù)定義，上式還可以寫成尸（由）出 J （/CQStuf）df-J匚（/血現(xiàn)沖 2-S4）下面根據(jù)f(t)的虛實性來討論F()的虛實性。f(t)為實函數(shù)對比式(2-33)與(2-34),由FT的唯一性可得= f(t)coS。岫，(加燦血 Mf(t)是實的偶函數(shù)，即Kt)=f(-t)xg)的積分項是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時X( )=0 ,于是F) = 2于(t)3 領(lǐng)出

4、可見，若f(t)是實偶函數(shù)，則F()也是實偶函數(shù)，即兄劃=P(oJ = F向左邊反褶，右邊共腕f(t)是實的奇函數(shù)，即-f(t)=f(-t)R3)的積分項是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的積分為零，故這時R( )=0,于是尸(力=-2)(芯)sin(感)必可見，若f(t)是實奇函數(shù)，則F(2是虛奇函數(shù)，即() 0和a rfx = ir(-)當 a 0 時a7anF 叫= -l危%= F(2)當a (x+tdxJ -8二十叫廣f(xQ*x J -co上式右邊的積分項為傅里葉變換定義式,于是可以得到卜網(wǎng)咖W同理可以得到 J”時域微分若 Ff(t)=F(但),則證明:因為叫=憐卜尸),兩邊對t求導，可

5、得所以Wdt誓二紀叫同理，可以推出。田)5(田)的頻譜F()的傅里葉變由上可見，在時域中f 對t取n階導數(shù)等效于在頻域中f 乘以(j)n.下面舉一個簡單的應(yīng)用例子。若已知單位階躍信號 u(t) 換，可利用此定理求出的FTfmo)=-!-+同由)7(6?) =/a +uS(m) - 1改 頻域微分若 Ff(t)=F(3),則尸噌卜口川,證明：因為da)F(3)L W*山,兩邊分別對心求導，可得尸:/丁雙成J 一8所以（沙）%）例之6利用頻域微分特性求F 什。解：由干網(wǎng)1=2兀5)，根據(jù)領(lǐng)域微分特性可得北,里: 吟.r*w，f，,立與.再由FT的線性可得空菠WK/打二2時域積分證明：h盤/7Mdi

6、-CO若FEf網(wǎng)使），則/切工=（J助一】#3） +凝沆0）詁于酶麻與源贖加%變檢積分流序并且利用階躍信號的陽里葉變換關(guān)系式 11Fut - 7）-化炙碗日； :于曷人g,mb.V- .R e J母壕姿, 沼=匚沈貿(mào)卬%中%孔+匚/日） JdF上2寸卜 /田=。出尸以十避方（助恃別地j如果酗在血口 g處有界，則忙筆)昭a.y J- 一 .尹解：由于F 口代凄6短且由時域積分特性可得*回2郡伊.2Mli可見，這與利用符號函數(shù)求得的結(jié)果一致。2.6,10頻域積分若 Ff(t)=F( s),則有F3)ds =引 0)池 + /2.6.11時域卷積定理證明：在倒蹲嬲卜工;卑i誦跖*）小手3必（卷積和FT的定義）=工）匚建”工）edt dx改換積分次序）=舞蜘尸洪）卜”tn定義及其時程特性）二網(wǎng)$ （0 j? f恂會巧化 俁于續(xù)受里常函數(shù)提出來）_ n * - =切怎時寶翻=：嘴（加因磁門皿）/顰更鮮貧迦葭甯1堡彳L 止=（匚耳（前F（四）d田=r m是信號f（t）的總能量，內(nèi)聯(lián)為信號f（t）的能量譜密度。帕斯瓦爾定理表明,這個