01-數(shù)據(jù)處理與試驗設計-2011-06

1、1 . 數(shù)學模型概述 現(xiàn)代科學技術發(fā)展的重要特征日益精確化、定量化數(shù)學已經(jīng)更深地滲透到各種科學技術領域如果一門學科不能用數(shù)學語言來準確描述，則不能稱其為一門科學-恩格斯數(shù)學模型從定量的角度去分析所遇到的實際問題，為解決實際問題提供一種數(shù)學方法。 武器的發(fā)展方向是大型化還是高精度? 三峽大壩能夠承受多大的攻擊強度? 大型飛機的安全性能? 為什么發(fā)射人造衛(wèi)星要用三級火箭? 需要建立數(shù)學模型加以論證，為決策者提供理論依據(jù)數(shù)據(jù)處理和試驗設計直接目的-建立數(shù)學模型最終目的(根本目的)-預測和控制模型、數(shù)學模型的概念、分類實際問題如何進行一些必要的簡化和假設建模-科研人員必備的素質運用數(shù)學工具得到-數(shù)學結

2、構，在通過數(shù)學上的結構揭示在實際問題中的含義數(shù)學模型在科技工程中的作用建模實例-說明建立數(shù)學模型的一般步驟和原理模型研究（個別直接研究真實對象）科學的發(fā)展是離不開數(shù)學的，數(shù)學模型在其中又起著重要的作用科學（自然科學+社會科學）研究觀察與觀測理論研究通過對模型的研究來闡明真實世界的客觀規(guī)律忽略一些次要因素的一種近似寫照牛頓-力學法(數(shù)學模型)用單純的數(shù)學式表示自然法則求解與實驗和觀測結果相比較科學的本質是數(shù)學物體機械運動的基本客觀規(guī)律牛頓三定律電路理論的基本規(guī)律基爾霍夫定律社會再生產(chǎn)的基本規(guī)律 I(V+m)IIc反映某一類現(xiàn)象客觀規(guī)律的數(shù)學式子就是這些現(xiàn)象的數(shù)學模型一個學科的內容能用數(shù)學來分析和

3、表示是該學科精密化和科學化的一種表現(xiàn)數(shù)學模型有效工具可以深刻地認識客現(xiàn)現(xiàn)象的本質預測和控制促進科學的發(fā)展地球上自然環(huán)境與人類社會和諧共存 隨著電子計算機的問世與發(fā)展，許多學科的計算分支都在迅速發(fā)展，如計算物理學、計算化學等分支的出現(xiàn)和發(fā)展，導致需要建立有關系統(tǒng)的數(shù)學模型。目前，在許多領域中，要對有關問題進行計算，必須先建立問題的數(shù)學模型，沒有數(shù)學模型，計算就不可能進行。也可以這樣認為：今天，沒有數(shù)學模型，許多基本的生產(chǎn)活動便無法進行，更不要說計算機的應用。 數(shù)學模型現(xiàn)在已越來越受到人們的重視，這不僅是因為數(shù)理等學科應用它，而且工程學等領域也視其為一種重要的方法。在工程學領域，以前認為實驗方法是

4、至高無尚的，但現(xiàn)在已把數(shù)學模型視為與實驗同等重要，甚至是更好的一種方法。隨著科學技術的進步，數(shù)學模型在工程技術上所起的作用也日益增大。 工程技術與數(shù)學模型 從設計上來看，要進行理論設計首先要建立生產(chǎn)過程正確的數(shù)學模型，否則會給設計以及生產(chǎn)帶來很大的損失。2002年初日本關閉了日本最大的核電站，其主要原因為發(fā)現(xiàn)設計時的數(shù)學模型存在重大缺陷，使得模擬計算結果的可靠程度不夠，不能承受地震等的沖擊而導致關閉?；瘜W工業(yè)中，需要通過建立模型、分析計算來決定設備的大小，原料的數(shù)量，調節(jié)溫度等問題。 在生產(chǎn)過程中，為了分析和改進生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題，采用先建立數(shù)學模型，然后在計算機上進行模擬計算的辦法來代替實驗，

5、可以節(jié)約較多的人力、財力和時間，還可以避免發(fā)生故障或危險，甚至完成實驗不可能完成的任務。 宇航載人艙返回地球時在高120千米的大氣層上空以11千米秒的速度開始，僅用30分種左右時間就回到地面，若用風洞來實驗，必須有極大的設備，這實際上無法實現(xiàn)，就只有用建立數(shù)學模型的方法來解決?，F(xiàn)代各種控制過程基本上都是建立在模型基礎上隨著科學技術日益發(fā)展，生產(chǎn)要求日益精確，在設計、控制生產(chǎn)等各個環(huán)節(jié)都越來越多地需要了解有關的數(shù)學模型。1.2 數(shù)學模型及其分類 在自然科學、工程技術和社會科學的許多領域中，定量的系統(tǒng)分析，系統(tǒng)綜合已受到人們更多的重視。模型是開展這些工作的有效工具，模型化則是開展這些工作的前提和基

6、礎。 一切客觀存在的事物及其運動形態(tài)統(tǒng)稱為實體，模型是對實體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或者抽象，而且往往是對實體中那些所要研究特定的特征定量的抽象，可以說，模型是把對象實體通過適當?shù)倪^濾，用適當?shù)谋憩F(xiàn)規(guī)則描繪出的簡潔的模仿品，通過這個模仿品，人們可以了解到所研究實體的本質，而且在形式上便于人們對實體進行分析和處理。模型的4個基本要求：目的性、清晰性、準確性、經(jīng)濟性建模（模型化）：把實體(對象)變?yōu)槟Ｐ偷倪^程模型（按表達形式分）實體模型符號模型實物模型(城市模型、作戰(zhàn)沙盤、船舶模型)模擬模型(地圖、電路圖) 模型（按表達形式分）實體模型(語言模型)符號模型數(shù)學模型結構模型仿真模型化學、音樂、美

7、術等學科的符號模型自然語言表達的直觀描述式模型數(shù)學模型是發(fā)展最快，內容最豐富、最受人偏愛的一種 數(shù)學模型：對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定目的，做出一些必要的簡化和假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具得到的一個數(shù)學結構。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，或者能預測對象的未來狀態(tài)，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。在這里，數(shù)學模型被看成是一個能實現(xiàn)某個特定目標的有用工具。從本質上說，數(shù)學模型是一個以“系統(tǒng)”概念為基礎的，關于現(xiàn)實世界的一小部分或幾個方面抽象的“映象”。數(shù)學模型的特征 1. 它是某事物為一種特殊目的而作的一個抽象化、簡單化的數(shù)學結構，這意味著揚棄、篩選，是舍棄次要因素，突出主要因素的主

8、要結果；是事物的一種模擬，雖源于現(xiàn)實，但非實際的原型，而又高于現(xiàn)實。2. 是數(shù)學上的抽象，在數(shù)值上可以作為公式應用，可以推廣到與原物相近的一類問題。3. 可以作為某事物的數(shù)學語言，可以譯成算法語言，編寫程序輸入計算機進行運算。通常所謂的處理事物和過程的模型化方法往往就是建立數(shù)學模型來處理過程數(shù)學模型分類(按數(shù)學模型的功能分）定量模型與定性模型（按數(shù)學模型的目的）理論研究模型、預期模型與優(yōu)化模型（按數(shù)學模型變量之間的關系可分）代數(shù)模型、幾何模型的和積分模型（按數(shù)學模型的結構可分）分析模型、非分析模型的和圖論模型（按數(shù)學模型所研究對象的特性）確定模型、隨機模型；靜態(tài)模型和動態(tài)模型；連續(xù)模型和離散模

9、型；線性模型和非線性模型（按數(shù)學模型所用的數(shù)學方法）初等模型，微分方程模型，優(yōu)化模型，控制論模型，邏輯模型，擴散模型（按數(shù)學模型研究對象的實際領域）人口模型，交通模型，生態(tài)模型，生理模型，經(jīng)濟模型，社會模型，工程系統(tǒng)模型按數(shù)學模型研究對象的了解程度可分為白箱模型，灰箱模型和黑箱模型 建模實例 例1.1 萬有引力定律歷史背景 15世紀下半葉，人類社會發(fā)展到了一個新階段，商品經(jīng)濟的繁榮促進了航海業(yè)的發(fā)展，哥倫布、麥哲倫，揚帆遠航，在強大的社會需要的推動下，天文觀測的精確程度不斷提高。在大量實際觀測數(shù)據(jù)面前，一直處于天文學統(tǒng)治地位的“地心說”開始動搖了，科學家對“地心說”開始產(chǎn)生了疑惑。哥白尼在天文

10、觀測的基礎上，沖破宗教統(tǒng)治和“地心說”的束縛，提出了“日心說”，這是天文學乃至整個科學的一大革命。但是由于歷史條件和科學水平的限制，他的理論尚有不少缺陷，如他認為行星繞太陽的運行軌道是圓形的。 丹麥天文學家第谷布拉赫(Tycho Brahe 15461601)對行星運動作了大量觀測，積累了20年的資料。他的助手開普勒分析研究了這些資料，運用數(shù)學工具，發(fā)現(xiàn)火星的實際位置與按照哥白尼理論計算的位置相差8弧分。在深入分析的基礎上，于1609年歸納出開普勒第一、二定律。為了尋求行星運動周期與軌道尺寸的關系，根據(jù)其老師大量而且非常精確的天文觀測資料，反復研究，終于在1619年發(fā)現(xiàn)了行星運行周期與到太陽距

11、離之間的關系開普勒第三定律，這就是天文學上至今仍然十分著名的開普勒三定律： 行星的軌道是一個橢圓，太陽位于其中一個焦點上 行星運行過程中，行星和太陽的連線在單位時間內掃過相等的面積 各行星公轉周期的平方同軌道長半軸的立方成正比 上述定律只是闡明行星的運動情況，但并沒有解釋為什么這樣運動。那么，是什么力量作用在行星上，使它的速度不斷改變并保持在橢圓軌道上運動呢? 牛頓認為一切運動都有其力學原因，開普勒三定律的背后必定有某個力學規(guī)律在起作用。他要構造一個模型加以解釋。他以微積分(當時稱流數(shù)法)為工具，在開普勒三定律和牛頓力學第二定律的基礎上，演繹出著名的萬有引力定律。這一定律成功地定量解釋了許多自

12、然現(xiàn)象，為其后一系列的觀測和實驗數(shù)據(jù)所證實，成為物理學中的一個基本定律。萬有引力定律的建立 過程qO(太陽)uruq圖1-1 極坐標系中的行星運行軌道qO(太陽)uruq圖1-1 極坐標系中的行星運行軌道基本假設 (1) 行星的軌道是一個橢圓，太陽位于其中一個焦點上，則其軌道方程為：raba為長半軸，b為短半軸，e為離心率 (2) 行星運行過程中，行星和太陽的連線在單位時間內掃過相等的面積：(3) 各行星公轉周期的平方同軌道長半軸的立方成正比 (4) 牛頓第二定律：太陽和行星間的作用力與加速度的方向一致，與的加速度大小成正比 以上假設中把所有的行星甚至太陽本身都當作質點來處理。這是進行數(shù)學表述

13、時所作的一種近似或理想化，因為行星、太陽的半徑比行星到太陽的距離小得多，因而這種近似是合理的。從這四條假設出發(fā)，推出了萬有引力定律：太陽與行星間作用力的方向是太陽和行星連線方向，指向太陽；大小與太陽行星間距離的平方成反比，比例系數(shù)是絕對常數(shù)。牛頓設想這種引力對地球與月球也適用，對任何兩塊物質都適用。這個大膽的設想立即引出了問題：物體的什么性質決定它對其他物體的引力呢?地球的什么性質決定地球對物體的引力常數(shù)地呢?又是什么決定太陽的引力常數(shù)呢？或許這常數(shù)取決于物體所含某一種新性質。如果引力是一切物體的一種性質，那就有理由假設常數(shù)等取決于物體所含的質量，最簡單的假設是與物體的質量成正比。于是假設：引

14、力常數(shù)G6.6710-11牛米2千克2 簡潔優(yōu)美的數(shù)學處理令人驚異，尤其是當這種理論與冗長乏味的觀察結果相比較時更是如此。不過，若沒有這種冗長乏味的觀察結果，能夠想象到這一強有力的定律嗎?顯然，這是不可能的。另外，若沒有當時新發(fā)明的微分技巧，也不可能作出上述的計算。“開普勒的全部推理的基礎是他最早所覺察到的速度與距離之間反比關系的重要性，這一反比關系乃是一種有朝一日會導致角動量守恒定律的先兆，正是上述預感，引導開普勒通過長達900頁的計算得到了比已有的任何理論都要優(yōu)越的一個行星理論，撇開機遇與幸運不說?開普勒取得成功的要素是：他認為事物是可知的那種信念；他對事業(yè)的獻身精神，這促使他作了4年時間

15、的推理和計算；他最初得到的預感的正確性，以及借助于這種正確預感從事物的千頭萬緒中理出頭緒的能力”(摘自1972年3月號Scientific American(VoL226，P92)。 從演算角度看到，為了達到我們的結論，“必須自始至終記住所得結果的物理解釋，并且要有十分純熟的運算技巧”。 從萬有引力定律產(chǎn)生的歷史中，還可得到另一啟迪，即進一步證明需要恰當?shù)挠^念，并且精通數(shù)學技巧。牛頓將他的定律應用于月球繞地球的運動上，以此來檢驗他的定律的正確性便是如此。 在正確假設的基礎上，運用數(shù)學的演繹方法建立模型，對自然科學的發(fā)展能夠發(fā)揮多么巨大的作用。2 發(fā)射衛(wèi)星為什么用三級火箭 發(fā)射衛(wèi)星為什么不用一級

16、火箭而必須用多級火箭?為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)?可以構造一個數(shù)學模型來加以論證。 火箭是一個復雜的系統(tǒng)，為了使問題簡單明了，這里只從動力系統(tǒng)及整體結構上分析，并假定引擎是足夠強大的。I為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星(1) 衛(wèi)星進入軌道，火箭所需的最低速度 將問題理想化，假設：(a) 衛(wèi)星軌道為過地球中心某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞地球作平面圓周運動。如圖1-2所示。(b) 地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球對衛(wèi)星引力忽略不計。 設地球半徑為R，中心為O，地球質量看成集中于球心(假設據(jù)地球為均勻球體)，曲線C為地球表面，C為衛(wèi)星軌道，其半徑為r，衛(wèi)星質量為m，據(jù)

17、牛頓萬有引力定律，地球對衛(wèi)星的引力為：距離地面高度Km1002004006008001000v0min kms7.867.807.697.587.477.37g=9.81ms2，R=6400km 衛(wèi)星離地面高度不同時所對應的最低速度應分別為： (2)火箭推進力及速度的分析火箭簡單模型是由一臺發(fā)動機和一個燃料倉組成，燃料燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭末端噴出，給火箭一個向前的推力?；鸺w行時要受重力與空氣阻力影響，且地球自轉與公轉，火箭升空后作曲線運動，為使問題簡化，仍將問題理想化。假設 火箭在噴氣推動下作直線運動，火箭重力及空氣阻力均不計這個質量的減少，是由于燃料燃燒噴出氣體所致。設噴出氣體相對于火箭

18、的速度為u(就某種燃料而言為常數(shù))，則氣體相對于地球運動速度為u(t)-u0。據(jù)動量守恒定律： 火箭所受推力等于燃料消耗速度與氣體相對于火箭運動速度的乘積 在v0和m0一定下，v(t)由噴發(fā)速度(相對于火箭)u及質量比決定。這為提高火箭速度找到了正確的途徑：提高u(從燃料上想法)，減少m(t)(從結構上想法)。質量比 v0v(0)，m0m(0) (3)一級火箭末速度上限(目前技術條件下) 火箭-衛(wèi)星系統(tǒng)的質量可分成三部分：mp(有效負載，如衛(wèi)星)mF(燃料質量) ms(結構質量，如外殼，燃料容器及推進器)m(t)= mp+mF+ms在發(fā)射一級火箭運載衛(wèi)星時，最終(燃料耗盡)質量為mp+ms，可

19、以得到末速度為(v00)：目前技術條件下限制： 假設： 根據(jù)現(xiàn)有技術條件和燃料性能，u只能達到3km/s，即使火箭不帶衛(wèi)星，也不計空氣阻力及火箭本身重量，取1/9，得： 因此，用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星，至少目前條件下無法達到在相應高度所需的速度。原因分析 火箭推進力在加速著整個火箭，其實際效益越來越低，最后幾乎是在加速著最終毫無用處的結構質量(包括空油箱)。所以，應該改進火箭設計。理想的火箭模型 理想的火箭模型應該是隨著燃料燃燒隨時拋棄無用的結構。 假設 t到t+t時間內，丟掉總質量為1(包括結構質量和燃料燃燒質量)，設丟棄結構質量為(01)，燃燒掉的質量為l-，即與(1-)按比例同時減少。一級

20、火箭 理想火箭 表明當m0足夠大，便可使衛(wèi)星達到我們所希望它具有的任意速度。例如，考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(按比例的粗略計算)要使v10.5km/s才行，如果取u=3km/s，=0.1，則可推出。即發(fā)射1噸重的衛(wèi)星大約需50噸重的理想火箭。 III、理想過程的實際逼近多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 理想火箭是設想把無用結構質量連續(xù)拋棄，顯然實際上辦不到，現(xiàn)用建造多級火箭系統(tǒng)辦法，來近似實現(xiàn)理想過程。記火箭級數(shù)為n。當?shù)趇級火箭燃料燒盡時，第i+1級火箭立即自動點火，并拋掉已經(jīng)無用的第i級。用mi表示第i級火箭質量(燃料與結構之和)，mp表示有效負載。 設各級火箭具有相同的，mi表示第i級結構質量，(

21、1-)mi為燃料質量。 噴氣相對速度u各級相同，燃燒級的初始質量與其負載質量之比保持不變，記比值為k。為簡單起見，先作如下假設：二級火箭 第一級火箭燃燒完時 第二級火箭燃燒完時m2=kmpm1=k(m2+mp)u3kms=0.1欲使將V2=10.5km/s，則k=11.2，從而有二級火箭 三級火箭 與二級火箭相比，在達到相同效果的情況下，三級火箭系統(tǒng)幾乎節(jié)省了一半，但是如果讓火箭級數(shù)再繼續(xù)增加，發(fā)射1噸重的衛(wèi)星，火箭系統(tǒng)的重量是否還能大幅度減少呢？n(級數(shù))12345(理想)火箭質(噸可見，用三級火箭代替二級火箭很值得，但用四級火箭代替三級火箭時，重量減輕不多，而實際

22、上，由于工藝的復雜性及每級火箭都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭不合算。故三級火箭的設計是最優(yōu)的。3 反應器中流動狀況的確定存在滯流區(qū)存在溝流存在短路 閉式系統(tǒng)系統(tǒng)進口出口 停留時間分布 年齡分布：對存留在系統(tǒng)的粒子而言，從進入系統(tǒng)算起在系統(tǒng)中停留的時間。 壽命分布：流體粒子從進入系統(tǒng)起到離開系統(tǒng)止，在系統(tǒng)內停留的時間。 停留時間分布理論的應用 對現(xiàn)有設備進行工況分析 建立合適的流動模型，進行非理想反應器的計算停留時間分布密度與分布函數(shù)停留時間分布概念的引入停留時間分布的測定實驗方法概述脈沖法： 簡單、示蹤劑用量少，可直接測出停留時間分布密度函數(shù)； 要求輸入理想脈沖。階躍法 操作容

23、易； 示蹤劑用量大，直接測出的是停留時間分布函數(shù)。 脈沖法 階躍法 周期輸入法 升階法降階法(“刺激-響應”或者“應答技術”)脈沖法輸入曲線響應（輸出）曲線c0(t)停留時間分布的測定M 為示蹤劑的加入量升階法主流體V0V系 統(tǒng)檢測器含示蹤劑的流體（C() ）c()c0(t)tt=00輸入曲線c()c(t)t0響應曲線降階法主流體VV系 統(tǒng)檢測器含示蹤劑的流體（C(0) ）0c(0)c0(t)tt=0輸入曲線0c(0)c(t)t響應曲線1. 活塞流模型理想反應器的停留時間分布t = 0tE(t)01.00所有物料質點的停留時間都相同且等于整個物料的平均停留時間全混流模型反應器的停留時間分布非理

24、想流動模型的停留時間分布軸向混合模型（擴散模型） 軸向混合模型是在平推流模型基礎上發(fā)展起來的，適用于返混程度較小的流動狀況。.模型要點）垂直于流動方向的每一個截面上，物料濃度均勻；）沿流動方向，具有相同的液體速度和擴散系數(shù)；）物料濃度沿流動方向連續(xù)變化；）模型參數(shù)z軸向混合模型適用于管式反應器、塔式反應器等。dlV0uuV0l=0l=Luc多級串聯(lián)全混流模型停留時間分布 模型參數(shù)實際反應器 流動模型 物料衡算 動力學方程物料的流動狀況介于平推流和全混流之間，為非理想流動，物料的微觀混合為完全混合，達到分子程度均勻。實際反應器的計算過程如下：2）由xAf計算VR非理想流動反應器的計算1）由VR計

25、算xAf建模的一般步驟和原則 理想的數(shù)學模型須是既能反映系統(tǒng)的全部重要特性，同時在數(shù)學上又易于處理，即它滿足：(1) 模型的可靠性 在允許的誤差范圍內，它能反映出該系統(tǒng)的有關特性的內在聯(lián)系。(2) 模型的適用性 它易于數(shù)學處理和計算。 一個實際問題往往是很復雜的，而影響它的因素總是很多的。如果想把它的全部影響因素(或特性)都反映到模型中來，這樣的模型很難甚至無法建立，即使能建立也是不可取的，因這樣的模型太復雜，很難進行數(shù)學處理和計算。但僅考慮易于數(shù)學處理，當然模型越簡單越好，不過這樣做又難于反映系統(tǒng)的有關主要特性。通常所建立的模型往往是這兩種互相矛盾要求的折衷處理。 建模是一種十分復雜的創(chuàng)造性勞動，現(xiàn)實世界中的事物形形色色，五花八門，不可能用一些條條框框規(guī)定出各種模型如何建立。建模的一般步驟和原則為:(1)模型準備 了解問題的實際背景，明確建模的目的。掌握研究對象的各種信息如數(shù)據(jù)資料等，并弄清對象的特征。為了做好準備，有時要求建模者作一番深入細致的調查研究，碰到問題要虛心向有關方面的專家能人請教，按模型的需要有目的地合理地收集所需數(shù)據(jù)。(2)模型假設 根據(jù)實際對象的特性和建模目的，在掌握必要資料