線性代數(shù)和解析幾何曲面以及其方程

1、關(guān)于線性代數(shù)與解析幾何曲面及其方程第一張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例解1. 球面及其方程P(x0,y0,z0)rP(x, y, z)第二張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月觀察柱面的形成過程:定義 在空間中，由平行于定直線并沿定曲線移動的一族直線所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.母線準(zhǔn)線2、柱面及其方程第三張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月且有從(2)(3)中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以(1)為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X,Y,Z的柱面的方程.如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上一點，則過點 M1的母線方程為設(shè)柱面的準(zhǔn)

2、線為準(zhǔn)線母線MM1母線的方向數(shù)為X,Y,Z. 試建立這柱面的方程.第四張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 柱面的準(zhǔn)線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程.解：設(shè)M1(x1，y1，z1)是準(zhǔn)線上的一點，那么過M1(x1, y1, z1)的母線為且第五張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所以令(4)=t,得將(7)代(5)、(6)得由(8)、(9)得第六張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.1 方程F (x, y) =0 表示:2 方程F (x, z) =0 表示:3 方程F (y, z) =0 表示:母線平行于 z 軸的柱面, 準(zhǔn)

3、線為xoy面上的曲線C: F (x, y) = 0.母線平行于 y 軸的柱面, 準(zhǔn)線為xoz面上的曲線C: F (x, z) = 0.母線平行于 x 軸的柱面, 準(zhǔn)線為yoz面上的曲線C: F (y, z) = 0.第七張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月abzxyo橢圓柱面第八張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月yxz= 0zo 雙曲柱面第九張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月zxyo拋物柱面第十張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 旋轉(zhuǎn)面及其方程lC第十一張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月.Sl 定義 在空間，一條曲線 C 繞著定直線 l 旋轉(zhuǎn)一周所生成

4、的 曲面 S 稱為旋轉(zhuǎn)面（或回轉(zhuǎn)曲面） C 稱為旋轉(zhuǎn)面的母線， l 稱為旋轉(zhuǎn)面的旋轉(zhuǎn)軸. 3. 旋轉(zhuǎn)面及其方程C第十二張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月生活中見過旋轉(zhuǎn)曲面嗎？第十三張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月緯圓 以旋轉(zhuǎn)軸 l 為邊界的半平面與旋轉(zhuǎn)面的交線稱為旋轉(zhuǎn)面的經(jīng)線.說明：緯圓也可看作垂直于旋轉(zhuǎn)軸 l 的平面與旋轉(zhuǎn)面的交線S旋轉(zhuǎn)曲面的有關(guān)概念 母線上任意一點繞旋轉(zhuǎn)軸 l 旋轉(zhuǎn)的軌跡是一個圓，稱為旋轉(zhuǎn)面 的緯圓或緯線。 任一經(jīng)線都可以作為母線，但母線不一定是經(jīng)線。 經(jīng)線和母線一樣嗎？lM經(jīng)線滿足什么條件母線就是經(jīng)線？旋轉(zhuǎn)

5、曲面也可看作經(jīng)線繞軸旋轉(zhuǎn)生成C第十五張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月旋轉(zhuǎn)曲面的方程（直角坐標(biāo)系）設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線1 旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程旋轉(zhuǎn)軸為直線分析：lM1S旋轉(zhuǎn)曲面又可看作以軸 l 為連心線的一族緯圓生成的曲面當(dāng)M1遍歷整個母線 時，得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，這些緯圓生成旋轉(zhuǎn)曲面. 第十六張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月注： 寫出這母線上任意一點 的緯圓方程， 寫出參數(shù) 的約束條件， 消去參數(shù)得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程（或柱面、錐面的方程）。lM1S第十七張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 求直線 繞直線 旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn) 曲面的方程。母線不是經(jīng)線注：為方便，今后將取

6、旋轉(zhuǎn)曲面的某一條經(jīng)線作為它的母線.單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面第十八張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解（兩直線為異面直線），設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線L1上的任意點，因為旋轉(zhuǎn)軸L2通過原點，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0.第十九張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面： 已知yoz面上一條曲線C , 方程為 F(y, z) = 0, x=0, 曲線C 繞 z 軸 旋轉(zhuǎn)一周就得一個旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)

7、M1(0, y1, z1)是C 上任意一點, 則有F( y1, z1) = 0當(dāng) C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M (x, y, z)時, 有且 F( y1, z1) = 0.第二十張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:思考題：xoy面上的一條曲線 C ，F(xiàn)(x,y)=0, z=0分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面的方程各為什么？第二十一張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月規(guī)律： 當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C 繞此坐標(biāo)平面的一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。第二十二張

8、，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解 :應(yīng)該先建立母線的方程圓錐面方程例：直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面兩直線的交點叫圓錐面的頂點，兩直線的夾角 叫圓錐面的半頂角試建立頂點在坐標(biāo)原點，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為 的圓錐面方程第二十三張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月旋轉(zhuǎn)橢球面zxyzxy例2：將橢圓 分別繞長軸（即x軸）與短軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。第二十四張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 xyoz xoz叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面y例3 :(1)將雙曲線 第二十五張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月axzoz.xy第二十六張，PPT

9、共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 （2）將曲線 叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面yzoxyzox繞實軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為第二十七張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月旋轉(zhuǎn)拋物面xyzox例4：將拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為yzo第二十八張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例5、將圓繞Z 軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面.第二十九張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月zyoab繞 z軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面將圓第三十張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月xzyo.第三十

10、一張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月x.生活中見過這個曲面嗎？zyo.第三十二張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月救生圈.第三十三張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 準(zhǔn)線母線頂點 x0z y錐面及其方程定義 在空間，通過一定點且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。母線A錐面的準(zhǔn)線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的準(zhǔn)線.第三十四張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)錐面的準(zhǔn)線為設(shè)點M1(x1,y1,z1)為錐面準(zhǔn)線上任一點，則錐面過點M1的母線為：頂點為A(x0, y0, z0

11、)，試建立錐面的方程.且有F1(x1, y1, z 1)=0,F2(x1, y1, z1)=0消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x, y, z)=0準(zhǔn)線母線母線x0z yMM1A第三十五張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1、求頂點在原點，準(zhǔn)線為的錐面的方程。答：（二次錐面）同理分別表示錐面。第三十六張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解： 設(shè)M(x,y,z)為任一母線上的點， 那么過M點的母線的方向向量為軸線的方向向量為根據(jù)題意有M得例2：已知圓錐面的頂點A(1,2,3),軸垂直于平面母線與軸組成300角,試求這圓錐面的方程. A第三十七張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022

12、年6月空間曲線及其方程設(shè)空間曲線L的一般方程消去一個變量后得方程任取其中的兩個聯(lián)立，如它也表示同一條曲線L.第三十八張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月以曲線L為準(zhǔn)線, 母線平行于z 軸(即垂直xOy面)的柱面叫做曲線L關(guān)于xOy面的投影柱面, 投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線在xOy面上的投影曲線, 或簡稱投影. 所以方程組所表示的曲線叫做空間曲線L在xOy面上的投影.注: 同理可得曲線在yOz面或xOz面上的投影曲線方程.第三十九張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月Lyz x0例如從分別消去y及z，得第四十張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月由空間曲線 C 的方程 消

13、去 z 后得到(母線平行 z 軸的柱面).例第四十一張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月解在 xOy 面上的投影為例 求曲線在 xOy 面上的投影.第四十二張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例 設(shè)一個立體由上半球面 和錐面所圍成, 求它在xoy面上的投影.解: 半球面與錐面的交線為由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1yxzOx2 + y2 1這是一個母線平行于z 軸的圓柱面.于是交線C 在xoy 面上的投影曲線為這是xoy面上的一個圓.所以, 所求立體在xoy面上的投影為: x2 + y2 1第四十三張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月空間曲線 C 的參數(shù)方程例曲

14、線 C 的參數(shù)方程為空間曲線的參數(shù)方程第四十四張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 圓柱螺線 第四十五張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月6.4 二次曲面 1、橢球面 2、二次曲面 3、單葉雙曲面 4、雙葉雙曲面 5、橢圓拋物面 6、雙曲拋物面 7、二次方程的化簡 第四十六張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月二次曲面的定義：三元二次方程討論二次曲面性狀的平面截痕法： 1、對稱性，2、曲面的范圍，3、主截線，即用坐標(biāo)面截曲面的截線，4、平行截線，即和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截的截線，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次

15、曲面所表示的曲面稱之為二次曲面ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0第四十七張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月橢球面定義 在直角坐標(biāo)系下，由方程所表示的曲面叫做橢球面，其中a, b, c都為任意的正常數(shù)。方程叫做橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.1、對稱性 曲面關(guān)于三坐標(biāo)面，三坐標(biāo)軸，原點對稱。頂點（a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)xzyO第四十八張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 3、主截線 用平面z = 0, y=0, x=0分別去截割橢球面, 得橢圓，它們的方程分別為 由方程可知 x2a2,

16、 y2b2, z2c2 , |x|a, |y| b, |z| c,也就是曲面在由六個平面x=a, y=b, z=c組成的長方體內(nèi)。2、范圍 Oxyz第四十九張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月zoxyO 用平面z = h去截割(要求 |h | c), 得橢圓當(dāng) |h | c 時, |h|越大, 橢圓越小;4、平行截線 頂點在橢圓(2)上，第五十張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月zoxyO 用平面z = h去截割(要求 |h | c), 得橢圓當(dāng) |h | c 時, |h|越大, 橢圓越小;當(dāng) |h | = c 時, 橢圓退縮成點.4、平行截線 頂點在橢圓（3）上，第五十一張，PP

17、T共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月特別: 當(dāng)a=b=c時, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原點o, 半徑為a的球面.當(dāng)a=bc時，或a=cb,或ab=c時為旋轉(zhuǎn)橢球面.橢球面的參數(shù)方程球面的參數(shù)方程第五十二張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例：已知橢球面試求過x軸并與曲面的交線是圓的平面。解：圓的方程為圓的方程為（1）與（2）等價，得所求平面的方程為第五十三張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所表示的曲面叫做單葉雙曲面，其中a, b, c都為正常數(shù)，叫做單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程。 單葉雙曲面定義 在直角坐標(biāo)系下，由方程 （1）對稱性 曲面關(guān)于三坐標(biāo)面，三坐標(biāo)軸

18、，原點對稱。頂點（a,0,0）與（0, b,0)oxyz第五十四張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 xyoz(2) 主截線用三個坐標(biāo)平面z=0，y=0，x=0分別截曲面的交線方程分別為第五十五張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 用一組平行平面 （h為任意實數(shù)） 與曲面相交 ，其交線為橢圓.(3) 平行截線頂點與 xyoz在（2）上，在（3）上，第五十六張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月實軸與x 軸平行,虛軸與 z 軸平行，頂點在腰橢圓（1）上。實軸與z 軸平行,虛軸與 x 軸平行，頂點在雙曲線（3）上. xyoz用平行于xoz面的平面y=h截割單葉雙曲面, 其截線方程為

19、：當(dāng)|h|b時表示雙曲線第五十七張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月截痕為一對相交于點 的直線.同理用平行于yoz面的平面x=h截曲面其截線與（3）中的b類似。 xyoz截痕為一對相交于點 z的直線第五十八張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月單葉雙曲面圖形在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用是什么？當(dāng)a=b時，方程方程與各表示什么圖形？表示旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。第五十九張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所表示的曲面叫做雙葉雙曲面， 雙葉雙曲面定義：在直角坐標(biāo)系下，由方程其中a, b, c都為正常數(shù)，叫做雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1) 對稱性 曲面關(guān)于三坐標(biāo)面，三坐標(biāo)軸，原點對稱.頂點（0, 0, c

20、）(2) 主截線用兩個坐標(biāo)平面y=0，x=0分別截曲面的交線方程分別為xyzo第六十張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月與都表示雙曲線.xyo(3) 平行截線a 、用平面z=h(|h|c)來截曲面，其截線方程為表示橢圓，頂點在（6）上，在（7）上.第六十一張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 xyob、用平行于xoz面的平面y=h(h0）時，其截線為雙曲線,方程為:方程與都表示雙葉雙曲面。實軸與z軸平行，虛軸與x軸平行，頂點在（6）上橢球面，單葉雙曲面，雙葉雙曲面它們的方程可以統(tǒng)一嗎？z第六十二張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例：用一組平行平面z=h(h為任意實數(shù)），截割

21、單葉雙曲面得一族橢圓，求這些橢圓焦點的軌跡方程.解：這一族橢圓的方程為即第六十三張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月因ab, 從而橢圓焦點軌跡方程為消去參數(shù)得第六十四張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 單葉：雙葉：.yx zo 在平面上，雙曲線有漸近線。相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面有漸近錐面。 用z=h去截它們，當(dāng)|h|無限增大時，雙曲面的截口橢圓與它的漸近錐面 的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。漸進(jìn)錐面：雙曲面及其漸近錐面第六十五張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月表示的曲面叫做橢圓拋物面，其中a, b 都為任意正常數(shù), 為橢圓拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程.原點也叫橢圓拋

22、物面的頂點. 橢圓拋物面定義 在直角坐標(biāo)系下，由方程(1) 對稱性曲面關(guān)于xoz,yoz坐標(biāo)面，z軸對稱.（2） 主截線用坐標(biāo)面y=0及x=0截曲面，其截線方程分別為zxyo第六十六張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月xyzo（3） 平行截線a 、用平面z=h(h0)來截曲面，其截線總是橢圓頂點在（1）上，在（2）上，第六十七張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月b 、用平行于xoz面的平面 截割橢圓拋物面得交線為拋物線.它的軸平行于 z 軸 xyzo頂點在主拋物線(2)上.第六十八張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月xyzo（4）與（1）全等.c 、用平行與坐標(biāo)yoz(x=0)的平面x=t均可得拋物線.第六十九張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形開口與x或y軸一致時方程是啥？第七十張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月特殊地：當(dāng)a=b 時，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由xoz 面上的拋物線 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）第七十一張，PPT共八十一頁，創(chuàng)作于2022年6月所表示的曲面叫做雙曲拋物面（馬鞍面），其中a, b都為任意的正常數(shù)，為橢圓拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程。雙曲拋物面定義：在直角坐標(biāo)系下