數(shù)-8暑-第20講-線段的垂直平分線及角平分線

1、線段的垂直平分線和角平分線線段的垂直平分線和角平分線是八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期第十九章第四節(jié)內(nèi)容，主 要對線段的垂直平分線和角平分線進(jìn)行講解，重點(diǎn)是線段的垂直平分線和角平分 線定理的理解，難點(diǎn)是線段的垂直平分線和角平分線定理的運(yùn)用.通過這節(jié)課的 學(xué)習(xí)一方面為我們后期學(xué)習(xí)直角三角形提供依據(jù)，另一方面也為后面學(xué)習(xí)勾股定 理奠定基礎(chǔ).知識結(jié)構(gòu)模塊一：線段的垂直平分線，知識精講一、線段的垂直平分線的性質(zhì)及逆定理1、線段的垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； 注意：垂直平分線中的垂直是相互的，而平分那么要看清楚到底是誰被平分.2、和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.隨堂檢

2、測【習(xí)題1】AC = 49, BC=BD,那么（).A. CO垂直平分AOB.AB垂直平分CDC.平分NAC3D.以上結(jié)論均不對【難度】【習(xí)題2】如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部，那么這個(gè)三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形【難度】【習(xí)題3】3。中，AB的垂直平分線交AC于如果AC=5 cm, BC=4cm,那么Q5C 的周長是（）.A. 6 cmB. 7 cmC. 8 cmD. 9 cm【難度】【習(xí)題4】3。為C的中垂線，A在C3延長線上，ZC = 34 ,那么=.【難度】【習(xí)題5】AABC的邊長AC、5c的中垂線交A5于一點(diǎn)O,且OC = 6C,

3、那么=【難度】【習(xí)題6】8C中，AB = AC, AC的中垂線交A3于, ZiMC的周長為20cm, AB = IBC. 那么腰長為.【難度】【習(xí)題7】如下圖，AB/CD,。為NA、NC的平分線的交點(diǎn)，OEJ_AC于E,且0=2,那么AB與CD之間的距離等于【難度】BD10/14【習(xí)題8】AABC中，AD平分AC, DE、。廠分別垂直于AB、AC,垂足分別為石、F, 如果又四,=48, AC = 7, AB = 9,貝 .【難度】【習(xí)題9】：點(diǎn)A和點(diǎn)。都是線段3c外一點(diǎn)，且A3=AC, DB = DC, 是AZ）上一 點(diǎn).求證：BE = CE.【難度】AAB【習(xí)題10 ：如圖，在AABC中，Z

4、C = 90 , ZA = 30 , MN是AB的垂直平分線.【難度】求證：CM=-AM . 2【習(xí)題11 ：如圖，AABC 中，ZA = 90 ， AB = AC = BD, EDA.BC.AE求證：AE=DE=DC.【難度】【習(xí)題12如圖，在AABC中，5。平分NABC,垂直平分區(qū)0交C4延長線于.求證：ZEAB = ZEBC.【難度】課后作業(yè) TOC o 1-5 h z 【作業(yè)1】以下命題中正確的命題有（）.線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等;線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距 離相等；經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線只有一條；點(diǎn)P在線段45外且a=P8,過P作直 線MN,那么是線段A8的垂直平分線

5、;過線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線.A. 1個(gè)B. 2個(gè)C3個(gè)D. 4個(gè)【難度】【作業(yè)2】等腰三角形的底角為35。，兩腰垂直平分線交于點(diǎn)P,那么（）.A、點(diǎn)P在三角形內(nèi)B、點(diǎn)夕在三角形底邊上C、點(diǎn)P在三角形外D、點(diǎn)P的位置與三角形的邊長有關(guān)【難度】【作業(yè)3】AABC中，AB = AC = 14,腰AB的中垂線交AC于。，A6CD周長為19 ,那么【難度】【作業(yè)4】正AABC內(nèi)一點(diǎn)。到三邊距離相等，那么NBOC =度.【難度】【作業(yè)5】如圖，RAABC中，NC = 90 ，DC = lan, AB = 4cm，那么=【難度】4)平分NBA。，。，他于,如果【作業(yè)6】如圖，AABC中，DE是4

6、C的垂直平分線，AC = 5 , AABD的周長為13,求AABC的周長.【難度】【作業(yè)7】如圖，在AABC中點(diǎn)。在3C上，且DB + AZ) = 3C.求證：點(diǎn)。在AC的垂直平分線上.【難度】【作業(yè)8】如圖，在AABC中，AB = AC, ABAC = 120 , AC的垂直平分線。石交3c于D,石為垂足，且BC = 18cm,求。石的長.A【難度【作業(yè)9】如圖，正方形ABCD的邊長為1, AE是NC鉆的平分線，交BC于點(diǎn)E,那么點(diǎn)石到AC的距離為【難度】【作業(yè)10如圖，AABC中，點(diǎn)石是延長線上的一點(diǎn)，AE = AG AQ平分NBAC,【作業(yè)10如圖，AABC中，點(diǎn)石是延長線上的一點(diǎn)，AE

7、 = AG AQ平分NBAC,BD= BE.求證：ZABC = 2ZC.【難度】俚）例題解析【例1】 如圖，AB = AC = l4an9。石垂直平分AB,假設(shè)ABCD的周長為24c7篦，那么【難度】【例2】 如圖，在AABC中，ZC = 90 ,。石垂直平分AB,假設(shè)NCBD = 40。，那么Z4 =度.【難度】【例3】 如圖，在AABC中，DE垂直平分AB于點(diǎn)。，交3C于點(diǎn)E, G/垂直平分AC于點(diǎn)G,交3。于點(diǎn)尸，假設(shè)N1MC = 135。，那么44尸=【難度】【例4】假設(shè)三角形一邊中垂線過另一邊中點(diǎn)，那么該三角形必為 三角形.【難度】【例5】 己知：如圖，在AABC中，ZC = 90

8、, ZA = 30 ,。石垂直平分AB于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)石.求證：DE = CE.【難度】于點(diǎn)石.求證：DE = CE.【難度】【例6】 ：如圖，在AA3C中，ZACB = 90 ,。為延長線上一點(diǎn)，石是上一 點(diǎn)，E”垂直平分3D 為垂足，DE交AC于點(diǎn)、F.求證：E在AF的垂直平分線上.上.【難度】【例7】如圖，AABC中，AD是NBAC的平分線，點(diǎn)石在延長線上，且/BAE = ZACE .求證:【難度】/BAE = ZACE .求證:【難度】點(diǎn)E在4）的垂直平分線上.【例8】 ：在AABC中，NACB = 90, ZA = 30 , 3。平分交AC于點(diǎn)。.求證：點(diǎn)。在的垂直平分線上.【難度

9、】【例9】己知：在ABC中，QV是AB的垂直平分線，OA = OC .求證：點(diǎn)O在線段3C的垂直平分線.【難度】【例10如圖，在ABC中，ZA=30,。石垂直平分A3,bM垂直平分AD GN垂直平分【例10如圖，在ABC中，ZA=30,。石垂直平分A3,bM垂直平分AD GN垂直平分BD.求證：AF=FG = BG.【難度】【例11 如圖，在A3C中，ZB=22.5,邊A3的垂直平分線交3C于點(diǎn)。，DFLAC,并與BC邊上的高AE交于點(diǎn)G.求證：EG = EC.【難度】【例12 如圖，：ABC中，A3=C&點(diǎn)。在線段AC上，且=AO, NA8C=108。,過點(diǎn)A作ABC,交NA3O的平分線于E

10、,過點(diǎn)A作ABC,交NA3O的平分線于E,求證：3。垂直平分EC【難度】模塊二：角平分線知識精講二、角平分線的性質(zhì)定理和角平分線的性質(zhì)定理的逆定理1、角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.2、在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到這個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上注意：角的平分線可以看作是在這個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到這個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn) 的集合.例題解析【例13：如圖，點(diǎn)。到AD. 8C的距離相等，那么以下說法：點(diǎn)P在NR4c的 平分線上;點(diǎn)P在NC3E的平分線上;點(diǎn)P在N3CD的平分線上;點(diǎn)。是N84C、/CBE、的平分線的交點(diǎn)，其中正確的選項(xiàng)是（）.A.【難度】B.【例14如圖，AB =

11、 AD, N4BC=NAZ)C = 90。，那么以下結(jié)論：N3=N4,N1 = N2；N5=N6；AC垂直且平分5。，其中正確的有（A.B.【難度】N5=N6；AC垂直且平分5。，其中正確的有（A.B.【難度】).C.D.C【例15如圖，AABC中，ZACB = 90 ， CDLAB于D 班是NABC的平分線，BE與CD交于F .求證：CE = CF.【難度】【例16，如圖，在AABC中，的平分線與NC相鄰的外角的平分線交于點(diǎn)D, DE/BC.求證：EF = BE-CF.【難度】【例17如圖，AD/BC, AC平分 44D, BE平分NABC,交CD于點(diǎn)、E ,交AC于點(diǎn)、F .求證：點(diǎn)E到E

12、4、EC的距離相等.【難度】【例18如圖，ZB = ZC = 90 , M是3c的中點(diǎn)，DM平分NAC.求證：A平分【難度】【例19：如圖，AD/OB, OC平分NAO8 P是OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作直線MN,分別交A。、05于點(diǎn)M和N,且MP = NP.求證：點(diǎn)P到AO和4）的距離相等.【難度】【例20如圖，4）為AABC的角平分線，DE/AC,交AB于E,過E作AO的垂線交延長線于尸.求證：ZB = ZFAC.【難度】【例21：如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZACB = 90 ,。為5。的中點(diǎn)，且DEAB,垂足為點(diǎn)石，過點(diǎn)3作4/AC交DE的延長線于點(diǎn)尸，聯(lián)結(jié)CF(1)(1)求證：ADCF；(2)聯(lián)結(jié)AF,試判斷AACF的形狀，并說明理由.【難度】【例22如圖，AP.族分別平分和NNR4, PC、尸。分別垂直于AM、BN ,如果AC = cm? CP = 2cm, BD = 3ctn,那么/) =, AB= 【難度】【例23如圖，AABC中，NC = 90 ,點(diǎn)O為AABC的三條角平分線的交點(diǎn)，ODA.BC, OEA.AC,點(diǎn)。、方分別為垂足，且 45 = 10, BC = 8, C4 = 6,那么點(diǎn) O到三邊AB、AC和3c的距離分別為【難度】【例24如圖，在AAB