層次分析法及真題講解

1、層次分析法及真題講解一、層次分析法概述二、層次分析法的基本原理三、層次分析法的步驟和方法四、層次分析法在建模中的實(shí)例講解層次分析法建模一、層次分析法概述 層次分析法（AHP）是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家匹茨堡大學(xué)教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀(jì)70年代初，為美國(guó)國(guó)防部研究“根據(jù)各個(gè)工業(yè)部門對(duì)國(guó)家福利的貢獻(xiàn)大小而進(jìn)行電力分配”課題時(shí)，提出的一種層次權(quán)重決策分析方法。是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問(wèn)題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來(lái)，用決策者的經(jīng)驗(yàn)判斷各衡量目標(biāo)相對(duì)重要程度，并合理地給出每個(gè)決策方案的每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重，利用權(quán)重求出各方案的優(yōu)劣次序。二、層次分析法的基本原理 層次分

2、析法根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和要達(dá)到的總目標(biāo)，將問(wèn)題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關(guān)聯(lián)影響以及隸屬關(guān)系將因素按不同層次聚集組合，形成一個(gè)多層次的分析結(jié)構(gòu)模型，從而最終使問(wèn)題歸結(jié)為最低層(供決策的方案、措施等)相對(duì)于最高層(總目標(biāo))的相對(duì)重要權(quán)值的確定或相對(duì)優(yōu)劣次序的排定。 三、層次分析法的步驟和方法 運(yùn)用層次分析法構(gòu)造系統(tǒng)模型時(shí)，大體可以分為以下四個(gè)步驟： 1. 建立層次結(jié)構(gòu)模型 2. 構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣 3. 層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 4. 層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 1. 建立層次結(jié)構(gòu)模型 將決策的目標(biāo)、考慮的因素（決策準(zhǔn)則）和決策對(duì)象按它們之間的相互關(guān)系分為最高層、中間層和最低層，繪

3、出層次結(jié)構(gòu)圖。 最高層：決策的目的、要解決的問(wèn)題。 最低層：決策時(shí)的備選方案。 中間層：考慮的因素、決策的準(zhǔn)則。 對(duì)于相鄰的兩層，稱高層為目標(biāo)層，低層為因素層。 下面舉例說(shuō)明。 例1 高中生報(bào)志愿問(wèn)題 每年高考結(jié)束后，考生都會(huì)根據(jù)考分和自己的興趣愛(ài)好，有各自的選擇標(biāo)準(zhǔn)和要求。例如： 學(xué)校名聲（聲譽(yù)等） 專業(yè)排名 自己的興趣 生活環(huán)境（城市、氣候、學(xué)校軟硬件設(shè)施等）； 未來(lái)的發(fā)展前景； 可能的人際關(guān)系（人際關(guān)系和諧等） 學(xué)校選擇可供選擇的學(xué)校P1 P2 ， Pn 學(xué)校名聲專業(yè)排名個(gè)人興趣生活環(huán)境未來(lái)前景人際關(guān)系目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住

4、C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例2. 選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.2. 構(gòu)造判斷(成對(duì)比較)矩陣 在確定各層次各因素之間的權(quán)重時(shí)，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即：不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，以提高準(zhǔn)確度。心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)，即每層不要超過(guò)9個(gè)因素。判斷矩陣是表示本層所有因素針對(duì)上一層某一個(gè)因素的相對(duì)重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的19標(biāo)度方法給出。判斷矩陣元素aij的標(biāo)度方法標(biāo)度含義1表示兩個(gè)因素相比，具有同樣

5、重要性3表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素稍微重要5表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素明顯重要7表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素強(qiáng)烈重要9表示兩個(gè)因素相比，一個(gè)因素比另一個(gè)因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij 設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2, , Cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A成對(duì)比較陣A是正互反陣要由A確定C1, , Cn對(duì)O的權(quán)向量選擇旅游地目標(biāo)層O(選擇旅游地)準(zhǔn)則層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現(xiàn)上述成對(duì)比較矩陣有問(wèn)題 成對(duì)比較的不一致

6、情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況可作為一個(gè)排序向量成對(duì)比較滿足的正互反陣A稱一致陣。對(duì)于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對(duì)比較陣A， Saaty等人建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w ，即但允許范圍是多大？如何界定？3. 層次單排序及其一致性檢驗(yàn) 對(duì)應(yīng)于判斷矩陣最大特征根max的特征向量，經(jīng)歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。 W的元素為同一層次因素對(duì)于上一層次某因素相對(duì)重要性的排序權(quán)值，這一過(guò)程稱為層次單排序。 能否確認(rèn)層次單排序，需要進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，所謂一致性檢驗(yàn)是指對(duì)A確定不一致的允許范圍。 定義一致性指標(biāo):CI=0，有完全的一致性C

7、I接近于0，有滿意的一致性CI 越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 n1234567891110為衡量CI 的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo) RI。方法為Saaty的結(jié)果如下隨機(jī)一致性指標(biāo) RI則可得一致性指標(biāo) 隨機(jī)構(gòu)造500個(gè)成對(duì)比較矩陣 一般，當(dāng)一致性比率 的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，有滿意的一致性，通過(guò)一致性檢驗(yàn)?？捎闷錃w一化特征向量作為權(quán)向量，否則要重新構(gòu)造成對(duì)比較矩陣A，對(duì) aij 加以調(diào)整。時(shí)，認(rèn)為定義一致性比率 ：“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量

8、)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機(jī)一致性指標(biāo) RI=1.12 (查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算 精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要 簡(jiǎn)化計(jì)算的思路和法取列向量的算術(shù)平均列向量歸一化求行和歸一化精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.0104. 層次總排序及其一致性檢驗(yàn) 計(jì)算某一層次所有因素對(duì)于最高層(總目標(biāo))相對(duì)重要性的權(quán)值，稱為層次總排序。這一過(guò)程是從最高層次到最低層次依次進(jìn)行的。對(duì)總目標(biāo)Z的排序?yàn)榈膶哟螁闻判驗(yàn)榧?B 層第 i 個(gè)因素對(duì)總目標(biāo)的權(quán)

9、值為：（影響加和）層的層次總排序?yàn)椋築層的層次總排序AB層次總排序的一致性檢驗(yàn)設(shè) 層 對(duì) 上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標(biāo)為 ，隨機(jī)一致性指為 ，則層次總排序的一致性比率為：當(dāng) 時(shí)，認(rèn)為層次總排序通過(guò)一致性檢驗(yàn)。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調(diào)整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。 到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。旅游問(wèn)題(1)建模分別分別表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。 （2）構(gòu)造成對(duì)比較矩陣(3)計(jì)算層次單排序的權(quán)向量和一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較矩陣 的最大特征值表明 通過(guò)了一致性驗(yàn)證。故則該特征值對(duì)應(yīng)的歸一化特征向量第3層對(duì)

10、第2層的計(jì)算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58 (n=3), CIk 均可通過(guò)一致性檢驗(yàn) w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+ =0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為 (0.300, 0.246, 0.456)T可作為最后的決策依據(jù)。故最后的決策應(yīng)為去桂林。又 分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權(quán)重

11、排序?yàn)?009 ProblemsHigh School Mathematical Contest in Modeling (HiMCM)Problem A: Water, Water EverywhereFresh water is the limiting constraint for development in much of the United States. Devise an effective, feasible, and cost-efficient national water strategy for 2010 to meet the projected needs of

12、 the United States in 2025. In particular, address storage and movement, de-salinization, and conservation as some of the possible components of your strategy. Consider economic, physical, cultural, and environmental effects. Provide a position paper for the United States Congress outlining your app

13、roach, its costs, and why it is the best choice for the nation.2009 ProblemsHigh School Mathematical Contest in Modeling (HiMCM)Problem A: Water, Water EverywhereFresh water is the limiting constraint for development in much of the United States. Devise an effective, feasible, and cost-efficient nat

14、ional water strategy for 2010 to meet the projected needs of the United States in 2025. In particular, address storage and movement, de-salinization, and conservation as some of the possible components of your strategy. Consider economic, physical, cultural, and environmental effects. Provide a posi

15、tion paper for the United States Congress outlining your approach, its costs, and why it is the best choice for the nation.Regression Models of water use in the United States Thus, we have chosen 22 states as representation of fresh water use in each region, including Alabama, Arizona, California, F

16、lorida, Georgia, Idaho, Illinois, Iowa, Kansas, Massachusetts, Missouri, Montana, New Hampshire, New York, North Dakota, Oklahoma, Tennessee, Texas, Utah, Virginia, Washington, and Wisconsin. We obtained the state-level fresh water use data (1955-2005) from ESTIMATED USE OF WATER IN THE UNITED STATE

17、S IN 1955 (1960, 1965, 1970, 1975, 1980, 1985, 1990, 1995, 2000, 2005) published by U.S. Department of the Interior and U.S. Geological Survey as US GEOLOGICAL SURVEY CIRCULAR 398, 456, 556, 676, 765, 1001, 1004, 1200, 1268, 1344 3. Conservation, Efficiency, and Markets 3.1 Water Transfer Water use

18、level High water use and low water storage leads to low water storage level. Consequently, Water problems mostly occur in states with low total water level. Modeling- Min Spanning Tree (MST) 最短路徑5308From our grading result and Figure, we can infer that western US faces serious water challenge while

19、the central US have surplus water storage. The Eastern states, though confronted with water shortage to some degree, are generally self-sufficient without large-scale water transfer. 1) North-eastern US (chiefly NEW HAMPSHIRE，MASSACHUSETTS, NEW YORK) 2 )South-eastern US（chiefly ALABAMA, GEORGIA, FLORIDA ） 3) Southern US(chiefly TEXAS(E) TEXAS(W) What is worth noting is that