研究生答辯文稿

1、一類非線性Klein-Gordon方程駐波的不穩(wěn)定性 導(dǎo) 師：答辯人：題目：答 辯 目 錄研究背景研究內(nèi)容本文結(jié)論致 謝1. 研究背景 非線性偏微分方程是近些年來數(shù)學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域中最后科學(xué)家關(guān)注和研究的課題之一，非線性偏微分方程涵蓋的內(nèi)容和研究面很廣，而且它為解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)以及其他科學(xué)當(dāng)中的很多實際問題提供了方法。偏微分方程反映了自然科學(xué)中如工程技術(shù)學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科和社會科學(xué)如人口學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科中許多重要的變量關(guān)于時間、空間及其他各因素的變化規(guī)律。近幾十年來，由于物理學(xué)的飛速發(fā)展，不斷產(chǎn)生出了大量的非線性偏微分方程的問題。 早在1982年，Cazenave T.和Lions P.L.就討論

2、了一類非線性Schrodinger方程的駐波的軌道穩(wěn)定性，為以后的對非線性Schrodinger方程駐波的軌道穩(wěn)定性的研究奠定了基礎(chǔ)并且提供了方法。 目前關(guān)于非線性波動方程駐波穩(wěn)定性的研究方法大多是采用數(shù)學(xué)中常用的變分法和一個緊性引理得到方程具基態(tài)的駐波的存在性，而后確立初始值分別滿足什么條件時，方程的解的整體存在性與爆破性，最后證明具基態(tài)的駐波的穩(wěn)定或是不穩(wěn)定。相關(guān)的研究主要有： Soffer和Weinstein研究了一類非線性Klein-Gordon方程陳瑜芝討論了一類帶雙勢的非線性Klein-Gordon方程的柯西問題，證明了具基態(tài)的駐波的存在性與不穩(wěn)定性。，的駐波的不穩(wěn)定性； Huan

3、g Wenyi 和 Zhang Jian 討論了下面一類帶阻尼項的非線性Klein-Gordon方程得到了該方程的柯西問題的局部存在定理，以該文的研究為基礎(chǔ)，Gan Zaihui 和 Zhang Jian 討論了該方程中 時且 時的駐波的存在性與穩(wěn)定性。 本文的主要工作是：首先根據(jù)前人的研究和結(jié)論得到柯西問題的局部適定性，然后提出一個變分問題，利用變分法證明了方程的具基態(tài)的駐波的存在性。在第三章中，證明了初始值分別滿足何種條件時，柯西問題的解在有限時間內(nèi)是爆破的和解在 上是整體存在的，在第四章中，最后證明了本文的主要結(jié)論，即方程的具基態(tài)的駐波的不穩(wěn)定性。2. 研究內(nèi)容 在第二章中，首先定義了空間H1中的一個能量函數(shù)為接著給出了引理2.1也即所討論的柯西問題的局部適定性的結(jié)論。 為了證明本文的主要結(jié)論之一定理2.1，第二章中有下面3個引理：由定理2.1，可得出推論2.1-2.3.為證明本文的主要結(jié)論之二定理3.1，第三章中有下面3個引理：3.主要結(jié)論（1）利用變分法證明了非線性Klein-Gordon方程具基態(tài)的駐波 的存在性；（2）證明了初始值分別滿足何種條件時，非線性Klein-Gordon方程的柯西問題的解在有