專題五：均值不等式與最值、放縮法

1、專題五：均值不等式與最值、放縮法基礎(chǔ)梳理22R,則 a b 2ab ;.常用的基本不等式和重要的不等式：a R,a2 0,|a| 0 當(dāng)且僅當(dāng) a 0取 ”號；（2） a,b（3） a,b,c R,則 a2 b2 c2 ab bc ca。2,均值不等式：a b兩個正數(shù)的均值不等式： uab；三個正數(shù)的均值不等式：2n個正數(shù)的均值不等式：a一生包n ：aaar。n3.四種均值的關(guān)系：（1）兩個正數(shù)a、b的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)之間的關(guān)系是:（2）三個正數(shù)a、a bb、c的調(diào)和平均數(shù)33-aabc111abc幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)1-2712abcabc平方平均數(shù):/、結(jié)：“

2、算數(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)”的多種表達(dá)形式:整式形式根式形式分式形式倒數(shù)形式22a2 b2 2aba b 2 a,b R ab ( 2 )2小而 2(a,b R )b a 92 a b(a,b同號)1a 2(a 0) a1a -2(a 0)aa3 b3 c3 3abca b c 3 a,b,c R abc (ac)33abc 3/ . vabc3(a,b,c R )b a 2 a b(a,濟(jì)號)1 1(a b)(- -) 4(a,b R ),.、，111、八(a b c)( 一)9abc(a,b,c R )4,均值不等式求最值:(1)如果x, y如果x, y, z R(2)如果x,y如果x, y,

3、z Ry時，x y有z時，x y z有x y時，xy有y z 時，xyz有R ,xy P （定值），由,當(dāng)x ,xyz P （定值），由,當(dāng)x yR ,x y S （定值），由,蘭 ,x y z S（定值），由，當(dāng)x利用均值不等式求最值必須注意:一正、二定、三相等三者缺一不可!能力鞏固考點一：均值不等式與最值1.已知 x, y, z2R , x 2y 3z 0 ,則的最小值xz2.設(shè)x 0, y 0, x y 1 ,、反 jy最大值是()A. 1B.2 C. D.已知 a 0,b 0,且 a b 2,若 Sa2 b2 2屈，則S的最大值為.已知x,y都在區(qū)間（2,2）內(nèi)，且xy1,則函數(shù)u二的

4、最小值是（9 yA.2411127125.若a是J2 b與點 b的等比中項，則 2ab的最大值為（|a| |b|-,2A. . 2B. 1C.一D.2、3, BAC30 ,定義 f (M ) (m, n, p),其uuu uuur.設(shè)M是 ABC內(nèi)一點，且AB AC TOC o 1-5 h z 11 4中 n、p分別是 MBC, MCA, MAB的面積，若f(M) (,x,y),則一一的最小值是2x yo7.若a,b均為正實數(shù)，且 近 Vba m/恒成立，則m的最小值是變式：(1)若不等式b2A. 122a b a對任息正頭數(shù)a、b都成立，則 的取大值是( 22C. 3D. 5(2)若對于任意

5、的實數(shù) a 1且b 1 ,不等式a2O2b t(a b 2)恒成立，則實數(shù)t的最大值是8.設(shè)x,y都是整數(shù)，且滿足xy 2 2 x TOC o 1-5 h z A. 32B. 2522y ,則x y的最大可能值為()18D. 16)C. 4,2.5D. 2,2.59.函數(shù)f x2MxJ4 x的值域為(A. 2,4B. 0,2.5練習(xí)：使關(guān)于x的不等式Vx3 76. .3x k有解的實數(shù)k的最大值是（）C .正率 D .通10.已知 a,b,cR 且 a(3a 4b 2c)84 ?bc,則3a 2b c的取小值為（A. 3. 2B. 2 2C.32,3D. 4, 3練習(xí)：若a,b,c0 且 a(

6、a bc)bc4 2J3,則2a b c的最小值為132；2;變式：!n2122232考點二：放縮法與不等式11例1.（1）求證：12 22(2)(2n1 7 1)261 (n 2,n 2(2n 1)N )；(3)2, n2( .n1 1)；(4)122123(5)12!(6)求證:1n!1 2n（其中111(1+彳I1+3I1+/(11+2n-1(n 1) (n、.2n 1( n2) L 3 2 1)。N );12n 1 TOC o 1-5 h z n111(7)證明：當(dāng) n1,n N 時，一1 L22 3 4例2.設(shè)各項為正的數(shù)列滿足：耳 ln_J anan 11,令bia1，4a1-2a

7、21-2a31-(n 2).an 1(I )求 an；(n)求證:(14(n 1).例3.在數(shù)列an中，已知a1 2 , an冏 2an % 1 , n N1(1)證明數(shù)列一 1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式； ann(2)求證：ai(ai 1) 3, n N。i 1例 4.在數(shù)列an中，41,3anan1anan10(n 2),設(shè)數(shù)列 bnJan,bn的前 n 項和為Tn。(1)若 an an 1 0對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍；2(2)求證：對任意 n 2的整數(shù)，b2 b3 . bn (V3n 2 1)；3(3)是否存在實數(shù) M,使得對任何的n N , Tn M恒成立，如果存在求出最小的M ,如果不存在請說明理由。例5.已知數(shù)列an滿足ai=-i , an 1(3n 3)an 4n 6 ,數(shù)列bn滿