新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)章節(jié)測(cè)評(píng)卷：第八章 立體幾何初步

1、第八章立體幾何初步(全卷滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.(2020山東濟(jì)寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一模塊檢測(cè))下列命題正確的是()A.四邊形確定一個(gè)平面B.兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C.若a,b是兩條直線,是兩個(gè)平面,且a,b,則a,b是異面直線D.如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線共面2.(2020遼寧錦州高一月考)等腰三角形ABC繞底邊上的中線AD所在的直線旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是()A.圓臺(tái)B.圓錐C.圓柱D.球3.(2020河南鄭州高一期中)底邊長(zhǎng)為2,高為4的等腰三角形在斜二測(cè)畫(huà)

2、法中對(duì)應(yīng)的直觀圖為ABC,則ABC的面積為()A.2B.2C.6D.44.(2020安徽亳州高一期末)如圖,四棱錐P-ABCD中,M,N分別為AC,PC上的點(diǎn),且MN平面PAD,則()A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能5.(2020山東濰坊高一期中)已知,是兩個(gè)平面,a,b是兩條直線,且a,b,a,給出下列命題:若ab,則;若ab,則;若,則ab.其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是()A.B.C.D.6.(2020河北唐山高一月考)孫子算經(jīng)是我國(guó)古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有圓窖周五丈四尺,深一丈八尺,問(wèn)受粟幾何?”其意思為:“有圓柱形容器,底面圓周長(zhǎng)五丈四尺,高一丈八

3、尺,問(wèn)此容器能放多少斛米?”(古制1丈=10尺,1斛1.62立方尺,圓周率3),則該圓柱形容器能放米()A.900斛B.2 700斛C.3 600斛D.10 800斛7.(2020天津?qū)氎娓咭黄谥?如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AA1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),異面直線AB1與C1F所成角的余弦值為m,則()A.直線A1E與直線C1F異面,且m=23B.直線A1E與直線C1F共面,且m=23C.直線A1E與直線C1F異面,且m=33D.直線A1E與直線C1F共面,且m=338.(2020河北保定高一月考)一個(gè)直三棱柱的每條棱長(zhǎng)都是2,且每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上,則球

4、O的表面積為()A.283B.223C.433D.7二、選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得3分)9.(2020北京海淀高一期中)已知直線l平面,直線m平面,則下列命題中正確的是()A.若lm,則B.若lm,則C.若,則lmD.若,則lm10.(2020山東滕州高一期中)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長(zhǎng)為2,底面半徑為3,A,B為底面圓周上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.圓錐的高為1B.PAB為等腰三角形C.PAB面積的最大值為3D.直線PA與圓錐底面所成角的大小為611.(2020山東棗莊高一月考)

5、在三棱錐P-ABC中,已知PA底面ABC,ABBC,E,F分別是線段PB,PC上的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)AEPB時(shí),AEF一定為直角三角形B.當(dāng)AFPC時(shí),AEF一定為直角三角形C.當(dāng)EF平面ABC時(shí),AEF一定為直角三角形D.當(dāng)PC平面AEF時(shí),AEF一定為直角三角形12.(2020廣東韶關(guān)高二期末)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是棱PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F,則()A.異面直線PA與BD所成角的大小為3B.平面PAC平面PBDC.PB平面EFDD.BDED三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.(2020

6、海南海口高一月考)在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的各條棱所在直線中,與AA1異面的直線的條數(shù)是.14.(2020遼寧沈陽(yáng)高一月考)過(guò)圓柱OO1軸的平面截圓柱,所得截面是邊長(zhǎng)為2 cm的正方形ABCD,則在圓柱的側(cè)面上從A到C的最短距離為 cm.15.(2020北京中央民族大學(xué)附中高一月考)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn),若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為.16.(2020山東淄博高一期末)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)(包括邊界),若B1P平面A1BM,則C1P與底面ABCD

7、所成角的正切值的取值范圍是.四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)(2020上海奉賢高一期中)從表面積為32;對(duì)角線A1C=17;體積為12這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè),添加到下面題目的空白處,并解答題目.如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,且.(1)求四棱錐A1-ABCD的體積;(2)求異面直線A1C與DD1所成角的正切值.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.18.(12分)(2020福建三明高一期末)據(jù)說(shuō)阿基米德逝世后,敵軍將領(lǐng)馬塞拉斯給他建了一塊墓碑,在墓碑上刻了一個(gè)如圖所示的圖案,圖案中球

8、的直徑、圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.(1)試計(jì)算出圖案中球與圓柱的體積比;(2)假設(shè)球半徑r=10 cm.試計(jì)算出圖案中圓錐的體積和表面積.19.(12分)(2020山東東營(yíng)高一月考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱AB的中點(diǎn).(1)證明:BC1平面A1CD;(2)若E是棱BB1上的任意一點(diǎn),且三棱柱ABC-A1B1C1的體積為12,求三棱錐A-A1CE的體積.20.(12分)(2020廣東佛山高一期末)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD底面 ABCD,側(cè)棱PA=PD=2,底面ABCD為直角梯形,其中BCAD ,ABA

9、D,AD=2AB=2BC=2,O為AD的中點(diǎn).(1)求證:PO平面ABCD;(2)線段AD上是否存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)(2020山東泰安高一期中)在四邊形ABCP中,AB=BC=2,P=3,PA=PC=2.如圖,將PAC沿AC邊折起,連接PB,使PB=PA.(1)求證:平面ABC平面PAC;(2)求直線PB與平面PAC所成的角.22.(12分)(2020天津和平高一期中)如圖,在四棱錐P- ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)證明PCAD;(2)求二面

10、角A-PC-D的正弦值;(3)設(shè)E為棱PA上的點(diǎn),滿足異面直線BE與CD所成的角為30,求AE的長(zhǎng).答案全解全析1.D空間四邊形中四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)平面上,所以不能確定一個(gè)平面,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;兩兩相交的三條直線可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)a,b時(shí),a,b可以異面,還可以平行或相交,故C錯(cuò)誤;D選項(xiàng)正確.2.B由圓錐的定義可知,所得幾何體是一個(gè)圓錐.3.A原等腰三角形的面積為1224=4,因此ABC的面積為244=2.4.B由于MN平面PAD,MN平面PAC,且平面PAD平面PAC=PA,所以MNPA.5.D如圖(1),雖有a,b,a,且ab,但不平行于,錯(cuò)誤;如圖(2),雖有a

11、,b,a,且ab,但不垂直于,錯(cuò)誤;如圖(3),雖有a,b,a,且,但a不垂直于b,錯(cuò)誤.故3個(gè)命題均不正確.6.B設(shè)圓柱形容器的底面圓半徑為r,則r=542546=9(尺),所以該圓柱形容器的體積為V=r21839218=4 374(立方尺),因此,該圓柱形容器能放米4 3741.62=2 700(斛).7.B連接EF,A1C1,C1D,DF,易證EFA1C1,所以直線A1E與直線C1F共面.易證AB1C1D,所以異面直線AB1與C1F所成角為DC1F.設(shè)AA1=2,則AB=2AA1=2,則DF=5,C1F=3,C1D=6,由余弦定理得m=cosDC1F=3+65236=23.A由題意知該直

12、棱柱為正三棱柱,設(shè)其上底面為ABC,下底面為A1B1C1,上、下底面的中心分別為O,O1,則外接球的球心O為線段OO1的中點(diǎn),AB=2,OA=33AB=233,OO=12OO1=1,OA=OO2+OA2=213,因此,它的外接球的半徑為213,故球O的表面積為283.9.AC對(duì)于A,因?yàn)閘平面,又lm,所以m,而m,所以,故A正確;對(duì)于C,因?yàn)閘平面,又,所以l,又m,所以lm,故C正確;易知B和D均錯(cuò)誤.10.ABD設(shè)圓錐底面圓圓心為O,則圓錐的高PO=22-(3)2=1,故A選項(xiàng)正確;由于母線長(zhǎng)都相等,所以PAB為等腰三角形,故B選項(xiàng)正確;圓錐軸截面頂角為602=120,PAB面積S=12

13、PAPBsinAPB=1222sinAPB=2sinAPB,所以當(dāng)APB=90時(shí),PAB的面積最大,最大值為2,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;直線PA與圓錐底面所成角的大小為PAO=6,故D選項(xiàng)正確.11.ACD因?yàn)镻A平面ABC,BC平面ABC,所以PABC.又ABBC,且PA和AB是平面PAB內(nèi)兩條相交直線,所以BC平面PAB.又AE平面PAB,所以BCAE.又PBBC=B,所以當(dāng)AEPB時(shí),AE平面PBC.又EF平面PBC,所以AEEF,AEF一定是直角三角形,A正確;當(dāng)EF平面ABC時(shí),因?yàn)镋F在平面PBC內(nèi),平面PBC與平面ABC相交于BC,所以EFBC,則EFAE,所以AEF一定是直角三角形,C正

14、確;當(dāng)PC平面AEF時(shí),因?yàn)锳E平面AEF,所以AEPC,又AEBC,PCBC=C,所以AE平面PBC,又EF平面PBC,所以AEEF,AEF一定是直角三角形,D正確.B中結(jié)論無(wú)法證明.故選ACD.12.ABC如圖,設(shè)ACBD=O,連接EO,易證PAEO,EOD或其補(bǔ)角即為異面直線PA與BD所成的角,由已知可得,EO=DO=ED,EOD=3,故A正確.PD平面ABCD,PDAC,又ACBD,PDDB=D,PD平面PDB,BD平面PDB,AC平面PDB,又AC平面PAC,平面PAC平面PDB,故B正確.因?yàn)镻D平面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD是正方形,知BCCD,又PDCD=D,所以B

15、C平面PCD,而DE平面PCD,所以BCDE.又因?yàn)镻D=DC,E是PC的中點(diǎn),所以DEPC,而PCBC=C,所以DE平面PBC,而PB平面PBC,所以PBDE,又EFPB,DEEF=E,所以PB平面EFD,所以C正確.易得DE平面PBC,所以DEEB,所以D錯(cuò)誤.故選ABC.13.4解析由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征可知,與AA1異面的直線為BC,CD,B1C1,C1D1,共4條.14.答案2+4解析依題意得,圓柱的母線長(zhǎng)為2 cm,圓柱的底面半徑為1 cm,所以底面周長(zhǎng)為2 cm,因此在圓柱的側(cè)面上從A到C的最短距離d=22+222=2+4 cm.15.答案144解析如圖所示,當(dāng)OC平面OAB時(shí),三棱錐

16、O-ABC的體積最大,設(shè)球O的半徑為R,此時(shí)VO-ABC=VC-AOB=1312R2R=16R3=36,故R=6,則球O的表面積S=4R2=144.16.答案1,5解析取BC的中點(diǎn)N,連接B1N,B1D,DN,易證平面B1DN平面A1BM,因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi),且B1P平面A1BM,所以P點(diǎn)軌跡是線段DN.又因?yàn)镃1C底面ABCD,連接PC,則C1PC就是直線C1P與底面ABCD所成的角,且tanC1PC=C1CPC,由于P點(diǎn)軌跡是線段DN,所以當(dāng)PCDN時(shí),PC取最小值215=255,當(dāng)P與D重合時(shí),PC取最大值2,又C1C=2,所以tanC1PC=C1CPC1,5.17.解析(1)選

17、擇條件.設(shè)AA1=x,則由表面積為32可得222+2x4=32,解得x=3,即AA1=3.(2分)又S正方形ABCD=ABBC=22=4,所以四棱錐A1-ABCD的體積為13S正方形ABCDAA1=1343=4.(5分)選擇條件.設(shè)AA1=x,則由對(duì)角線A1C=17可得22+22+x2=17,解得x=3,即AA1=3.(2分)又S正方形ABCD=ABBC=22=4,所以四棱錐A1-ABCD的體積為13S正方形ABCDAA1=1343=4.(5分)選擇條件.設(shè)AA1=x,則由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為12,可得22x=12,解得x=3,即AA1=3.(2分)又S正方形ABCD=AB

18、BC=22=4,所以四棱錐A1-ABCD的體積為13S正方形ABCDAA1=1343=4.(5分)(2)因?yàn)镈D1CC1,所以A1CC1是異面直線A1C與DD1所成的角.(7分)連接A1C1,易知A1CC1是直角三角形,且A1C1C=90,所以tanA1CC1=A1C1CC1=22+223=223.(9分)故異面直線A1C與DD1所成角的正切值為223.(10分)18.解析(1)設(shè)球的半徑為r,則圓柱底面半徑為r,高為2r,(2分)所以球的體積V1=43r3,圓柱的體積V2=r22r=2r3,(4分)因此球與圓柱的體積比為V1V2=43r32r3=23.(6分)(2)由題意可知圓錐底面半徑為r

19、=10 cm,高為2r=20 cm,所以圓錐的母線長(zhǎng)l=r2+(2r)2=5r=105 cm,(8分)于是圓錐的體積V=13r22r=23103=2 0003(cm3),(10分)圓錐的表面積S=r2+rl=100+1005=100(1+5)(cm2).(12分)19.解析(1)證明:連接AC1交A1C于點(diǎn)O,連接OD.因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C是平行四邊形,所以O(shè)是AC1的中點(diǎn).(2分)因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以O(shè)DBC1.(4分)又OD平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(6分)(2)設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的高為h,ABC的面積為S,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積

20、V=Sh=12.(8分)又VA-A1CE=VC-AA1E=VC-ABA1=VA1-ABC=13Sh,(10分)所以VA-A1CE=1312=4.(12分)20.解析(1)證明:在PAD中,因?yàn)镻A=PD,O為AD的中點(diǎn),所以POAD.(2分)又側(cè)面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD.(5分)(2)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使得它到平面PCD的距離為32. (6分)設(shè)QD=x,則SDQC=12x,連接AC,BO,CO.因?yàn)锽CAD,O為AD的中點(diǎn),AD=2BC,所以BCOD,且BC=OD,所以四邊形BCDO為平行四邊形,所以CD=OB.(8分)因?yàn)锳BAD

21、,且AB=AO=1,所以CD=OB=AB2+AO2=2.在RtPOC中,PC=2,所以PC=CD=DP=2,所以SPCD=34(2)2=32,(10分)由VP-DQC=VQ-PCD,得1312x1=133232,解得x=32.故存在滿足題意的點(diǎn)Q,此時(shí)AQQD=13.(12分)21.解析(1)證明:在PAC中,PA=PC=2,APC=3,所以PAC為等邊三角形,AC=2.在ABC中,AB=BC=2,所以AC2=AB2+BC2,所以ABC為等腰直角三角形,且ABBC.(2分)取AC的中點(diǎn)O,連接OB,OP,則OBAC.易知OB=1,OP=3,又PB=PA=2,所以PB2=OB2+OP2,因此OPOB.(4分)因?yàn)镺PAC=O,AC,OP平面PAC,所以O(shè)B平面PAC,又OB平面ABC,所以平面ABC平面PAC.(7分)(2)由(1)知,OB平面PAC,所以BPO就是直線PB與平面PAC所成的