《數(shù)學(xué)史》幾何學(xué)的變革(下)解析課件

1、 幾何學(xué)的變革第九章 第1頁，共44頁。 什么叫幾何？第2頁，共44頁。 幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究內(nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。 第3頁，共44頁。幾何學(xué)發(fā)展幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類思想。目前的數(shù)學(xué)各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。第4頁，共44頁。9.4 射影幾何的繁榮 非歐幾何揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空間的歐氏幾何變成了某種特例 實際上，如果將歐幾里得幾何限制于其原先的涵義三維、平直、剛性空間的幾何學(xué)，那么19世

2、紀(jì)的幾何學(xué)就可以理解為一場廣義的“非歐”運動：從三維到高維；從平直到彎曲；而射影幾何的發(fā)展，又從另一個方向使“神圣”的歐氏幾何再度“降格”為其他幾何的特例 第5頁，共44頁。 在19世紀(jì)以前，射影幾何一直是在歐氏幾何的框架下被研究的，其早期開拓者德沙格（法國）、帕斯卡（法國）等主要是以歐氏幾何的方法處理問題，并且他們的工作由于18世紀(jì)解析幾何與微積分發(fā)展的洪流而被人遺忘 到18世紀(jì)末與19世紀(jì)初，蒙日（畫法幾何學(xué)）等人的工作，重新激發(fā)了人們對綜合射影幾何的興趣 不過，將射影幾何真正變革為具有自己獨立的目標(biāo)與方法的學(xué)科的數(shù)學(xué)家，是曾受教于蒙日的龐斯列(J-V.Poncelet，17881867)

3、 第6頁，共44頁。 龐斯列曾任拿破侖遠(yuǎn)征軍的工兵中尉，1812年莫斯科戰(zhàn)役法軍潰敗后被俘，度過了兩年鐵窗生活 然而正是在這兩年里，龐斯列不借助于任何書本，以炭代筆，在俄國薩拉托夫監(jiān)獄的墻壁上譜寫了射影幾何的新篇章 龐斯列獲釋后對自己在獄中的工作進(jìn)行了修訂、擴(kuò)充，于1822年出版了論圖形的射影性質(zhì)，這部著作立即掀起了19世紀(jì)射影幾何發(fā)展的巨大波瀾，帶來了這門學(xué)科歷史上的黃金時期 第7頁，共44頁。 與德沙格和帕斯卡等不同，龐斯列并不限于考慮特殊問題 他探討的是一般問題：圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)，這也成為他以后，射影幾何研究的主題 由于距離和交角在投射和截影下會改變，龐斯列選擇并發(fā)展了對

4、合與調(diào)和點列的理論而不是以交比的概念為基礎(chǔ) 與他的老師蒙日也不同，龐斯列采用中心投影而不是平行投影，并將其提高為研究問題的一種方法在龐斯列實現(xiàn)射影幾何目標(biāo)的一般研究中，有兩個基本原理扮演了重要角色 第8頁，共44頁。 首先是連續(xù)性原理，它涉及通過投影或其他方法把某一圖形變換成另一圖形的過程中的幾何不變性用龐斯列本人的話說，就是：“如果一個圖形從另一個圖形經(jīng)過連續(xù)的變化得出，并且后者與前者一樣地般，那么可以馬上斷定，第一個圖形的任何性質(zhì)第二個圖形也有” 第9頁，共44頁。 而如果其中的一條割線變成圓的切線，那么這個定理仍然成立，只不過要把這條割線的截段之積換成切線的平方。 作為這個原理的一個例子

5、，龐斯列舉了圓內(nèi)相交弦的截段之積相等的定理，當(dāng)交點位于圓的外部時，它就變成了割線的截段之積的相等關(guān)系 第10頁，共44頁。 這個原理卡諾也曾用過，但龐斯列將它發(fā)展到包括無窮遠(yuǎn)點的情形因此，我們總可以說兩條直線是相交的，交點或者是一個普通的點，或者是一個無窮遠(yuǎn)處的點(平行線的情形) 除了無窮遠(yuǎn)元素，龐斯列還利用連續(xù)性原理來引入虛元素例如兩個相交的圓，其公共弦當(dāng)兩圓逐漸分離并變得不再相交時，就成為虛的無窮遠(yuǎn)元素與虛元素在龐斯列為達(dá)到射影幾何的一般性工作中發(fā)揮了重要作用 第11頁，共44頁。 龐斯列強調(diào)的另一個原理是對偶原理射影幾何的研究者們曾經(jīng)注意到，平面圖形的“點”和“線”之間存在著異乎尋常的對

6、稱性，如果在它所涉及的定理中，將“點”換成“線”，同時將“線”換成“點”，那么就可以得到一個新的定理例如考慮著名的帕斯卡定理：如果將一圓錐曲線的6個點看成是一個六邊形的頂點，那么相對的邊的交點共線 。 第12頁，共44頁。它的對偶形式則是： 如果將一圓錐曲線的6條切線看成是一個六邊形的邊，那么相對的頂點的連線共點。 帕斯卡定理的對偶形式是布里昂雄(C.J.Brianchon)在1806年發(fā)現(xiàn)的，所以常被稱為布里昂雄定理，而這離帕斯卡最初陳述他的定理已有近二百年的光景 第13頁，共44頁。 雖然布里昂雄發(fā)現(xiàn)了帕斯卡定理的對偶定理，但包括他在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家對于對偶原理為什么行得通仍是不清楚，事實上

7、，布里昂雄還曾懷疑過這個原理 龐斯列射影幾何工作中很重要的一部分，就是為建立對偶原理而發(fā)展了配極的一般理論他深入研究了圓錐曲線的極點與極線的概念，給出了從極點到極線和從極線到極點的變換的一般表述 第14頁，共44頁。 與龐斯列用綜合的方法為射影幾何奠基的同時，德國數(shù)學(xué)家默比烏斯(A.P.Mobius，17901868)和普呂克(J.Plucker，18011868)開創(chuàng)了射影幾何研究的解析(或代數(shù))途徑 默比烏斯在重心計算(1827)一書中第一次引進(jìn)了齊次坐標(biāo)，這種坐標(biāo)后被普呂克發(fā)展為更一般的形式，它相當(dāng)于把笛卡兒坐標(biāo) 換成 第15頁，共44頁。 齊次坐標(biāo)成為代數(shù)地推導(dǎo)包括對偶原理在內(nèi)許多射影

8、幾何基本結(jié)果的有效工具但這種代數(shù)的方法遭到了以龐斯列為首的綜合派學(xué)者的反對，19世紀(jì)的射影幾何就是在綜合的與代數(shù)的這兩大派之間的激烈爭論中前進(jìn)的 支持龐斯列的數(shù)學(xué)家還有斯坦納(J.Steiner)、沙勒(M.Chasles)和施陶特(K.G.C.von Staudt)等，其中施陶特的工作對于確立射影幾何的特殊地位有決定性的意義第16頁，共44頁。 到1850年前后，數(shù)學(xué)家們對于射影幾何與歐氏幾何在一般概念與方法上已作出了區(qū)別，但對這兩種幾何的邏輯關(guān)系仍不甚了了即使是綜合派的著作中也依然在使用長度的概念，例如作為射影幾何中心概念之一的交比，就一直是用長度來定義的，但長度在射影變換下會發(fā)生改變，因

9、而不是射影概念 第17頁，共44頁。 施陶特在1847年出版的位置幾何學(xué)中提出一套方案，通過給每個點適當(dāng)配定一個識別標(biāo)記(也稱作坐標(biāo))而給交比作了重新定義如果四點的“坐標(biāo)”記為 ，那么交比就定義為 這樣施陶特不借助長度概念就得以建立射影幾何的基本工具，從而使射影幾何擺脫了度量關(guān)系，成為與長度等度量概念無關(guān)的全新學(xué)科。 第18頁，共44頁。9.5 幾何學(xué)的統(tǒng)一 在數(shù)學(xué)史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學(xué)上的哥白尼”這是因為非歐幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設(shè)問題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命 第19頁，共44頁。 在19世紀(jì)，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對

10、空間觀念非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外地都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn) 首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響 第20頁，共44頁。 “我越來越深信我們不能證明我們的歐幾里得幾何具有物理的必然性，至少不能用人類的理智一一給出這種證明或許在另一個世界中我們可能得以洞悉空間的性質(zhì)，而現(xiàn)在這是不可能達(dá)到的” 高斯早在1817年就在給朋友的一封信中寫道： 第21頁，共44頁。 高斯曾一度把他的非歐幾何稱為“星空幾何”，而從羅巴切夫斯基到黎曼，他們也都相信天文測量將能判斷他們的新幾何的真實性，認(rèn)為歐氏公理可能只是物理空間的近似寫照 他們的預(yù)言，在20世紀(jì)被愛因斯坦的相對論所證實正是黎曼幾何為愛因斯坦

11、的廣義相對論提供了最恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表述，而根據(jù)廣義相對論所進(jìn)行的一系列天文觀測、實驗，也證實了宇宙流形的非歐幾里得性 第22頁，共44頁。 其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學(xué)即歐幾里得幾何學(xué)的局面 19世紀(jì)中葉以后，通過否定歐氏幾何中這樣或那樣的公設(shè)、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學(xué)，除了上述幾種非歐幾何、黎曼幾何外，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行發(fā)展的高維幾何、射影幾何，微分幾何以及較晚出現(xiàn)的拓?fù)鋵W(xué)等，19世紀(jì)的幾何學(xué)展現(xiàn)了無限廣闊的發(fā)展前景 在這樣的形勢下，尋找不同幾何學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點來解釋它們，便成為數(shù)學(xué)家們追求的

12、一個目標(biāo) 第23頁，共44頁。 統(tǒng)幾何學(xué)的第一個大膽計劃是由德國數(shù)學(xué)家克萊因(F.Klein，1849-1925)提出的1872年，克萊因被聘為愛爾朗根大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，按慣例，他要向大學(xué)評議會和哲學(xué)院作就職演講，克萊因的演講以愛爾朗根綱領(lǐng)著稱，正是在這個演講中，克萊因基于自己早些時候的工作以及挪威數(shù)學(xué)家李(S.Lie)在群論方面的工作，闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的思想： 克萊因第24頁，共44頁。所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問，或者說任何一種幾何學(xué)只是研究與特定的變換群有關(guān)的不變量這樣一來，不僅19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何

13、一種分類也對應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類 克萊因用群的觀點來研究幾何學(xué)。他的基本觀點是，每種幾何都由變換群所刻劃，并且每種幾何所要做的實際就是在這種變換群下考慮其不變量。第25頁，共44頁。 例如(就平面的情況)，歐幾里得幾何研究的是長度、角度、面積等這些在平面中的平移和旋轉(zhuǎn)下保持不變的性質(zhì)平面中的平移和旋轉(zhuǎn)(也稱剛性運動)構(gòu)成個變換群剛性平面變換可以用代數(shù)式表示出來： 其中 這些式子構(gòu)成了一個群的元素，而將這種元素結(jié)合在一起的“運算”就是依次進(jìn)行這種類型的變換容易看出，如果在進(jìn)行上述變換后緊接著進(jìn)行第二個變換： 其中 那么相繼進(jìn)行這兩個變換的結(jié)果，就等價于某個單一的這一類型的變換將點 變成點 .第2

14、6頁，共44頁。 如果在上述變換中，將限制 用更一般的要求 來替代，那么這種新變換也構(gòu)成一個群然而，在這樣的變換下，長度和面積不再保持不變，不過一個已知種類的圓錐曲線(橢圓，拋物線或雙曲線)經(jīng)過變換后仍是同一種類的圓錐曲線這樣的變換稱為仿射變換，它們所刻畫的幾何稱為仿射幾何因此，按照克萊因的觀點，歐幾里得幾何只是仿射幾何的一個特例 第27頁，共44頁。 仿射幾何則是更一般的幾何射影幾何的一個特例一個射影變換可以寫成如下形式： 第28頁，共44頁。其中 的行列式必須不為零射影變換下的不變量有線性、共線性、交比、調(diào)和點組以及保持圓錐曲線不變等顯然，如果 并且 ，射影變換就成了仿射變換 下表反映了以

15、射影幾何為基礎(chǔ)的克萊因幾何學(xué)分類中一些主要幾何間的關(guān)系： 第29頁，共44頁。 在克萊因的分類中，還包括了當(dāng)時的代數(shù)幾何和拓?fù)鋵W(xué)克萊因?qū)ν負(fù)鋵W(xué)的定義是“研究由無限小變形組成的變換的不變性”這里“無限小變形”就是一一對應(yīng)的雙方連續(xù)變換。 拓?fù)鋵W(xué)在20世紀(jì)才獲得獨立的發(fā)展并成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心學(xué)科之一第30頁，共44頁。 并非所有的幾何都能納入克萊因的方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分的幾何提供一個系統(tǒng)的分類方法，對幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響 克萊因發(fā)表愛爾朗根綱領(lǐng)時年僅23歲1886年，他受聘到哥廷根大學(xué)擔(dān)任教授克萊因是這樣一位數(shù)學(xué)家，在他身上，創(chuàng)造天才與組織能

16、力完美地融合在一起他的到來，使哥廷根這座具有高斯、黎曼傳統(tǒng)的德國大學(xué)更富科學(xué)魅力。克萊因第31頁，共44頁。 在被引向哥廷根的許多年輕數(shù)學(xué)家中，最重要的一位是希爾伯特(D.Hilbert，18621943) 正是這位希爾伯特，在來到哥廷根3年以后，提出了另一條對現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)的統(tǒng)一幾何學(xué)的途徑公理化方法 第32頁，共44頁。 公理化方法始于歐幾里得，然而當(dāng)19世紀(jì)數(shù)學(xué)家們重新審視原本中的公理體系時卻發(fā)現(xiàn)它有許多隱蔽的假設(shè)，模糊的定義及邏輯的缺陷，這就迫使他們著手重建歐氏幾何以及其他包含同樣弱點的幾何的基礎(chǔ) 這項探索從一開始就是在對幾何學(xué)作統(tǒng)一處理的觀點下進(jìn)行的在所有這些努力中，希爾伯特在幾何

17、基礎(chǔ)(1899)中使用的公理化方法最為成功 第33頁，共44頁。 幾何基礎(chǔ)與希爾伯特 德國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)希爾伯特（1862-1943）是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一 他在1899年出版的幾何基礎(chǔ)成為近代公理化方法的代表作，且由此推動形成了“數(shù)學(xué)公理化學(xué)派” 。第34頁，共44頁。 公理化方法是從公理出發(fā)來建造各種幾何希爾伯特在這方面的劃時代貢獻(xiàn)在于，他比任何前人都更加透徹地弄清了公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系幾何基礎(chǔ)中提出的公理系統(tǒng)包括了20條公理，希爾伯特將它們劃分為五組： . 18 關(guān)聯(lián)公理； 14 順序公理； 15 合同公理； 平行公理； 12 連續(xù)公理 （重點）第35頁，共44頁。 在這樣自然

18、地劃分公理之后，希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即： 1相容性從系統(tǒng)的公理出發(fā)不能推出矛盾，故亦稱“無矛盾性”； 2獨立性系統(tǒng)的每一條公理都不能是其余公理的邏輯推論； 3完備性系統(tǒng)中所有的定理都可由該系統(tǒng)的公理推出 第36頁，共44頁。 在這樣組織起來的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應(yīng)的某種幾何 例如用羅巴切夫斯基平行公理替代歐幾里得平行公理，而保持其余所有公理不變，就可以得到雙曲幾何； 如果在拋棄歐氏平行公理的同時，添加任意兩條直線都有一個公共點或至少有一個公共點的公理，并適當(dāng)改變另外一些公理，就分別得到單重與雙重橢圓幾何，等等 第37頁，共44頁。 這樣的做法，不僅給出了已有幾門非歐幾何的統(tǒng)一處理，而且還可以引出新的幾何學(xué) 最有趣的例子便是“非阿基米德幾何”，即通過忽略連續(xù)公理(亦稱阿基米德公理)而建造的幾何學(xué)這是希爾伯特本人的創(chuàng)造，幾何基礎(chǔ)中用了整整5章的篇幅來展開這種新的幾何學(xué) 我們在后面