實際問題與一元二次方程

1、22.3實際問題與一元二次方程第1課時用一元二次方程解決傳播、增降率問題 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元二次方程，并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理. 2.通過解決傳播問題，學會將實際應用問題轉化為數(shù)學問題，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐應用意識.自學指導 閱讀教材第45至46頁，完成課前預習知識探究 問題1：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？ 分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染了x人，第一輪后共有（x+1）人患了流感； 第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了x人，第二輪后共有

2、(x+1)(x+1)人患了流感.則：列方程 (x+1)2=121， 解得x=10或x=-12(舍)， 即平均一個人傳染了10個人. 再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？ 問題2：兩年前生產1噸甲種藥品的成本是5000元，生產1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進步，現(xiàn)在生產1噸甲種藥品的成本是3000元，生產1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？(精確到0.001) 絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為(5000-3000)2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為(6000-3600)2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大

3、. 相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?下面我們通過計算來說明這個問題. 分析：設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元，兩年后甲種藥品成本為5000(1-x)2元. 依題意，得5000(1-x)2=3000 解得：x10.23，x2-1.77. 根據(jù)實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為0.23. 設乙種藥品成本的年平均下降率為y.則， 列方程：6000(1-y)2=3600 解得：y10.23，y2-1.77(舍). 答：兩種藥品成本的年平均下降率相同. 思考：經(jīng)過計算，你能得出什么結論？成

4、本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀態(tài)？活動1小組討論 例1某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個支干長出多少小分支？ 解：設每個支干長出x個小分支，則有1+x+x2=91 即x2+x-90=0 解得x1=9，x2=-10（舍去） 故每個支干長出9個小分支. 教師點撥：本例與傳染問題的區(qū)別. 例2青山村種的水稻2001年平均每公頃產7200kg，2003年平均每公頃產8460kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率. 解：設年平均增長率為x， 則有7200(1+x)2=8460， 解得x1=0

5、.08，x2=-2.08(舍). 即年平均增長率為8%.答：水稻每公頃產量的年平均增長率為8%. 教師點撥：傳播或傳染以及增長率問題的方程適合用直接開平方法來解.活動2跟蹤訓練 教材第48頁第7題活動3課堂小結 1.列一元二次方程解應用題的一般步驟: (1)“設”，即設未知數(shù)，設未知數(shù)的方法有直接設和間接設未知數(shù)兩種； (2)“列”，即根據(jù)題中等量關系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的根； (4)“檢驗”，即驗證是否符合題意； (5)“答”，即回答題目中要解決的問題. 2.增長率=(實際數(shù)-基數(shù))/基數(shù).平均增長率公式：Q=a(1x)2,其中a是增長(或降低)的基礎量，x是平均增長(或降

6、低)率，2是增長(或降低)的次數(shù). 教學至此，敬請使用學案當堂訓練部分.第2課時用一元二次方程解決幾何圖形問題 1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型.并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理. 2.列一元二次方程解有關特殊圖形問題的應用題.自學指導 閱讀教材第47至48頁，完成課前預習.知識探究 如圖，要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm) 分析：封面的長

7、寬之比是2721=97，中央的長方形的長寬之比也應是97，若設中央的長方形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是(27-9a)(21-7a). 教師點撥：怎樣設未知數(shù)可以更簡單的解決上面的問題？請你試一試. 自學反饋 要為一幅長29cm，寬22cm的照片配一個鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框邊的寬度應是多少厘米？ 解：設鏡框邊的寬度為xcm，則有 (29+2x)(22+2x)=(+1)(2922)， 即4x2+102x-159.5=0， 解得x1=1.48，x2=-26.98(舍去). 答：鏡框邊的寬度應是1.48cm.

8、教師點撥：本題和上題一樣，利用矩形的面積公式作為相等關系列方程.活動1小組討論 例如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長為40米、寬為26米的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬度的馬路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草.若使每一塊草坪的面積都是144m2，求馬路的寬. 解：假設三條馬路修在如圖所示位置. 設馬路寬為x，則有 (40-2x)(26-x)=1446， 化簡，得:x2-46x+88=0， 解得：x1=2，x2=44， 由題意：40-2x0，26-x0， 則x20. 故x2=44不合題意，應舍去， x=2. 答：馬路的寬為2m. 教師點撥：這類修路問題，通常采用平移方法，使剩余部分

9、為一完整矩形.活動2跟蹤訓練 1.如圖，要設計一幅寬20cm、長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條(圖中陰影部分)，橫、豎彩條的寬度比為32，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度(精確到0.1cm). 解：設橫彩條的寬度為3xcm，則豎彩條的寬度為2xcm. 根據(jù)題意，得(30-4x)(20-6x)=(1-)2030. 解得x10.6，x210.2(不合題意，舍去). 故3x=1.8，2x=1.2.答：橫彩條寬為1.8cm，豎彩條寬為1.2cm. 2.用一根長40cm的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的面積為75cm2.(1)求此長方形的寬是多少？(2)能圍成一個面積為101cm2的長方形嗎？如能，說明圍法.(3)若設圍成一個長方形的面積為S(cm2)，長方形的寬為x(cm)，求S與x的函數(shù)關系式，并求出當x為何值時，S的值最大？最大面積為多少？ 解：(1)設此長方形的寬為xcm，則長為(20-x)cm. 根據(jù)題意，得x(20-x)=75 解得：x1=5，x2=15(舍去). 答：此長方形的寬是5cm. (2)不能.由x(20-x)=101，即x2-20 x+101=0，知=202-4101=-40，方程無解，故不能圍成一個面積為101cm2的長方形. (3)S=x(20-x)=-x2+20 x.