圓錐曲線(近幾年)答案

1、(2010廣一模)1（本小題滿分14分）已知動點到定點的距離與點到定直線：的距離之比為（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)、是直線上的兩個點，點與點關(guān)于原點對稱，若，求的最小值19（本小題滿分14分）（本小題主要考查橢圓、基本不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解：設(shè)點，依題意，有整理，得所以動點的軌跡的方程為（2）解：點與點關(guān)于原點對稱，點的坐標為、是直線上的兩個點，可設(shè)，（不妨設(shè)），即即由于，則，當且僅當，時，等號成立故的最小值為20.（本小題滿分14分）如圖，直線與橢圓交于兩點，記的面積為（）求在，的條件下，的最大值；（）

2、當，時，求直線的方程20. (本小題滿分14分)如圖，直線與橢圓交于兩點，記的面積為）求在，的條件下，的最大值；（）解：設(shè)點的坐標為，點的坐標為，1分由，代入方程：解得， 3分所以（基本不等式） 5分當且僅當時，取到最大值6分（）當，時，求直線的方程（）解：由得， 8分 9分設(shè)到的距離為，則， 10分又因為，所以，代入式并整理，得， 12分解得，代入式檢驗，均符合題意 13分故直線的方程是或或，或 14分(2013年一模)20（本小題滿分14分）已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為， ，點在橢圓上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為, 且與交于點.(1) 求橢圓的方程；(

3、2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由.20（本小題滿分14分）（本小題主要考查橢圓、拋物線、曲線的切線等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識）(1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,依題意:解得: 2分 橢圓的方程為. 3分解法2：設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)橢圓的定義得，即， 1分， . 2分 橢圓的方程為. 3分(2)解法1：設(shè)點,，則，三點共線,. 4分, 化簡得：. 5分由,即得. 6分拋物線在點處的切線的方程為，即. 7分同理，拋物線在點處的切線的方程為. 8分 設(shè)點，由得：

4、，而，則. 9分代入得， 10分則，代入 得，即點的軌跡方程為. 11分若，則點在橢圓上，而點又在直線上，12分直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,直線與橢圓交于兩點. 13分滿足條件的點有兩個. 14分解法2：設(shè)點,，由,即得. 4分拋物線在點處的切線的方程為，即. 5分， .點在切線上, . 6分同理，. 7分綜合、得，點的坐標都滿足方程. 8分經(jīng)過兩點的直線是唯一的，直線的方程為， 9分點在直線上， . 10分點的軌跡方程為. 11分若，則點在橢圓上，又在直線上，12分直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,直線與橢圓交于兩點. 13分滿足條件的點有兩個. 14分解法3：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去，得. 4

5、分設(shè),則. 5分由,即得. 6分拋物線在點處的切線的方程為，即. 7分， . 同理,得拋物線在點處的切線的方程為. 8分由解得. 10分,點在橢圓上. 11分.化簡得.(*) 12分由, 13分可得方程(*)有兩個不等的實數(shù)根. 滿足條件的點有兩個. 14分21（本小題滿分14分）已知雙曲線：的中心為原點，左，右焦點分別為，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足（1）求實數(shù)的值；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）若點的縱坐標為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同兩點，在線段上取異于點，的點，滿足，證明點恒在一條定直線上21（本小題滿分）（本小題主要考查直線的斜率、雙曲線的

6、方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解：設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可得解得（2）證明：由（1）可知，直線，點設(shè)點,，因為，所以所以因為點在雙曲線上，所以，即所以所以直線與直線的斜率之積是定值（3）證法1：設(shè)點，且過點的直線與雙曲線的右支交于不同兩點，由（2）知，設(shè)，則即整理，得由，得將，代入，得 將代入，得所以點恒在定直線上證法2：依題意，直線的斜率存在設(shè)直線的方程為，由消去得因為直線與雙曲線的右支交于不同兩點，則有設(shè)點，由，得整理得將代入上式得整理得 因為點在直線上，所以聯(lián)立消去得所以點恒在定直線上（

7、本題（3）只要求證明點恒在定直線上，無需求出或的范圍）21.(本小題滿分14分）經(jīng)過點F (0，1)且與直線y=-1相切的動圓的圓心軌跡為M點A、D在軌跡M上，且關(guān)于y軸對稱，過線段AD (兩端點除外）上的任意一點作直線l，使直線l與軌跡M 在點D處的切線平行，設(shè)直線l與軌跡M交于點B、C.(1)求軌跡M的方程；(2)證明：；(3)若點D到直線AB的距離等于，且ABC的面積為20，求直線BC的方程.21（本小題滿分14分）已知雙曲線：和圓：（其中原點為圓心），過雙曲線上一點引圓的兩條切線，切點分別為、 （1）若雙曲線上存在點，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；（2）求直線的方程；（3）求三角形面

8、積的最大值21（本小題滿分14分）（本小題主要考查圓、雙曲線、直線方程和不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力，以及分類討論思想與創(chuàng)新意識等）解：（1）因為，所以，所以1分由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以因為，所以，所以3分故雙曲線離心率的取值范圍為4分（2）方法1：因為，所以以點為圓心，為半徑的圓的方程為5分因為圓與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，6分所以聯(lián)立方程組7分消去，即得直線的方程為8分方法2：設(shè)，已知點，則， 因為，所以，即5分整理得因為，所以6分因為，根據(jù)平面幾何知識可知，因為，所以7分所以直線方程為即所以直線的方程為8分方法3：設(shè)，已知點，則， 因為，所以，即

9、5分整理得因為，所以6分這說明點在直線上 7分同理點也在直線上所以就是直線的方程 8分（3）由（2）知，直線的方程為，所以點到直線的距離為因為，所以三角形的面積10分以下給出求三角形的面積的三種方法：方法1：因為點在雙曲線上，所以，即設(shè)，所以11分因為，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減12分當，即時，13分當，即時，綜上可知，當時，；當時，14分方法2：設(shè)，則11分因為點在雙曲線上，即，即所以令，則所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增12分當，即時，13分當，即時，綜上可知，當時，；當時，14分方法3：設(shè)，則11分因為點在雙曲線上，即，即所以令，所以在上單調(diào)遞增，在上單

10、調(diào)遞減12分因為，所以，當，即時，此時13分當，即時，此時綜上可知，當時，；當時，14分（2012年二模）19（本小題滿分14分）已知對稱中心為坐標原點的橢圓與拋物線有一個相同的焦點，直線與拋物線只有一個公共點.（1）求直線的方程；（2）若橢圓經(jīng)過直線上的點，當橢圓的長軸長取得最小值時，求橢圓的方程及點的坐標.19（本小題滿分14分）(本小題主要考查直線、橢圓、拋物線等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力)（1）解法1：由消去，得. 1分直線與拋物線只有一個公共點，解得. 3分直線的方程為. 4分解法2：設(shè)直線與拋物線的公共點坐標為， 由，

11、得，直線的斜率.依題意得，解得. 2分把代入拋物線的方程，得. 點在直線上，解得. 直線的方程為. 4分（2）解法1：拋物線的焦點為，依題意知橢圓的兩個焦點的坐標為. 5分設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則 7分解得 點. 8分直線與直線的交點為. 9分由橢圓的定義及平面幾何知識得：橢圓的長軸長， 11分其中當點與點重合時，上面不等式取等號.當時，橢圓的長軸長取得最小值，其值為. 12分此時橢圓的方程為，點的坐標為. 14分解法2：拋物線的焦點為，依題意知橢圓的兩個焦點的坐標為. 5分設(shè)橢圓的方程為， 由消去，得.（*） 7分由， 8分得. 解得. . 11分當時，橢圓的長軸長取得最小值，其值為. 1

12、2分此時橢圓的方程為. 把代入（*）方程，得，點的坐標為. 14分(2011年高考)21（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，直線交軸于點A，設(shè)P是上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足（1） 當點P在上運動時，求點M的軌跡E的方程；（2） 已知設(shè)H是E上動點，求的最小值，并給出此時點H的坐標；（3） 過點且不平行于軸的直線與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率的取值范圍解：（1）如圖1，符合的點M可以在PO的左側(cè)和右側(cè)。當M在PO左側(cè)時，顯然點M是PO垂直平分線與X軸的交點，所以易得M的軌跡方程為：y=0(x-1) 當M在PO右側(cè)時， ，所以PM/x軸，設(shè)M(x,y),則P(

13、-2，y)因為M在PO的垂直平分線上，所以,即：（x綜上所述：當點P在上運動時，點M的軌跡E的方程為：y=0(x-1) 和（x如圖：（2）當H在方程y=0(x-1)運動時，顯然當H在方程（x上運動時，,由圖知當P,H,T三點共線時，取得最小值，顯然此時，設(shè)H(x,-1),因為H在上，得x=,所以H(,-1)綜上所得：（）min=1-(-2)=3。H(,-1)(3)設(shè)直線l1:y 1=k(x-1),聯(lián)立得：當k=0時，顯然只有一個交點，不成立。當k時，所以當k時，直線l1與軌跡E至少有兩個交點?？梢妉1與y=0(x-1) 不能有交點，當直線l1過點C時，k=由圖可知，當直線l1與軌跡E有且僅有兩個交點時，k(2012年高考)20 （本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，且點在上（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線與橢圓和拋物線相切，求直線的方程解：(1):依題意：c=1,1分則：,2分設(shè)橢圓方程為：3分將點坐標代入，解得：4分所以故橢圓方程為：5分（2）設(shè)所求切線的方程為：6分消除y7分化簡得：8分同理：聯(lián)立直線方程和拋物線的方程得：消除y得：9分化簡得：10分將代入解得：解得：12分故切線方程為：14分(2013年高考)（本小題滿分14分）已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為. 設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點.（1） 求拋物線的方程