隨機信號分析：3數(shù)字特征

1、第三講 隨機變量的數(shù)字特征以統(tǒng)計的眼光看問題概率論數(shù)字特征的引入以前我們都是用概率分布來描述隨機變量的，這種描述雖然詳盡，但卻不能“集中”地反映出隨機變量的變化情況和某些特征。例如有兩個射手甲和乙：擊中環(huán)數(shù) 8 9 10甲的概率 0.3 0.1 0.6乙的概率 0.2 0.5 0.3誰的成績好呢？這恐怕難以一眼看出來，因此我們需要有更清楚直觀地描述隨機變量特征的方法。這些用來描述隨機變量的概率分布特征的數(shù)字稱為隨機變量的數(shù)字特征，主要包括數(shù)學(xué)期望，方差等。數(shù)字特征的引入象上面的例題，實際是要求誰平均起來打中的環(huán)數(shù)高，設(shè)他們各打N槍，則甲乙的平均環(huán)數(shù)分別為：甲：80.3N+90.1N+100.6

2、N=9.3N乙：80.2N+90.5N+100.3N=9.1N因此甲的成績好一些。1隨機矢量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望矩相關(guān)理論特征函數(shù)一維隨機變量二維隨機變量n維隨機變量隨機矢量的函數(shù)條件數(shù)學(xué)期望隨機變量關(guān)于某個給定值的條件數(shù)學(xué)期望隨機變量關(guān)于另一個隨機變量的條件數(shù)學(xué)期望離散型連續(xù)型數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)23新數(shù)學(xué)期望（一維）已知隨機變量X的分布 ，求其函數(shù)Yg(X) 的數(shù)學(xué)期望。由于g()是單值變換g()是多值變換函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（一維）例：已知隨機變量X的可能取值是4，1，2，3，4，而且每個值出現(xiàn)的概率相同均為1/5。求隨機變量X和函數(shù)g(X)X2的數(shù)學(xué)期望?解：舉例（數(shù)學(xué)期望）數(shù)學(xué)期望（二維）設(shè)二維隨

3、機變量(X1,X2)的聯(lián)合概率密度 已知，其二維概率質(zhì)量分布的“重心坐標(biāo)”應(yīng)該為函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（二維）求函數(shù) 的數(shù)學(xué)期望？已知二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度數(shù)學(xué)期望（n維）設(shè)(X1, X2, , Xn)是n維隨機變量，其聯(lián)合概率密度為：fx(x1,x2, ,xn)，則：(1) 若a Xb, (a,b為常數(shù)),則 a EX b數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(3) 變量加權(quán)求和的均值等于各變量的均值加權(quán)和(2) 常數(shù)C的期望 EC=C(4) 相互獨立變量積的期望等于變量期望的積期望運算與求和運算可交換次序 X1,X2,Xn相互獨立相互獨立時，期望運算與求積運算可交換次序條件數(shù)學(xué)期望（關(guān)于給定值）條件數(shù)學(xué)期望

4、（關(guān)于給定值）函數(shù)的條件數(shù)學(xué)期望 條件數(shù)學(xué)期望（關(guān)于隨機變量）定義隨機變量Y關(guān)于另一隨機變量X 的條件期望為 舉例（條件數(shù)學(xué)期望）均勻分布（X,1）之間舉例（條件數(shù)學(xué)期望）條件數(shù)學(xué)期望條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)條件期望的期望等于非條件期望隨機矢量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望矩相關(guān)理論特征函數(shù)數(shù)學(xué)期望方差互相關(guān)協(xié)方差矩原點矩中心矩一維二維n維一維二維n維數(shù)學(xué)期望均方值互相關(guān)方差協(xié)方差隨機矢量的方差陣展開可得隨機矢量的方差陣 隨機矢量的方差陣稱為n維隨機變量的協(xié)方差矩陣（隨機矢量的方差陣）求 協(xié)方差矩陣？已知二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度隨機矢量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望矩相關(guān)理論特征函數(shù)相關(guān)系數(shù)的引入不相關(guān)、正交不

5、相關(guān)、正交、獨立之間的關(guān)系相關(guān)系數(shù)的引入在實際中，描述X 和Y 的相互關(guān)系最簡單的方法散布圖相關(guān)線性相關(guān)非線性相關(guān)找到逼近其散布點密集分布的一條回歸線（某種曲線） 直線曲線線性回歸法a，b參數(shù)的確定 極小點 相關(guān)系數(shù) 定義：表征兩個隨機變量之間線性相關(guān)程度的量。相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：舉例（相關(guān)系數(shù)）解：協(xié)方差相關(guān)系數(shù)正交、不相關(guān)、獨立不相關(guān)、獨立和正交的關(guān)系：正交定義：隨機變量X 和Y 滿足 獨立互不相關(guān)一定不能得出正交不存在必然關(guān)系由計算推出關(guān)系舉例（三者關(guān)系）解：正交互不相關(guān)隨機矢量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望矩相關(guān)理論特征函數(shù)定義性質(zhì)一維n維新1.5.5 隨機變量的特征函數(shù)一、特征函數(shù)定義（一維）特征函

6、數(shù)的定義（一維）變換是唯一的存在2系數(shù)，不是傅立葉變換舉例（一元特征函數(shù)）一元特征函數(shù)的性質(zhì)一元特征函數(shù)的性質(zhì)5、相互獨立變量和的特征函數(shù)等于特征函數(shù)之積。6、若隨機變量X的n階絕對矩存在，例1.30 求高斯變量的特征函數(shù)=先介紹一個積分公式 (復(fù)變函數(shù)積分的應(yīng)用公式)例1.31 求二項分布的數(shù)學(xué)期望、方差和特征函數(shù)？ 解： 方法一：二項分布的分布律為計算很難舉例（一元特征函數(shù)的性質(zhì)）性質(zhì)5舉例（一元特征函數(shù)的性質(zhì)）性質(zhì)67、特征函數(shù)可由隨機變量的各階矩唯一地確定。常用在理論推導(dǎo)中特征函數(shù)的定義（n維）特征函數(shù)的性質(zhì)（n維） 兩種特殊情況 一元多元n維隨機變量一維隨機變量特征函數(shù)的性質(zhì)（n維）對比1：互推對比2：一元特征函數(shù)性質(zhì)5形式相似，內(nèi)容不同特征函數(shù)的性質(zhì)（n維）6、邊緣特征函數(shù) 舉例（多維）解：邊緣特征函數(shù)舉例（多維）相關(guān)系數(shù)對X舉例（多維）對Y 舉例（多維