工程碩士(有限元方法)復(fù)習(xí)題及答案

1、桿件結(jié)構(gòu)1、單元?jiǎng)偠热绾委B加成結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣？為什么這樣疊加？如何從剛度矩陣的物理意義去理解此疊加關(guān)系？疊加成的整體剛度矩陣又有什么特點(diǎn)？組裝總剛k肘一般規(guī)則：1-當(dāng)kJ中時(shí)，該點(diǎn)被哪幾個(gè)單元所共有則總剛卡矩陣1就是這兒個(gè)單元的剛度矩陣子矩陣1啲相加當(dāng)也訂中尸莎時(shí)，若TE邊是組合休的內(nèi)邊，則思枠剛度矩陣kj就是共用該邊的兩相哪單元單剛子矩陣的相加。當(dāng)住中尸和用不同屬于任何單元時(shí)，則總休剛皮矩陣通常，采用剛度集成法或苣接剛度法來組集整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣剛度集成法分兩步進(jìn)行。第一步，把單元?jiǎng)偠染匦糇o(hù)大成單元的貢獻(xiàn)矩陣回；使單元?jiǎng)偠染仃嚨乃膫€(gè)子塊按總體編號(hào)排列尖空白處作零子塊填充“第步，以單元3為例

2、，局部碼X2,3對(duì)應(yīng)于總碼気4?J,按照這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系擴(kuò)充心，可得出單元。的貢獻(xiàn)矩陣總碼I2343X2*_局葡碼用同樣的方法可得單元的貢獻(xiàn)矩陣區(qū)L第步，把各單元的貞獻(xiàn)矩陣對(duì)應(yīng)行和列的子塊相書加,即可得出整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣贋h如（5斗2）式在這里應(yīng)該指出夬整粹剛度矩跑巧中每個(gè)子塊畑空階矩陣，所以若整體結(jié)構(gòu)分為川個(gè)節(jié)點(diǎn)，則整棒剛度犯陣的階數(shù)x2n整體剛度矩陣的性質(zhì)：1-剛度矩陣咼中毎一列元索的物理意義為:欲使彈性體的某一節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向役生單位位移，而其它節(jié)點(diǎn)都傑持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需耍施加的節(jié)點(diǎn)力“N剛度矩陣昭中主對(duì)角元索總是止的亂剛度矩陣岡是一個(gè)對(duì)稱矩陣，即匹.=虛畀乩剛度矩陣旳是一個(gè)

3、稀疏矩陣5剛度矩陣図是一個(gè)奇異矩陣，在排除剛體位移后它是疋定陣.等參數(shù)單元證明平面三角形常應(yīng)變單元為等參數(shù)單元。可.見，常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧獌?nèi)任一點(diǎn)的位移函數(shù)扌甬H公式與該點(diǎn)的位置坐標(biāo)變換式，都貝有完全相同的形式“它們都是用同樣個(gè)數(shù)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)値（結(jié)點(diǎn)位移值或坐標(biāo)值）作刃參數(shù)，并11用完全相同的形函數(shù)作為這些舞點(diǎn)值前面的系數(shù)項(xiàng)。當(dāng)參數(shù)取為結(jié)點(diǎn)位移時(shí)就得到位移函數(shù)栩值公式；當(dāng)參數(shù)収為結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，就得到位置坐標(biāo)插值公式或位置坐標(biāo)變換式）.常應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧倪@種位移函數(shù)描值公式均位置坐標(biāo)變換式之間的對(duì)應(yīng)協(xié)調(diào)關(guān)系，就是等參元的基本特征。所以，等參元的基本概念可簡(jiǎn)單概括成：一個(gè)單元的位移函

4、數(shù)插值結(jié)點(diǎn)數(shù)與其位置坐標(biāo)變換結(jié)點(diǎn)數(shù)相等其位移函數(shù)插值公式與位置坐標(biāo)變換式都用相同的形函數(shù)與結(jié)點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行插值者稱為等參元顯然，當(dāng).應(yīng)變?nèi)切螁卧途匦螁卧褪莾煞N最簡(jiǎn)單的等參元1試證明三角形常應(yīng)變單元x二xN+xN+xNiijjmmy二yN+yN+yNiijjmm對(duì)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元，選用的位移模式是把單元中任一點(diǎn)的位移u,v表示為坐標(biāo)x和y的線性函數(shù),(3-2)同時(shí)設(shè)各節(jié)點(diǎn)位移z/二a】+a2xa3y_aA+a5x+a6y式中ava2,a3,a4,a5,a6為待定常數(shù)設(shè)各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為(Xi,yi),(Xj,yj),(Xm,ym),為(Ui,Vi),(Uj,Vj),(%,陽)代入式(3-2)得%=

5、tzt+2+tz3vw由上式左邊的三個(gè)方程可以求得1=2AuiUJXJx用a.X-12AuiIm1七，=2A其中2A=XiXJ式中為三角形面積，為了保證求得的面積為正值，三個(gè)節(jié)點(diǎn)i,j,m必須按逆時(shí)針編排，如圖3-2所示。將的心心代入式（3-2）,經(jīng)整理得其中（3-3）Qj=xjymxmyjbi=y廠ym（i，j，m輪換）同理得二幺（+bix+Civi+（勺+bjx+cj）j+（Q加+bmx+cmy）vm若令（3-4）則得位移模式為3.證明：平面四節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元為完備的協(xié)調(diào)單元。二2平面四節(jié)點(diǎn)等券單元建K了局部坐標(biāo)系或決射巨咯和可匸在fF平商匚的矽P元中描述實(shí)際|卩元的位務(wù)模式和力學(xué)特性任直四

6、邊形m元在牡中元屮的也移模式插值公式(或者稱為芒斤坐標(biāo)系下的位務(wù)模式就是佢琢單元的位樓模式嗎為:”=N%+2占空+N占玉+Wfv=N嚴(yán)、+A2v2+V弓片+其屮窸函數(shù)為:-y=t+Xl+)0=1.3,4)和為i節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)。百墨然該程移複式在良口坐標(biāo)系下是疏踐計(jì)位移模式，在x,y坐待莖下不是駅錢性位移棋丸.由于實(shí)陣單元恤邊界上有一個(gè)局部坐標(biāo)為帶數(shù):固此位弼沿單元邊界踐性黑此，能保證單元的協(xié)調(diào)性。4.證明：等參數(shù)單元的形函數(shù)滿足N=1,m為單元的結(jié)點(diǎn)數(shù)。ii一、形函數(shù)對(duì)于單元形函數(shù)的確定，首先假設(shè)單元的位移模式，代入結(jié)點(diǎn)的位移和坐標(biāo)，從而推導(dǎo)出單元的任意一點(diǎn)的位移插值函數(shù)，即形函數(shù)。實(shí)際上，形

7、函數(shù)是定義在單元內(nèi)部的、滿足一定條件的、坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。形函數(shù)不僅可以用于單元位移函數(shù)的插值，還可以用于單元形狀的變換。形函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：在結(jié)點(diǎn)2處N,=,TOC o 1-5 h z在其他結(jié)點(diǎn)處M=o；(6-1)能保證用它立義的未知量(位移或坐標(biāo))在相鄰單元之間的連續(xù)性；:應(yīng)包含任意線性項(xiàng)，以保證用它定義的單元位移可滿足常應(yīng)變條件；應(yīng)滿足F列等式V=1(6-2)以保證用它定義的單元位移能反映剛體位移。動(dòng)力1.什么是協(xié)調(diào)質(zhì)量陣（一致質(zhì)量陣）？什么是團(tuán)聚質(zhì)量陣（集中質(zhì)量陣）？他們?cè)谛问缴虾蛯?shí)際上的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)是什么？在有限元分析中經(jīng)常會(huì)用到質(zhì)量矩陣通常有兩種形式集中質(zhì)量矩陣和一致質(zhì)量矩陣。前

8、者認(rèn)為結(jié)構(gòu)者則*?=H）川n其中D為質(zhì)量密度N為形函數(shù)矩陣V為單元域。什么是比例阻尼？它有什么特點(diǎn)？其本質(zhì)反映了阻尼與什么有關(guān)？由于多自由度體系主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣與剛度矩陣具有正交性關(guān)系,若主振型關(guān)于阻尼矩陣亦具有正交性，這樣可對(duì)多自由度地震響應(yīng)方程進(jìn)行解耦分析，此時(shí)稱為比例阻尼。阻尼與模態(tài)有關(guān)。試述振型疊加法的基本思想和求解過程。振型疊加法是一種利用固有頻率和振型來計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)的方法口其基本原理是：對(duì)結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)進(jìn)行模態(tài)分析，得到結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型龐，利用固有振型竝組成的模態(tài)矩陣0對(duì)式（1）進(jìn)行解耦，將結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為各主坐標(biāo)的非耦合方程口二、振型疊加法計(jì)算步驟建立廣義坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)微分方程申可+町=尸（門給出廣義坐標(biāo)系下初始條件：打。和i0計(jì)算固有頻率和振型向量計(jì)算主質(zhì)量：Mt=ulA/w；（心1,2,，”）得正則振型向量：卩.=ru.（?=1,