統(tǒng)計學第6章假設檢驗與方差分析1

1、第六章 假設檢驗與方差分析第一節(jié) 假設檢驗的基本原理 第二節(jié) 總體均值的假設檢驗 第三節(jié) 總體比例的假設檢驗 第四節(jié) 單因子方差分析第五節(jié) 雙因子方差分析第六節(jié) Excel在假設檢驗與方差 分析中的應用2掌握要點假設檢驗的基本原理和步驟，以及相關概念Z統(tǒng)計量、t統(tǒng)計量、F統(tǒng)計量的計算和應用方差分析的基本概念針對單因素、雙因素的方差分析構造F統(tǒng)計量3第一節(jié) 假設檢驗的基本原理一 什么是假設檢驗二 原假設與備擇假設三 檢驗統(tǒng)計量四 顯著性水平、P-值與臨界值五 雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗六 假設檢驗的兩類錯誤七 關于假設檢驗結(jié)論的理解4顯著性檢驗的基本思想用小概率原理解釋小概率原理認為，小概率事件在一次試

2、驗中是幾乎不可能發(fā)生的。如果對總體的某個假設是真實的，而在這樣的總體中事件A發(fā)生的概率非常小，那么，就可認為在一次試驗中，事件A是不會發(fā)生的。如果在一次試驗中事件A事實上發(fā)生了。那就只能認為事件A不是來自之前假設的總體，也就是說，之前對總體所做的假設不正確。5一、什么是假設檢驗例6-1：假定咖啡的分袋包裝生產(chǎn)線的裝袋重量服從正態(tài)分布N(,2)。生產(chǎn)線按每袋凈重150克的技術標準控制操作?，F(xiàn)從生產(chǎn)線抽取簡單隨機樣本n=100袋，測得其平均重量為 =149.8克，樣本標準差S=0.872克。問該生產(chǎn)線的裝袋凈重的期望值是否為150克（即問生產(chǎn)線是否處于控制狀態(tài)）?6所謂假設檢驗，就是事先對總體的參

3、數(shù)或總體分布形式做出一個假設，然后利用抽取的樣本信息來判斷這個假設（原假設）是否合理，即判斷總體的真實情況與原假設是否存在顯著的系統(tǒng)性差異，所以假設檢驗又被稱為顯著性檢驗。7一個完整的假設檢驗過程，包括以下幾個步驟：（1）提出假設；（2）構造適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量，并根據(jù)樣本計 算統(tǒng)計量的具體數(shù)值；（3）規(guī)定顯著性水平，建立檢驗規(guī)則；（4）做出判斷。8二、原假設與備擇假設原假設一般用H0表示，通常是設定總體參數(shù)等于某值，或服從某個分布函數(shù)等；備擇假設是與原假設互相排斥的假設，原假設與備擇假設不可能同時成立。所謂假設檢驗問題實質(zhì)上就是要判斷H0是否正確，若拒絕原假設H0 ，則意味著接受備擇假設H1 。

4、 9注意：原假設和備擇假設合在一起，應涵蓋所研究的總體特征的所有可能性。原假設是指觀察到的差異只反映機會變異備擇假設是指觀察到的差異是真實的。10如在例6-1中，我們可以提出兩個假設：假設平均袋裝咖啡重量與所要控制的標準沒有顯著差異，記為H0: = 150；假設平均袋裝咖啡重量與所要控制的標準有顯著差異，記為H1: 150。11注意：一般而言，凡有關總體參數(shù)的顯著性檢驗，都應把總體參數(shù)等于某定值作為原假設，這樣便于在原假設成立的假設下討論檢驗統(tǒng)計量的分布。12實際上，原假設和備擇假設的設置方法還同我們?nèi)绾吾槍傮w的不同狀態(tài)采取行動有關。13三、檢驗統(tǒng)計量所謂檢驗統(tǒng)計量，就是根據(jù)所抽取的樣本計算

5、的用于檢驗原假設是否成立的隨機變量。檢驗統(tǒng)計量中應當含有所要檢驗的總體參數(shù)，以便在“總體參數(shù)等于某數(shù)值”的假定下研究樣本統(tǒng)計量的觀測結(jié)果。14檢驗統(tǒng)計量還應該在“H0成立”的前提下有已知的分布，從而便于計算出現(xiàn)某種特定的觀測結(jié)果的概率。15例6-2 構造例6-1的檢驗統(tǒng)計量,并計算相應的樣本觀測值。 1617 18四、顯著性水平、P-值與臨界值小概率事件:在單獨一次的試驗中基本上不會發(fā)生，可以不予考慮。在假設檢驗中，我們做出判斷時所依據(jù)的邏輯是：如果在原假設正確的前提下，檢驗統(tǒng)計量的樣本觀測值的出現(xiàn)屬于小概率事件，那么可以認為原假設不可信，從而否定它，轉(zhuǎn)而接受備擇假設。19至于小概率的標準是多

6、大？這要根據(jù)實際問題而定。假設檢驗中，稱這一標準為顯著性水平，用來表示。在應用中，通常取 =0.01， =0.05。一般來說，犯第一類錯誤可能造成的損失越大， 的取值應當越小。對假設檢驗問題做出判斷可依據(jù)兩種規(guī)則：一是P-值規(guī)則；二是臨界值規(guī)則。20（一）P-值規(guī)則 所謂P-值，實際上是檢驗統(tǒng)計量超過(大于或小于)具體樣本觀測值的概率。 如果P-值小于所給定的顯著性水平，則認為原假設不太可能成立； 如果P-值大于所給定的標準，則認為沒有充分的證據(jù)否定原假設。21例6-3假定 =0.05，根據(jù)例6-2的結(jié)果，計算該問題的P-值，并做出判斷。22解：查標準正態(tài)概率表，當z=2.29時，陰影面積為0

7、.9890，尾部面積為1-0.9890=0.011，由對稱性可知，當z= 2.29時，左側(cè)面積為0.011。0.011/2=0.0250.011這個數(shù)字意味著，假若我們反復抽取n=100的樣本，在100個樣本中僅有可能出現(xiàn)一個使檢驗統(tǒng)計量等于或小于2.29的樣本。該事件發(fā)生的概率小于給定的顯著性水平，所以，可以判斷=150的假定是錯誤的，也就是說，根據(jù)觀測的樣本，有理由表明總體的與150克的差異是顯著存在的。23例：某電視機廠聲稱其產(chǎn)品耐用時間超過1200小時。隨機抽取100件產(chǎn)品后測得均值為1251小時，標準差s=300小時。問該廠產(chǎn)品耐用時間是否高于1200小時？（顯著水平0.05）24（

8、二）臨界值規(guī)則假設檢驗中，還有另外一種做出結(jié)論的方法：根據(jù)所提出的顯著性水平標準（它是概率密度曲線的尾部面積）查表得到相應的檢驗統(tǒng)計量的數(shù)值，稱作臨界值。直接用檢驗統(tǒng)計量的觀測值與臨界值作比較，觀測值落在臨界值所劃定的尾部（稱之為拒絕域）內(nèi)，便拒絕原假設；25觀測值落在臨界值所劃定的尾部之外（稱之為不能拒絕域）的范圍內(nèi)，則認為拒絕原假設的證據(jù)不足。這種做出檢驗結(jié)論的方法，我們稱之為臨界值規(guī)則。26顯然，P-值規(guī)則和臨界值規(guī)則是等價的。在做檢驗的時候，只用其中一個規(guī)則即可。P-值規(guī)則較之臨界值規(guī)則具有更明顯的優(yōu)點。這主要是：第一，它更加簡捷；第二，在值規(guī)則的檢驗結(jié)論中，對于犯第一類錯誤的概率的表

9、述更加精確。推薦使用P-值規(guī)則。27例6-4假定=0.05，根據(jù)例6-2的結(jié)果，用臨界值規(guī)則做出判斷。28解：查表得到，臨界值z0.025= 1.96。由于z= 2.29 1.96，即，檢驗統(tǒng)計量的觀測值落在臨界值所劃定的左側(cè)（即落在拒絕域），因而拒絕=150克的原假設。上面的檢驗結(jié)果意味著，由樣本數(shù)據(jù)得到的觀測值的差異提醒我們：裝袋生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程已經(jīng)偏離了控制狀態(tài)，正在向裝袋重量低于技術標準的狀態(tài)傾斜。29五、雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗 圖6-1 雙側(cè)、單側(cè)檢驗的拒絕域分配/21 /2Z /2 Z/2 (a)雙側(cè)檢驗 Z 0 (b)左側(cè)檢驗 0 Z (c)右側(cè)檢驗 30表6-1 拒絕域的單、雙側(cè)與

10、備擇假設之間的對應關系拒絕域位置P-值檢驗的顯著性水平判斷標準原假設備擇假設雙側(cè)/2H0:0H1:0左單側(cè)H0:0H1:031六、假設檢驗的兩類錯誤顯著性檢驗中的第一類錯誤是指：原假設事實上正確，可是檢驗統(tǒng)計量的觀測值卻落入拒絕域，因而否定了本來正確的假設。這是棄真的錯誤。發(fā)生第一類錯誤的概率在雙側(cè)檢驗時是兩個尾部的拒絕域面積之和；在單側(cè)檢驗時是單側(cè)拒絕域的面積。32顯著性檢驗中的第二類錯誤是指：原假設事實上不正確，而檢驗統(tǒng)計量的觀測值卻落入了不能拒絕域，因而沒有否定本來不正確的原假設，這是取偽的錯誤。發(fā)生第二類錯誤的概率是把來自=1(10)的總體的樣本值代入檢驗統(tǒng)計量所得結(jié)果落入接受域的概率

11、。33根據(jù)不同的檢驗問題，對于和大小的選擇有不同的考慮。例如，在例6-1中，如果檢驗者站在賣方的立場上，他較為關心的是不要犯第一類錯誤，即不要發(fā)生產(chǎn)品本來合格卻被錯誤地拒收這樣的事情，這時， 要較小。反之，如果檢驗者站在買者的立場上，他關心的是不要把本來不合格的產(chǎn)品誤當作合格品收下，也就是說，最好不要犯第二類錯誤，因此， 要較小。34在樣本容量n不變的條件下，犯兩類錯誤的概率常常呈現(xiàn)反向的變化，要使和都同時減小，除非增加樣本的容量。為此，統(tǒng)計學家奈曼與皮爾遜提出了一個原則，即在控制犯第一類錯誤的概率情況下，盡量使犯第二類錯誤的概率小。在實際問題中，我們往往把要否定的陳述作為原假設，而把擬采納的

12、陳述本身作為備擇假設，只對犯第一類錯誤的概率加以限制，而不考慮犯第二類錯誤的概率 。35七、關于假設檢驗結(jié)論的理解這就是說在假設檢驗中，相對而言，當原假設被拒絕時，我們能夠以較大的把握肯定備擇假設的成立。而當原假設未被拒絕時，我們并不能認為原假設確實成立。 36注意：顯著性檢驗到底回答了什么樣的問題？顯著性檢驗只是回答了所觀察到的差異（樣本數(shù)據(jù)與我們對總體所作的推測之間的差異）是純屬于機會變異，還是反映了真實的差異？37不能企圖用顯著性檢驗回答其不能回答的問題（1）如果顯著性檢驗得到差異顯著的結(jié)論（觀察到的差異提供了較充分的證據(jù)表明差異真實存在），這時并不能評價差異的大小和重要性。38不能企圖

13、用顯著性檢驗回答其不能回答的問題（2）顯著性檢驗只能告訴我們差異是否在事實上存在，并不能回答差異產(chǎn)生的原因。（3）顯著性檢驗不能檢查我們對實驗所作的設計是否有缺陷。39第二節(jié) 總體均值為某定值的顯著性檢驗40注意：總體指在隨機試驗中所觀測的隨機變量?？傮w均值指的是隨機變量的期望值。41總體均值的顯著性檢驗包括：雙尾情況左單尾右單尾42如下就總體分布的不同情況總體方差是否已知的不同情況樣本大小的不同情況分別介紹檢驗統(tǒng)計量和檢驗規(guī)則。43（一）總體為正態(tài)分布，總體方差已知，樣本不論大小來自總體的樣本為(x1, x2, , xn)。對于假設：H0: = 0，在H0成立的前提下，有檢驗統(tǒng)計量 44（二

14、）總體分布未知，總體方差已知，大樣本 來自總體的樣本為(x1, x2, , xn)。對于假設：H0: = 0，在H0成立的前提下，如果樣本足夠大（n30），近似地有檢驗統(tǒng)計量 45（三）總體為正態(tài)分布，總體方差未知，小樣本來自總體的樣本為(x1, x2, , xn)。對于假設：H0: = 0，在H0成立的前提下，有檢驗統(tǒng)計量 若自由度(n-1)30，該t統(tǒng)計量近似服從標準正態(tài)分布。46例：已知初婚年齡服從正態(tài)分布。根據(jù)9個人的調(diào)查結(jié)果，樣本均值為 歲，樣本標準差s=3歲。問是否可以認為該地區(qū)初婚年齡數(shù)學期望已經(jīng)超過20歲（ ）47（四）總體分布未知，總體方差未知，大樣本來自總體的樣本為(x1, x2, , xn)。對于假設：H0: = 0，在H0成立的前提下，如果總體偏斜適度，且樣本足夠大，近似地有檢驗統(tǒng)計量48例6-5 某廠采用自動包裝機分裝產(chǎn)品，假定每包產(chǎn)品的重量服從正態(tài)分布，每包標準重量為1000克，某日隨機抽查9包，測得樣本平均重量為986克，樣本標準差是24克。試問在=0.05的顯著性水平上，能否認為這天自動包裝機工作正常？49解：第一步：確定原假設與備擇假設。H0: = 1000， H1: 1000第二步：構造出檢驗