2021年高考真題數(shù)學試卷-新高考II卷

1、2021 年高考真題數(shù)學試卷-新高考 II 卷一、單項選擇題（本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1、在復平面內(nèi)，復數(shù) 對應的點位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2、若全集 ，集合 ， ，則 （ ）A. B. C. D.3、若拋物線 的焦點到直線 的距離為 ，則 （ ）A. B. C. D.4、衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離），把地球看成一個球心為 半徑為 的球，其上點 的緯度是指 與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表

2、面能直接觀測到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點的緯度的最大值記為 ，該衛(wèi)星信號覆蓋的地球表面積 （ 表示地球半徑，單位： ）則 占地球表面積的百分比為（ ）A. B. C. D.5、正四棱臺的上、下底面的邊長分別為 、 ，側(cè)棱長為 ，則四棱臺的體積為（ ）A. B. C. D.第1頁（共24頁）6、某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布 ，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）A. 越小，該物理量一次測量結(jié)果落在 內(nèi)概率越大B. 越小，該物理量一次測量結(jié)果大于 的概率為C. 越小，該物理量一次測量結(jié)果大于 的概率與小于 的概率相等D. 越小，該物理量一次測量結(jié)果落在 內(nèi)的概率與落在 內(nèi)的概率相等7、若 ， ， ，

3、則（ ）A. B. C. D.8、設(shè)函數(shù) 的定義域為 ，且 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，則（ ）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的全選對得 5 分，選對但不全得 2 分，有錯誤答案得 0 分）9、下列統(tǒng)計量中可用于度量樣本 ， ， ， 離散程度的有（ ）A. ， ， ， 的標準差 B. ， ， ， 中位數(shù)C. ， ， ， 極差 D. ， ， ， 平均數(shù)第2頁（共24頁）10、如圖，下列各正方體中， 為下底的中點， ， 為頂點， 為所在棱的中點，則滿足的是（ ）A. B.C. D.11、已知直線 ： 與圓

4、 ： ，點 ，則下列說法正確的是（ ）A. 若點 在圓 上，則直線 與圓 相切 B. 若點 在圓 內(nèi)，則直線 與圓 相離C. 若點 在圓 外，則直線 與圓 相離 D. 若點 在直線 上，則直線 與圓 相切12、設(shè)正整數(shù) ，其中 ，記則（ ）A. B.C. D.三、填空題（本題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分）13、已知雙曲線 （ ， ），離心率 ，則雙曲線 的漸近線方程為 14、寫出一個同時具有下列性質(zhì)的冪函數(shù) ；當 時， ； 是奇函數(shù)第3頁（共24頁）15、已知向量 ， ， ，則16、已知函數(shù) ， ， ，函數(shù) 的圖象在點 和點的兩條切線互相垂直，且分別交 軸于 、 兩點，則 的取值

5、范圍是 四、解答題（本題共 6 小題，共 90 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17、設(shè) 是公差不為 的等差數(shù)列 的前 項和，若 ， (1) 求數(shù)列 的通項公式 (2) 求使 成立的 的最小值第4頁（共24頁）18、在 中，角 ， ， 所對的邊長為 ， ， ， ， (1) 若 ，求 的面積(2) 是否存在正整數(shù) ，使得 為鈍角三角形？若存在，求 ；若不存在，說明理由19、在四棱錐 中，底面 是正方形，若 ， ， (1) 求證：平面 平面 (2) 求二面角 的平面角的余弦值第5頁（共24頁）20、已知橢圓 的方程為 ，右焦點為 ，且離心率為 (1) 求橢圓 的方程(2) 設(shè) ， 是橢圓

6、 上的兩點，直線 與曲線 ： 相切證明： ， ，三點共線的充要條件是 21、一種微生物群體可以經(jīng)過自繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第 代，經(jīng)過一次繁殖后為第 代，再經(jīng)過一次繁殖后為第 代該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè) 表示 個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)， （ ， ， ， ）(1) 已知 ， ， ， ，求 (2) 設(shè) 表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率， 是關(guān)于 的方程：的一個最小正實根，求證：當 時， ，當 時， (3) 根據(jù)你的理解說明（ ）問結(jié)論的實際含義第6頁（共24頁）22、已知函數(shù) (1) 討論 的單調(diào)性(2) 從下面兩個條件中選一個，證明： 有

7、一個零點 ， ； ， 第7頁（共24頁）答案解析1 、【答案】 A;【解析】方法一 : ，則 在復平面內(nèi)對應的點是 ，它位于第一象限故選 方法二 : 設(shè) 的一個輻角是 ， 的一個輻角是 ， ， ，則 的一個輻角是 ， ， ，故 在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限故選 2 、【答案】 B;【解析】由題意知： ，則 故選 3 、【答案】 B;【解析】拋物線 的焦點是 ，它到直線 （即 ）的距離 ，則 ，解得： 或 ，而 ，故 故選 第8頁（共24頁）4 、【答案】 C;【解析】如圖，同步衛(wèi)星位于 點， 與球 交于點 ，當點 位于能直接觀測到同步衛(wèi)星的最大緯度時， 與球 相切， 在赤道平面內(nèi)的射影在直線

8、 上，此時 ， ，已知 ， ，則 ，地球表面積 ，則 ，故 占地球表面積的百分比約為 故選 5 、【答案】 D;【解析】如圖：在正四棱臺 中，設(shè) 與 分別為上下底面的中心， 分別為 ， 的中點， ， ，第9頁（共24頁）， ， ， ， ， 且 ， 延長 與 交于點 ， ，故選 6 、【答案】 D;【解析】記該物理量一次測量結(jié)果為 ，由題設(shè)知 ，故 ， ，的分布密度曲線關(guān)于直線 對稱，越小， 的分布越集中于均值 附近， 越大，故 正確；由對稱性知 ， ，故 ， 正確；，第10頁（共24頁）由圖象可看出 ，故 ，故錯誤；更嚴謹?shù)呐袛?選項的方法：由對稱性知 ，（其中 是標準正態(tài)分布函數(shù)， ， ，顯

9、然 在 上單調(diào)遞增）越小 越大 越大 越大 越大，故 正確故選 7 、【答案】 C;【解析】因為 ， ，故 故選 8 、【答案】 B;【解析】選項 ： 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù) ， ，故 ， ，故 正確；設(shè) ，則滿足“ 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)”，此時 ， ， ，故 錯誤故選 9 、【答案】 A;C;【解析】反映離散程度：極差，方差，標準差；反映集中趨勢：平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)故選 第11頁（共24頁）10 、【答案】 B;C;【解析】設(shè)各正方體的棱長均為 （ ），建立如圖所示的空間直角坐標系，則 ， ， ， 不垂直于 ； ， ， ； ， ， ； ， ， 不垂直于 第12頁（共24頁）故選 11 、【答

10、案】 A;B;D;【解析】圓 的圓心是 ，半徑是 ，圓 的圓心到直線 的距離 ，選項：若點 在圓 上，則 直線 與圓 相切，故 正確；選項：若點 在圓 內(nèi)，則 直線 與圓 相離，故 正確；選項：若點 在圓 外，則 直線 與圓 相交，故 錯誤；選項：若點 在直線 上，則 直線 與圓 相切，故正確故選 12 、【答案】 A;C;D;【解析】方法一 : 選項：，故 正確；選項： ，當 時， ，故 錯誤；選項：，第13頁（共24頁），故 正確；選項：，故 正確；故選 方法二 : 說明： 表示一個二進制數(shù)，它的各位數(shù)字從左向右依次是 ， ， ，其中 ，表示二進制數(shù) 中 的個數(shù)，請記住 ，其中 選項： ，

11、故 ，故 正確；選項： ，當 時， ，此時 ，故 錯誤；，此時 ，故 錯誤；選項： ，故 ，故 ，故 正確；選項： ，故 ，故 正確；故選 13 、【答案】 ;【解析】雙曲線 的漸近線方程是 ，第14頁（共24頁）故雙曲線 的漸近線方程是 故答案為： 14 、【答案】 ;【解析】冪函數(shù)滿足條件，可設(shè) ， 當 時， 在 上單調(diào)遞增，此時滿足；當 為偶數(shù)時， 是奇函數(shù)，此時滿足；綜上所述， ， ，滿足題目所有條件故可取 15 、【答案】 ;【解析】由 得16 、【答案】 ;【解析】當 時， ， ，當 時， ， ，的圖象在點 處的切線斜率 第15頁（共24頁）在點 處的切線斜率 ，因為 的圖象在點

12、和點 處的切線互相垂直，故， ，由弦長公式得 ，當 時， ，故 的取值范圍是 17 、【答案】 (1) (2) 【解析】 (1) 設(shè) 的公差是 ，則 ， ， ， ， ， ， ，由題設(shè)知 ，故 ， ， (2) ，或 ，而 ，故 的最小值是 18 、【答案】 (1) (2) 存在， 第16頁（共24頁）【解析】 (1) 由 和正弦定理得 ，而 ，故 ，得 ，則 ， ， ，(2) 由題意得 ，所以當且僅當 時， 為鈍角三角形，而 ，故 ， ，當 時， ， ，則 ，不滿足 ，（三角形任意兩邊之和大于第三邊）當 時， ， ，滿足 ，故存在 ，使得 為鈍角三角形19 、【答案】 (1) 證明見解析(2)

13、【解析】 (1) 取 的中點 ，連接 ， 由 得 ， ，在正方形 中， ， ，故 ，第17頁（共24頁）而 ， ，故 ，而 ， ， 平面 ，故 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 (2)向量法：因為 平面 ， ，故以 為原點， ， ， 方向分別為 ， ， 軸正方向建立空間直角坐標系， ， ， ， ， ，設(shè) 是平面 的法向量，則 ，取 ，由 平面 得 ，而 ， ，故 平面 ，故 是平面 的法向量，設(shè)二面角 的平面角是 ，則 ，第18頁（共24頁）幾何法：由 平面 得 ，而 ， ，故 平面 ，在平面 內(nèi)作 于點 ，連接 ，由三垂線定理得 ，故 是二面角 的平面角，由 平面 得 ，則 ，即二面角 的平

14、面角的余弦值是 20 、【答案】 (1) (2) 證明見解析【解析】 (1) 由 知橢圓 的半焦距 ，離心率 ，故橢圓 的方程是 (2) 曲線 ： 是圓心為 ，半徑為 的圓在 軸右側(cè)的部分，由題設(shè)知直線 與曲線 相切，第19頁（共24頁）所以直線 的斜率不為 ，設(shè)直線 ： （即 ），顯然直線 與 軸正半軸相交，即 ，曲線 所在圓的圓心到 的距離，判別式，設(shè) ， ，由韋達定理得， ，由弦長公式得 ，（ ）若 ， ， 三點共線，即直線 經(jīng)過點 ，則 ，故 ，故 是 ， ， 三點共線的必要條件（ ）若 ，則故直線 經(jīng)過點 ，即 ， ， 三點共線，故 是 ， ， 三點共線的充分條件，綜上所述， ， ，

15、 三點共線的充要條件是 第20頁（共24頁）21 、【答案】 (1)(2) 證明見解析(3) 若 個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)的均值小于等于 ，那么繁殖多代后這種微生物臨近滅絕，若 個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)的均值大于 ，那么繁殖多代后這種微生物有繼續(xù)繁殖的可能【解析】 (1) (2) ， ， ， ， ，設(shè) ，則 ，由 得 ，圖象的對稱軸是 ，而 ，故 在 上單調(diào)遞增， ，注意到 ，（ ）當 時， ，當 時， ，故 ，故 在 上單調(diào)遞減，故當 時， ，故 （ ）當 時， ，故 在 有且僅有一個零點 ，當 時 ，當 時 ，故 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，而 ， ，第21頁（共24頁）故 在

16、 有且僅有一個零點 ，故 ，綜上所述，當 時 ，當 時 (3) 若 個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)的均值小于等于 ，那么繁殖多代后這種微生物臨近滅絕，若 個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)的均值大于 ，那么繁殖多代后這種微生物有繼續(xù)繁殖的可能22 、【答案】 (1) 當 時， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增；當 時， 在 ， 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減;當 時， 在 上單調(diào)遞增;當 時， 在 ， 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減(2) 證明見解析【解析】 (1) 的定義域是 ，注意到當 時， ，令 得 ，當 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，當 時，令 得 ， ；（ ）當 時， ，當 時 ，當 時 ，故 在 ， 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減；（ ）當 時， ，此時 ，僅當 時， ，故 在 上單調(diào)遞增；（ ）當 時， ，當 時 ，當 時 ，第22頁（共24頁）故 在 ， 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減(2)當 時，由（ ）知 在 ， 上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，設(shè) ，設(shè) ，則 ，當 ， 時， 由 得 ，故 ，故當 時， ，設(shè) ，則 ， ， ，故 ，故 在 僅有一個零點，綜上所述， 僅有一個零點當