研究生答辯文稿

1、一類非線性Klein-Gordon方程駐波的不穩(wěn)定性 導 師：答辯人：題目：答 辯 目 錄研究背景研究內容本文結論致 謝1. 研究背景 非線性偏微分方程是近些年來數學和物理學領域中最后科學家關注和研究的課題之一，非線性偏微分方程涵蓋的內容和研究面很廣，而且它為解決數學、物理學以及其他科學當中的很多實際問題提供了方法。偏微分方程反映了自然科學中如工程技術學、物理學等學科和社會科學如人口學、經濟學等學科中許多重要的變量關于時間、空間及其他各因素的變化規(guī)律。近幾十年來，由于物理學的飛速發(fā)展，不斷產生出了大量的非線性偏微分方程的問題。 早在1982年，Cazenave T.和Lions P.L.就討論

2、了一類非線性Schrodinger方程的駐波的軌道穩(wěn)定性，為以后的對非線性Schrodinger方程駐波的軌道穩(wěn)定性的研究奠定了基礎并且提供了方法。 目前關于非線性波動方程駐波穩(wěn)定性的研究方法大多是采用數學中常用的變分法和一個緊性引理得到方程具基態(tài)的駐波的存在性，而后確立初始值分別滿足什么條件時，方程的解的整體存在性與爆破性，最后證明具基態(tài)的駐波的穩(wěn)定或是不穩(wěn)定。相關的研究主要有： Soffer和Weinstein研究了一類非線性Klein-Gordon方程陳瑜芝討論了一類帶雙勢的非線性Klein-Gordon方程的柯西問題，證明了具基態(tài)的駐波的存在性與不穩(wěn)定性。，的駐波的不穩(wěn)定性； Huan

3、g Wenyi 和 Zhang Jian 討論了下面一類帶阻尼項的非線性Klein-Gordon方程得到了該方程的柯西問題的局部存在定理，以該文的研究為基礎，Gan Zaihui 和 Zhang Jian 討論了該方程中 時且 時的駐波的存在性與穩(wěn)定性。 本文的主要工作是：首先根據前人的研究和結論得到柯西問題的局部適定性，然后提出一個變分問題，利用變分法證明了方程的具基態(tài)的駐波的存在性。在第三章中，證明了初始值分別滿足何種條件時，柯西問題的解在有限時間內是爆破的和解在 上是整體存在的，在第四章中，最后證明了本文的主要結論，即方程的具基態(tài)的駐波的不穩(wěn)定性。2. 研究內容 在第二章中，首先定義了空間H1中的一個能量函數為接著給出了引理2.1也即所討論的柯西問題的局部適定性的結論。 為了證明本文的主要結論之一定理2.1，第二章中有下面3個引理：由定理2.1，可得出推論2.1-2.3.為證明本文的主要結論之二定理3.1，第三章中有下面3個引理：3.主要結論（1）利用變分法證明了非線性Klein-Gordon方程具基態(tài)的駐波 的存在性；（2）證明了初始值分別滿足何種條件時，非線性Klein-Gordon方程的柯西問題的解在有