223實(shí)際問題與一元二次方程教學(xué)案例

1、 第 PAGE 7 頁 共 NUMPAGES 7 頁優(yōu)質(zhì)課評(píng)比：實(shí)際問題與一元二次方程教案講課人：韓春見單位：襄陽市諸葛亮中學(xué)郵編：441000電話：07103167556郵箱：教案：22.3 實(shí)際問題與一元二次方程湖北襄樊市第十九中學(xué)韓春見441000 教學(xué)內(nèi)容： 根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問題 教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能：1、掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題 2、利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題過程與方法：1、讓學(xué)生經(jīng)歷“設(shè)疑探究解決收獲”的學(xué)習(xí)過程，體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、探究問題的思想，從中感悟證明結(jié)論的方

2、法和樂趣。2、在有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)中，滲透圖形運(yùn)動(dòng)、類比的數(shù)學(xué)觀念，發(fā)展學(xué)生主動(dòng)探索、研究的習(xí)慣。情感態(tài)度與價(jià)值觀：1、通過設(shè)置問題情境，促使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和好奇心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望，使其主動(dòng)參與雙邊交流活動(dòng)地，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。2、通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，鼓勵(lì)、培養(yǎng)學(xué)生大膽實(shí)踐、勇于創(chuàng)新、團(tuán)結(jié)互助的精神，感受數(shù)學(xué)的美，從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生濃厚的求知欲望和學(xué)習(xí)興趣。 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型 教具、學(xué)具準(zhǔn)備 多媒體幻燈機(jī) 教

3、學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 復(fù)習(xí)列方程解應(yīng)用題的步驟及各步驟應(yīng)注意的問題 二、探索新知 現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的內(nèi)容再來解決一些實(shí)際問題 活動(dòng)1：如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？ 學(xué)生活動(dòng)： 學(xué)生分組討論問題中的相等關(guān)系式，并請(qǐng)學(xué)生在幻燈機(jī)上展示。 分析：封面的長寬之比為，中央矩形的長寬之比也應(yīng)是，由此判斷上下邊襯與左右邊襯的寬度之比也是.設(shè)上、下邊襯的寬均為9x cm，左、右邊襯的寬均為7x cm，則中央矩

4、形的長為cm，寬為_cm要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央矩形的面積是封面面積的四分之三老師點(diǎn)評(píng)：依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm 因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面積的 所以（27-18x）（21-14x）=2721 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=， x12.8cm，x20.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x

5、2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm 三、鞏固練習(xí) 活動(dòng)2：有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長度相同，求臺(tái)布的長和寬各是多少?（精確到01尺） 四、應(yīng)用拓展 例3如圖（a）、（b）所示，在ABC中B=90，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng) （1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使SPBQ=8cm2 （2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC

6、邊上前進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒鐘，使PCQ的面積等于12.6cm2（友情提示：過點(diǎn)Q作DQCB，垂足為D，則：） 分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使SPBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學(xué)模型 （2）設(shè)經(jīng)過y秒鐘，這里的y6使PCQ的面積等于12.6cm2因?yàn)锳B=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模 解：（1）設(shè)x秒，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，且使PBQ的面積為8cm2 則：（6-x）2x=8 整理，得：

7、x2-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 經(jīng)過2秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)12=2cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)22=4cm處，經(jīng)過4秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)14=4cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)24=8cm處，所以它們都符合要求 （2）設(shè)y秒后點(diǎn)P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，點(diǎn)Q在CA上移動(dòng)，且使CQ=（2y-8）cm，過點(diǎn)Q作DQCB，垂足為D，則有 AB=6，BC=8 由勾股定理，得：AC=10 DQ= 則：（14-y）=12.6 整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 即經(jīng)過7秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)7cm處（CP=14-y=7），點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)6cm處（CQ=2y-8=6），使PCD的

8、面積為12.6cm2 經(jīng)過11秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)14cm10，點(diǎn)Q已超過CA的范圍，即此解不存在 本小題只有一解y1=7 五、歸納小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題 六、布置作業(yè) 1教材P53 綜合運(yùn)用5、6 拓廣探索全部 2選用作業(yè)設(shè)計(jì): 一、選擇題1直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為（ ） A B5 C D72有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的長比第一塊的長少2m，寬是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2，這兩塊木板的長和寬分別是（ ） A第一塊木板長18m

9、，寬9m，第二塊木板長16m，寬27m; B第一塊木板長12m，寬6m，第二塊木板長10m，寬18m; C第一塊木板長9m，寬4.5m，第二塊木板長7m，寬13.5m; D以上都不對(duì)3從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是（ ） A8cm B64cm C8cm2 D64cm2二、填空題1矩形的周長為8，面積為1，則矩形的長和寬分別為_2長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為_3如圖，是長方形雞場平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的面積為150m2，則此長方形雞場的長、寬分別為_三、綜合提高題

10、1在一塊長12m，寬8m的長方形平地中央，劃出地方砌一個(gè)面積為8m2的長方形花臺(tái)，要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個(gè)寬度為多少?2誰能量出道路的寬度: 如圖22-10，有矩形地ABCD一塊，要在中央修一矩形花輔EFGH，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測量工具，只有無刻度的足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度? 請(qǐng)同學(xué)們利用自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決這個(gè)實(shí)際問題，相信你一定能行答案:一、1B 2B 3D二、12+ 2- 232cm 320m和7.5m或15m和10m三、1設(shè)寬為x，則128-8=28x+2（12-2x）x 整理，得：x2-10 x+22=0 解得：x1=5

11、+（舍去），x2=5-2設(shè)道路的寬為x，AB=a，AD=b 則（a-2x）（b-2x）=ab 解得：x= （a+b）- 量法為：用繩子量出AB+AD（即a+b）之長，從中減去BD之長（對(duì)角線BD=），得L=AB+AD-BD，再將L對(duì)折兩次即得到道路的寬，即教學(xué)反思：本課的主要內(nèi)容是：以列一元二次方程解應(yīng)用問題為中心，深入探究圖形問題中的數(shù)量關(guān)系。本課的活動(dòng)側(cè)重點(diǎn)是列方程解應(yīng)用題，提高學(xué)生應(yīng)用方程分析解決問題的能力。本課的活動(dòng)涉及了一元二次方程解法，列方程解應(yīng)用問題的一般規(guī)律，初等幾何知識(shí)等。學(xué)習(xí)方式為教師引導(dǎo)，學(xué)生探究，小組合作。本課以一個(gè)封面設(shè)計(jì)問題引入，隨后探究一個(gè)草坪規(guī)劃的問題，強(qiáng)調(diào)圖形變換在解題中的應(yīng)用。在這兩個(gè)活動(dòng)中，通過設(shè)置對(duì)比情境，首先使學(xué)生體會(huì)解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，并增強(qiáng)擇優(yōu)能力。本課力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進(jìn)行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教師應(yīng)注意引導(dǎo)。本課在課前由于準(zhǔn)備不是太充分，引入探究三：封面設(shè)計(jì)問題后分析數(shù)量關(guān)系的時(shí)間有點(diǎn)長，學(xué)生理解得很透徹，開闊了學(xué)生的解題思路，體現(xiàn)了一題多解，發(fā)散思維，這正是中考關(guān)注的。 在圖形變換的應(yīng)用方面，學(xué)生不善于畫圖，教師強(qiáng)調(diào)不夠，在以后應(yīng)專門訓(xùn)練。讓學(xué)生自覺利用數(shù)學(xué)圖形語言分析解決實(shí)際問題。在課件制