線性代數(shù)解題指導(dǎo)：第五章 特征值問題

1、5.3 基本內(nèi)容5.3.1 特征值與特征向量的定義設(shè)A是一個(gè)n階的方陣，若對(duì)數(shù)，存在非零n維向量x，使Ax=x成立，則稱是A的特征值，x是A的屬于的特征向量。注1 特征值問題是對(duì)于方陣而言的。注2 特征向量必須是非零向量。5.3.2 特征值與特征向量的求法若A=為具體矩陣(即具體給出)求解步驟為：第一步：求出方程的所有根，即為A的全部特征值。第二步：對(duì)每個(gè)不同的，解其次方程組(Ax=0，求出一個(gè)基礎(chǔ)解系： 即為A的屬于的線形無(wú)關(guān)特征向量，而(其中任意常數(shù)不全為零)則為A的屬于的全部特征向量。注1 稱為A的特征多項(xiàng)式，其為的n次多項(xiàng)式。稱為A的特征方程，其在復(fù)數(shù)域內(nèi)必有n個(gè)根（包括重根），所以n

2、階方陣總共有n個(gè)特征值，特征值的重?cái)?shù)稱為的代數(shù)重?cái)?shù)，記做。注2 方程組的解空間稱為A的屬于的特征子空間，而把dim成為的幾何重?cái)?shù)，記作。(2) 若A為抽象矩陣（即沒有給出A的具體元素），只有A滿足的某些條件，則可由定義來分析求解。5.3.3 特征值與特征向量的性質(zhì)屬于同一特征值的特征向量的任意非零組合仍是屬于特征向量。(2) 若是A的分別屬于特征值的特征向量，則不是A的征向量。(3) 屬于不同特征值的特征向量必線形無(wú)關(guān)。(4) 設(shè)n階方陣A的n特征值為，則 (5.1) (5.2)注 由(5.2)式可知，A可逆A沒有零特征值。(5) 特征值的幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)滿足 (5.3)(6) 設(shè)為方陣A的

3、特征值，x是對(duì)應(yīng)的特征向量，k常數(shù)，m為正整數(shù)，則及分別為矩陣kA，及的特征值，而x為對(duì)應(yīng)的特征向量。注 若分別是A，B的特征值，則未必是A+B的特征值，也未必是AB的特征值。A與有相同的特征值，但特征向量未必相同。 (8) 正交陣A的特征值只能是。5.3.4 相似矩陣的概念定義：設(shè)A、B都是n階方陣，若存在n可逆P，使，則稱A相似與B?；拘再|(zhì)：自反性：A與A相似；對(duì)稱性：A相似與B，則B也相似與A；傳遞性：A相似與B，B 相似與C，則A相似與C。注 若A與對(duì)角陣相似，則稱A可對(duì)角化。5.3.5 相似矩陣的性質(zhì)若，即A相似與B，則(1) 。(2) 與，kA與kB，與也相似(其中k為常數(shù)，m為

4、正整數(shù))。(3) 當(dāng)A可逆時(shí)，與，與也相似。(4) ，從而A與B有相同的特征值。 (5) 。(6) 。5.3.6 n階矩陣A可對(duì)角化的條件A可對(duì)角化的充要條件是A有n個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量若A有n個(gè)互不相等的特征值，則A可對(duì)角化。注 這是充分而非必要條件。A可對(duì)角化的條件是對(duì)A的任一特征值，有 5.3.7 將A對(duì)角化的方法(1) 求出A的所有的特征值，其中互不相等的特征值為(r). (2) 若A可對(duì)角化，則k重特征值必對(duì)應(yīng)k個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量，求出每一個(gè)齊次方程組(k=1,2,r)的基礎(chǔ)解系，合并后必可得到A的n個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量。 (3) 令P=，則P可逆，且有 或 (5.4)注 P的每一

5、列的排列序應(yīng)與中對(duì)應(yīng)的的排序相同。5.4 典型例題分析 1）特征值于特征向量的計(jì)算 例1 求A=的全部特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。 解 所以A的全部特征值為。 當(dāng) 所以就可寫成令的基礎(chǔ)解系，就是矩陣A對(duì)應(yīng)于的特征向量，全部特征向量為。 當(dāng)時(shí)所以，可寫成 取，得， 取，得。 均為A的二重特征值的特征向量，全部特征向量為，其中不全為零。 例2 設(shè)0是矩陣A=的特征值，求 (1) a；(2) A的另一特征值。 解 解法一 (1) 由于為所有特征值之積，故由已知可得=0。又，所以a=1， (2) 所以另一特征值為2。 解法二 (1) A的特征多項(xiàng)式 (*)因?yàn)槭茿的特征值，所以將代入(*)有 2a-2=0

6、，即a=1。 (2) 將a=1代入(*)，得特征方程為從而為A的另一特征值。例3 設(shè)A滿足，試求的特征值。解 因?yàn)锳為抽象矩陣，所以由定義求解，設(shè)為A的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量則，從而由 可得。又的特征值為所以的特征值為5或4。例4 設(shè)A為n階實(shí)矩陣，試求的一個(gè)特征值。解 由于，故可先算的特征值，而這又只需算出A的特征值及。因?yàn)樗?，既，又，所以。?，故即，是A的一個(gè)特征值。于是可得的一個(gè)特征值，即為1。所以即的一個(gè)特征值為1。例5 設(shè)向量，滿足，且，記n階方陣A=，求：(1) ；(2) 矩陣A的特征值與特征向量。解 (1) 由A=及，有 (2) 設(shè)是A的任一特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為x，即，于

7、是 因?yàn)椋?，由得，即A的特征值全為零。又 故方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為 于是A的屬于特征值的全部特征向量為 其中是不全為零的常數(shù)。 例6 已知A是n階方陣，是它的n個(gè)特征值，是其對(duì)應(yīng)的n個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量，求的全部特征值和一組線形無(wú)關(guān)的特征向量。 解 由已知可得，將其變形可得到 從而 即 這就說明。一組線形無(wú)關(guān)的特征向量為。 例7 設(shè)，不解特征方程，求A的特征值和特征向量。 解 解法一 顯然，所以A必有零特征值，求出對(duì)應(yīng)與零特征值的特征向量，解方程組得基礎(chǔ)解系為：， 。由知至少是A的二重特征值，故有。 設(shè)是A的另一特征值，由特征值性質(zhì)知即 所以。由，可解得對(duì)應(yīng)的特征向量為。 解法二 同解

8、法一求出對(duì)應(yīng)的特征向量。 因?yàn)锳為實(shí)對(duì)稱矩陣，設(shè)A的另一特征值為，必有（由于實(shí)對(duì)稱矩陣的任一特征值均滿足，故必為二重特征值），因?yàn)楣势饘?duì)應(yīng)的特征向量必與正交。設(shè)，則由，即 解得 為基礎(chǔ)解系?？疾斓锰卣飨蛄克鶎?duì)應(yīng)的特征值為。 注 解法二只適用與實(shí)對(duì)稱矩陣，對(duì)于一般矩陣可用解法一。 2) 由特征值或特征向量的概念確定矩陣中某些元素例8 已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量，試求常數(shù)k的值。解 若，則，故x也是A的特征向量。由，可求得A的特征值為。由，解得k=1。所以k=-2或k=1。例9 設(shè)矩陣，其行列式，又A的伴隨矩陣有一個(gè)特征值，屬于的一個(gè)特征值向量為，求a，b，c和的值。解 據(jù)題意可得 ，即 也

9、即 解之得。又由和a=c，有 故a=c=2，所以a=2，b=-3，c=2，=1 例10 設(shè)矩陣有3個(gè)線形無(wú)關(guān)的向量，求a與b應(yīng)滿足的條件。 解 可求得，所以A的特征值為。由于不同的特征值對(duì)應(yīng)的向量線形無(wú)關(guān)，所以若A有3個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量，則對(duì)應(yīng)應(yīng)有兩個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量，從而，由 知，當(dāng)a+b=0時(shí)，此時(shí)A有3個(gè)線形無(wú)關(guān)的特征向量。 3) 有關(guān)特征向量與特征向量的證明 例11 設(shè)n階方陣A的特征值為，對(duì)應(yīng)的向量分別為，若，則矩陣多項(xiàng)式的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為。 證 由可得（i=1，2，n；k=1，2，m），所以 故是的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量。 例12 設(shè)n維實(shí)向量，證明是A的特征值。

10、證 若，則A，顯然A有零特征值，此時(shí)，故是A的特征值。 若，則，由定義可知是A的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為。 例13 設(shè)A為n階矩陣，和是A的兩個(gè)不同的特征值，是A分別屬于和的特征向量，證明不是A的特征向量。 證 （反證）若是A的特征向量，則存在數(shù)，使 又由已知可得 所以有 即 因?yàn)椋耘c線形無(wú)關(guān)，故得 且于是，這與矛盾，故不是A的特征向量。例14 試證：n階方陣的最大特征值是，其中。證 A的特征多項(xiàng)式為 于是A的特征值為 由于，故，即為最大特征值。 例15 設(shè)n階方陣A不可逆，若，則的特征值為零；若，則有一個(gè)n-1重特征值零及一個(gè)單特征值是的代數(shù)余子式）。 證 若，則，故，從而的特征值為零。

11、若，則，故中所有高于1階的子式全為零，故由特征多項(xiàng)式的性質(zhì)知 所以此時(shí)有一個(gè)n-1重特征值零及一個(gè)單特征值。 例16 設(shè)A為n階方陣，且。證明-3是A的特征值。 證 因?yàn)椋怨?。由，得所以，?3是A的特征值。 例17 設(shè)A，B均為n階方陣，證明AB與BA具有相同的特征值。 證 證法一 設(shè)為AB的任一特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為x，即 兩邊左乘B，得若，則是BA的特征值，而Bx是對(duì)應(yīng)的特征向量。若，則，由知，即AB有零特征值。故，從而，這表明BA也有零特征值。所以AB與BA有相同的特征值。 證法二 兩邊取行列式得又兩邊取行列式得所以 即AB與BA有相同的特征值。 證法三 若，則，故AB與BA相似

12、，所以AB與BA有相同的特征值。 若，由于只有有限個(gè)根，因此存在無(wú)數(shù)t，使，由上可知與有相同的特征值，即 令，則可視作關(guān)于t的n次多項(xiàng)式，由于有無(wú)數(shù)個(gè)t使成立，因而它必須為零多項(xiàng)式，從而在t=0時(shí)仍成立，即有 亦即AB與BA有相同的特征值。 例18 設(shè)A和 B均為n階非零矩陣，且滿足, 證明： （1）必是A,B的特征值。 （2）若分別是A,B對(duì)應(yīng)的特征值的特征向量，則線性無(wú)關(guān)。 證 （1）因?yàn)?.所以有非零解，從而,即是A的特征值。 同理也是B的特征值。 （2）因,故,即可見是B對(duì)應(yīng)的特征向量。 由于是B分別對(duì)應(yīng)于和的特征向量，故它們線性無(wú)關(guān)。 4）利用特征值證明矩陣的可逆性 （1）A可逆 A

13、無(wú)零特征值。 （2）討論形如的矩陣的可逆性時(shí)，有時(shí)利用矩陣的特征值來討論。 可逆k不是A的特征值。 不可逆是A的特征值。例19 設(shè)A為n階方陣，且，m為正整數(shù)，證明A可逆。 證 設(shè)為A的任意特征值，為對(duì)應(yīng)的特征向量，則 從而 因?yàn)?，且，所以有，得。故A得 任一特征值都為1，因此 即可知A可逆。 例20 已知n階方陣A和B，B得特征多項(xiàng)試為，求證可逆得充要條件是B得任一特征值都不是A得特征值。 證 設(shè)B得特征值為，則 于是 因此可逆 不是A得特征值，結(jié)論得證。 例21 設(shè)n階可逆矩陣A得每行上n歌 元素之和均為c。 試證 （1）; (2) 不可逆； （3）重每行上n歌元素之和為。 證 證法一 （

14、1）設(shè)，由已知，即 所以，有 由于，故c是A的一個(gè)特征值，由A的可逆性知。 （2）由(1)知c是A的特征值，故有，即不可逆。 （3）由及A的可逆性可得 這就說明的每行上的n歌元素之和為。 證法二 （利用行列式） （1）將的各行列元素加到第j列上提出公因子c，有 因?yàn)?，所以?（）由，將的各列加到第一列，得 （3）由（1）知，對(duì)，均可得到 而 故中第j行得n各元素之和為 5）矩陣相似與矩陣對(duì)角化條件 例22 已知矩陣 相似，求a和b得值。 解 解法一 相似矩陣由相同得特征多項(xiàng)式 因?yàn)?。由，令，得，再令得解得a0，b2。 解法二 相似矩陣有相同的特征值由于B得特征值為，它們也是A的特征值，應(yīng)滿足

15、，將代入得，所以a0。再由，即，b2。 例23（1）若A與B相似，故有則與相似。 （2）若A與，且，求行列式得值。 解（1）因A與B相似，故可有逆陣P使，從而有 證得與相似。 (2) 由A與相似，可得與相似，從而它們得行列式相等。 所以 例24 判斷下列兩個(gè)矩陣A，B是否相似。，解 對(duì)A，因?yàn)?，故特征值為，又A為實(shí)對(duì)稱陣，故必可與對(duì)角陣相似，即存在可逆矩陣，使 對(duì)B可求得，故B與A有相同特征值，由于，所以的基礎(chǔ)解系含個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，也即對(duì)B的特征值，有。故B也可相似于對(duì)角陣，即存在可逆陣，使所以即故A與B相似。例25 證明以下結(jié)論：（1）設(shè)A為二階實(shí)矩陣，則A與對(duì)角陣相似。（2）設(shè)，,則A與

16、對(duì)角陣相似。證 （1）令設(shè)A的兩個(gè)特征值為，則由可知異號(hào)，故A可對(duì)角化。 （2）因?yàn)椋?，故有兩個(gè)不同實(shí)根，所以A可對(duì)角化。例26 設(shè)A為n階方陣，且（m為整數(shù)，m1），證明：A不與對(duì)角陣相似，即A不可對(duì)角化。證：（用反證法）若A與對(duì)角陣相似，則存在可逆陣P，使其中是A的特征值。于是即由題設(shè)因此與矛盾，命題得證。例27 設(shè)且，證明A可對(duì)角化。 證 ， 設(shè)為A的任一特征值，則由，有。所以A的特征值為或。因?yàn)?，所以為A的一重特征值，為A的重特征值。對(duì)，由于而又由已知，所以，即的基礎(chǔ)解系含個(gè)向量，即A的屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量有個(gè)，故A可對(duì)角化。6）實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化與用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)

17、型問題（1）對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A，求正交矩陣Q，使（為對(duì)角陣）。（2）對(duì)二次型，求正交矩陣Q，使（為對(duì)角陣），則當(dāng)時(shí)，有為標(biāo)準(zhǔn)型。方法：關(guān)鍵是求正交矩陣Q，步驟為：（1）求出A的所有特征值；（2）對(duì)重特征值，將的基礎(chǔ)解系正交化；（3）將n個(gè)正交的特征向量標(biāo)準(zhǔn)化得；則即為所求，例28 設(shè)的一個(gè)特征值為3，求y的值。求一個(gè)滿秩矩陣P，使得為對(duì)角陣。 解 （1）因?yàn)?為A的一個(gè)特征值，所以有，即 故y2。 （2）因?yàn)樗?因此要使為對(duì)角陣，只要求出正交陣P，使得為對(duì)角陣，即有為對(duì)角陣，而這即為實(shí)對(duì)稱陣A的正交對(duì)角化問題。 由, 得A得特征值為。對(duì)，解,即 得基礎(chǔ)解系為 由于已正交，故只需單位化，得 對(duì)，解，即 可得基礎(chǔ)解系為 單位化得 對(duì)解 即 得基礎(chǔ)解系為 ，單位化得 ，令 則，這時(shí)有 例29 設(shè)數(shù)列滿足：且，求的通項(xiàng)及。解 設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為求。由，得A的特征值為。對(duì)，解，即,得對(duì)，解，即,得令，則有。所以，從而，所以，故。例30 設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的三個(gè)特征值為，對(duì)應(yīng)于的特征向量為。求A；(