數(shù)學(xué)物理方法第二章1new

1、第二章 分離變量法一、有界弦的自由振動二、有限長桿上的熱傳導(dǎo)三、拉普拉斯方程的定解問題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問題的一些結(jié)論 二重積分化二次積分：回顧：多元（維）問題轉(zhuǎn)化為一元（維）問題舉例 常微分方程分離變量法： 基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由初值條件或其余邊界條件確定疊加系數(shù)。 適用范圍：波動問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等 特點(diǎn)：a. 物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證；b. 把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。令代入方程(1a)：令代入邊界條件1

2、. 求解兩端固定的弦自由振動問題一. 有界弦的自由振動特征（固有）值問題：含有待定參數(shù)的常微分方程在一定 條件下的求解問題特征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值特征（固有）函數(shù)：和特征值相對應(yīng)的非零解1）2）3） 令 ， 為非零實數(shù) 特征值和函數(shù)：(1) 分離變量(2)求特征值和 特征函數(shù)(4)線性疊加并確定常數(shù)(3) 確定另一個函數(shù)形式解2. 分離變量法的說明：(4) 分離變量法也稱為駐波法（見解的物理性質(zhì)）。(1) 解 只是方程(1a)-(1c)的形式解，尚不明確該解是否收斂。如果 三次連續(xù)可微， 二次連續(xù)可微，且 =0，則方程(1a)-(1c)解存在，且由（6）確定；(2) 分離變量法求

3、解的關(guān)鍵是確定本證函數(shù)和運(yùn)用疊加原理，適用于齊次邊界條件的線性偏微分方程；(3) 特征值的取值決定了級數(shù)形式解中的起始下標(biāo)；（5）本書不討論所求形式解是古典解需加的條件，只要求 得了形式解，就認(rèn)為定解問題得到了解決。3. 解的物理性質(zhì)：（1）x=x0時：表明弦上x0點(diǎn)以角頻率 作簡諧振動，振幅隨x0位置不同而變化；其中：弦上任意一點(diǎn)做周期運(yùn)動(2) t=t0時：綜合（1）和（2），弦上各點(diǎn)以角頻率 作簡諧振動，且初始相位相同，各振動點(diǎn)的外形呈正弦分布。表明任意時刻弦上各點(diǎn)的空間分布呈正弦圖形，振幅因時間不同而變化；弦上各點(diǎn)在某一時刻的分布狀態(tài)弦上各點(diǎn)隨時間的周期運(yùn)動分離變量法求得的解是由一系列

4、駐波疊加而成，每列駐波的波形由其特征函數(shù)確定，頻率由其特征值決定。(3) 對于 ，當(dāng)xm=ml/n (0 m n)時， 例1：設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦作微小橫向振動時的位移。解：(1)(2)(3)(4)(4)弦的振動（駐波疊加）N=1時的駐波N=3時的駐波N=5時的駐波解：例2：求下列定解問題(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)初始條件：(4)弦的振動（駐波疊加）N=1時的駐波N=2時的駐波N=3時的駐波例3：求下列定解問題解：(1)(2)(3)(4)例4： 求下列定解問題令代入方程，得解：(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)(4)正交性證明：弦的振

5、動（駐波疊加）N=1時的基波N=2時的駐波N=3時的駐波分離變量流程圖二. 有限長桿上的熱傳導(dǎo)令代入方程，得解：(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)令一端具有熱交換時有界桿上熱傳導(dǎo)的動畫演示桿上溫度的初始分布桿上熱傳導(dǎo)過程令代入方程，有令例5: 求下列定解問題解：(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)兩端恒溫時有界桿上熱傳導(dǎo)的動畫演示桿上溫度的初始分布桿上熱傳導(dǎo)過程例6: 求下列定解問題解：(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)若 則u為多少？為什么會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考(4)兩端絕熱時有界桿上熱傳導(dǎo)的動畫演示桿上溫度的初始分布桿上熱傳導(dǎo)過程分離變量流程圖三、拉普拉斯方程的定解問題1. 直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題解：(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)(4)例7: 求下列定解問題解：(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)(4)例8: 求下列定解問題解：(1)(2)特征值和函數(shù)：(3)(4)2. 圓域內(nèi)的拉普拉斯問題歐拉方程例9: 求下列定解問題解：歐拉方程 令例10: 求下列定解問題解：歐拉方程 令