復合材料彈性力學

1、各應力分量統(tǒng)一用張量符號表示為，前下標表示該應力作用面外法線所平行的軸，后下標表示該應力分量所平行的軸，應力的正負號與下標的關系，規(guī)定如下：對于外法線沿正軸方向的面上的應力，當應力分量沿正軸方向時，應力分量為正，當應力分量是在外法線沿負軸方向的面上時，沿負軸方向的應力分量為正。應變分量統(tǒng)一用張量符號表示，其中線應變（i=x,y，z）是當正應力ijiioii作用在單元體上時，單元體中沿下標方向尺寸的變形的度量；剪應變氣（i為）正比于在J作用下單元體兩棱邊，所夾直角的角度改變量。剪應變丫=-_，ijxy2剪應變張量定義為=Y，類似有，=Y。（、為張量剪應xy2xyyz2yzxyxzyz變，丫、Y、

2、Y為工程剪應變xyxzyz一般情況下，各向異性體中的每一個應變分量都是全部應力分量的線性函數(shù)，如用張量形式表示，他們的關系可以寫為：=C，稱為本構(gòu)方程ijijklkl亦即廣義胡克定律，C稱為剛度矩陣。ijkl工程中通常采用簡化符號，C=C（m，n=1，2，3，4，5，6），即下標ijklmn11=1，22=2，33=3，23=4，31=5，12=6。=C,C=C=,2=Y111234111234=C=,2=Y22231522231531=C=,2=Y33312633312612用應變表示應力的廣義胡克定律（均質(zhì)各向異性材料具有21個獨立的彈性參數(shù)）：GCCCCCC一11111213141516

3、1GCCCCCC22122232425262GCCCCCC3313233343536r-CCCCCCG44142434445464GCCCCCC55152535455565GCCCCCCV6丿6162636465666縮寫為：bi=Ccij為剛度系數(shù)，cj為剛度矩陣另一種寫法：c、GCCCCCC一廠、11112131415161GCCCCCC22122232425262GCCCCCC3=31323334353613rCCCCCCTY2341424344454623TCCCCCCY3151525354555631TCCCCCCY1261626364656612用應力表示應變的廣義胡克定律表達式S

4、SSSSS一211ii12131415161SSSSSSG21222232425262SSSSSSG3、132333343536N31rr_1rSSSSSSG41424344445464SSSSSSG51525354555565SSSSSSG61626364656666另一種寫法：SSSSSS一P1112131415161SSSSSSO21222232425262SSSSSSO3k1323333435363r_1rYSSSSSST2314243444454623YSSSSSST3115253545555631YSSSSSST1216263646566612對于完全彈性體，外力作用下，在等溫條件

5、下產(chǎn)生彈性變形，外力做功，它以能量形式儲存在彈性體內(nèi)，這一能量只取決于應力狀態(tài)或者應變狀態(tài)，而與加載過程無關，這種能量稱為應變勢能，單位體積的應變勢能又稱為應變勢能密度用W表示。（在彈性體受力發(fā)生變形的過程中，外力要做功，于此同時，彈性體內(nèi)部要儲存能量，稱為彈性應變能，）duavQwawav幾何方程：=1dx，2ay3azy23ay+azdwdududv丫=+31dxdz，y-+12dydx其中u，v，w為任一點在x，y，z（1，23）坐標軸方向的位移。彈性對稱面：指經(jīng)過物體內(nèi)每一點都有這樣的平面，在這個平面的對稱方向上具有相同的彈性特性（或者物體內(nèi)每一點都有這樣一個平面，在這個平面的對稱點上

6、彈性性能相同，這樣的材料就具有一個彈性對稱面）。1、具有一個彈性對稱面的材料（13個獨立的彈性系數(shù)）：垂直于彈性對稱面的方向稱為主方向，沿此方向的坐標軸稱為彈性主軸，這種材料在結(jié)晶學中稱為單斜體。Z=0為對稱面時，r、QCCC00C_r、81111213161QCCC00C82122223262QCCC00C8=13233336V3Q000CC08444454Q000CC08545555QCCC00C86162636666可見，各向異性材料中，正應力將引起剪應變，反之，剪應力也將引起線應變。Y=0為對稱面時：r、QCCC0C0一r、81111213151QCCC0C082122223252QC

7、CC0C08V3=13233335V3Q000C0C8444464QCCC0C085152535555Q000C0C86466662、正交各向異性材料具有三個彈性對稱面，九個獨立彈性系數(shù)。具有兩個正交彈性對稱面的材料一定對于和這兩個平面垂直的第三個平面具有對稱性。2JC11C12C13000一81QCCC000822122232QCCC00083二3123333V000C00VrQ84444Q0000C085555Q00000C86一666可知：坐標方向為彈性主方向時，正應力只引起線應變，剪應力只引起剪應變，兩者互補耦合，即正應力不引起剪應變，剪應力不會引起線應變。（正應力與剪應變之間沒有耦合

8、，剪應力與正應變之間沒有耦合，不同平面內(nèi)的剪應力和剪應變之間也沒有相互作用）3、橫觀各向同性材料具有一個各向同性面的材料：若經(jīng)過彈性體材料一軸線，i在垂直于改軸線的平面內(nèi)，個點的彈性性能在個方向上都相同，則此材料稱為橫觀各向同性材料，此平面叫各向同性面，有五個獨立彈性常數(shù)。CCC000o1112131CCC0001o1211132CCC0002o131333V3=000C00V3ro4440000C04o445C-C5o000001112-6264、各向同性完全對稱情況：各向同性材料中每一點在任意方向上彈性特性都相同，具有兩個獨立彈性常數(shù)。o1o2o5o6C11C12C12000C12C11C

9、12000C12C12C11000000C-C11122000000C-C1112200000C-CH12212V3456正交各向異性材料的工程彈性常數(shù)：工程彈性常數(shù)是廣義的彈性模量E，i泊松比v和剪切模量G，這些常數(shù)可以用簡單的拉伸及純剪切試驗來測定。vijijij是i方向正應力引起j方向橫向應變的泊松比，即i方向的正應力所引起的j方向應變同i方向應變之比的負值，v二-j。g是i-j平面內(nèi)的剪切模量。ijij柔度系數(shù)和工程模量之間的關系：-1V31-V31000EEE133V1V13-33-000EEE133VV1-3-33-000EEES133ij_|100000G33100000G311

10、00000G12剛度系數(shù)和柔度系數(shù)的關系：SSS3SSSSC223-23-C13_23-12-3311A12ASSS2SSSSC334-13-C12_2343-2233A13ASSS2SSSSC112212C12132311V/33AV/23A111CCC44S55S66S445566A=SSSSS2SS2SS2+2SSS113333112322133312122323剛度系數(shù)和工程模量之間的關系：2211CC12C13C22C23C331-VV2332-EEA23+VV213123-EEA23+VV-121_32-:EEA231-VV133EEA13+VV-212_3EEA131-VV122

11、,CEEA12+VV1232UEEA13+VV131223-EEA12+VV232113EEA1244二G,C二G,C二G23553166121-VV-VV-VV-2VVVA二12_2123_321_3121_32_13EEE123馬克斯韋爾定理：VjEiV12ViLEjV21E2V31E3，V共有6個，但其中三個可由iiV32E3另外3個泊松比和E，E，E表示，因此上式常用于檢驗試驗結(jié)果可靠性或材123料是否正交各向異性。V和V關系：第一個圖：=Atk，=-V-=-A.r，第二個圖：iiii1EL212EL1122-?812-?2EL121EL由互等關系A=A2112即當應力作用在1方向時引

12、起的2方向的變形與2方向應力引起的1方向的變形相等，由此得：篤，因為一般E豐E，所以VhvEE12122112JIA12L,單層復合材料的宏觀力學分析（在材料主方向上施加力）1、平面應力下單層復合材料的應力應變關系：3方向為單層復合材料的厚度方向，所以G=0,T323=G，應變-應力關系：SS01G111121=SS0212222Y00ST12661215vvS=S=12215S11E12EE224315121應力-應變關系1,SE662G12G12T12QQ01111211QQ01222200Q_YK-iJ6612其中Q.為二維剛度矩陣，Q工C，一般有所減小，ijijijTOC o 1-5

13、h zSSS1Q=22,Q=12,Q=11,Q=11SS-S212SS-S222SS-S266S11221211221211221266EvEvEEQ=15Q=122=2115Q=25Q=G111-vv121-vv1-vv221-vv661212211221122112212、應力轉(zhuǎn)軸公式：一般單層材料的主方向1、2與層合板總坐標x、y不一致。12用1-2坐標系中的應力來表示x-y坐標系中的應力的轉(zhuǎn)換方程為：ocos20 xso=sin20yTsin0cosxy-sin20cos200一sin0cos0一2sin0cos02sin0cos0cos20一sin202T12oxyTxyoo廠、o1

14、1xso，o=To22yTTT1212xyt-1cos20sin202sin0cos0T=sin20cos20一2sin0cos0一sin0cos0sin0cos0cos20一sin20cos20T卜1=sin20sin0cos0sin20cos20一sin0cos0一2sin0cos02sin0cos0cos20一sin20cos20 xs=sin20yY2sin0cos0 xy-3、應變轉(zhuǎn)軸公式sin20cos20一2sin0cos0一sin0cos0sin0cos0cos20一sin20scos201=sin201Y2sin0cos012-sin20cos202sin0cos0s11si

15、n0cos0-sin0cos0cos20-sin20sxJxyYsscAsXX1y，y1YYYxyxy12t-1orqQ11112o=QQ21222T00121-123、x-y坐標系里應變表示應力：0sCAs1=Q1022Q66Y12Y121oZ-、oX=T1y2TTxy12s=t-1qs2Y12t-1q卩t-1sXyYxy令Q=t-1qt-1Txy=QQQfs1216xQQ2226yQQy2666xyQ二Qcos40+2(Q+2Q)sin20cos20+Qsin401111126622Q二(Q+Q4Q)sin20cos20+Q(cos40+sin40)1211226612Q二Qsin40+2

16、(Q+2Q)sin20cos20+Qcos402211126622Q二(QQ2Q)sin0cos30+(QQ+2Q)sin30cos016111266122266Q二(QQ2Q)sin30cos0+(QQ+2Q)sin0cos3026111266122266Q二(Q+Q2Q2Q)sin20cos20+Q(cos40+sin40)661122126666在x，y坐標中即使正交各向異性單層材料顯示出一般各向異性性質(zhì)，剪應變和正應力之間以及剪應力和線應變之間存在耦合情況，但是它在材料主方向上具有正交各向異性特性，故稱為廣義正交各向異性單層材料。Q中的6個系數(shù),22662666661112666666111112,Q都是e的偶函數(shù),Q,1626是e的奇函數(shù)。4、x-y坐標系里應力表示應變：SS8x12220STT12=訂sJTTSTxy12SSS_r,O111216xSSS1Or122226ySSSTL162666一xy881yYY12xyxyTTSTcos1111(2s1266)sin2eco