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文檔簡介
1、線性分析第二章 單變量回歸絆第二章 單變班量回歸八所謂回歸分析(敗regress凹ion ana拔lysis),藹就是弄清楚兩個襖或兩個以上變量百之間的因果關(guān)系骯的統(tǒng)計手法,是擺計量經(jīng)濟學(xué)中經(jīng)捌常應(yīng)用的方法。鞍我們也可以認為拔計量經(jīng)濟學(xué)的目扒的就是為了改進柏回歸分析。伴本章的對象:按單扮變量的回歸模型罷主要內(nèi)容:古典愛正規(guī)線性回歸模俺型的假定;鞍 般 最小二乘矮回歸模型(Or百dinary 班l(xiāng)east-s拜quares 笆regress翱ion扳 model,昂 OLS)的重跋要結(jié)果;扮古典正規(guī)線性回芭歸模型昂1-1 回歸分奧析哀(1) 唉現(xiàn)在扮把兩個變量埃和鞍之間的關(guān)系,用靶一次函數(shù)的形式
2、板表示。具體,疤這樣的模型稱板為頒單癌變量回歸模型。巴其中,班是代表原因(c傲ause)的變案量,我們稱之為懊說明變量(ex骯planato哎ry vari叭able),或跋者稱之為獨立變胺量(indep鞍endent 百variabl霸e);阿 板是代表結(jié)果(r礙esult)的靶變量,我們稱之按為被說明變量(盎explain伴ed vari氨able),或頒從屬變量(de昂pendent耙 variab隘le);伴 扮是誤差項(er艾ror ter翱m),或叫作攪艾亂項(伴dist昂urbance邦 term),埃代表不能用艾的變化來反應(yīng)出啊的敖的變化的那個部安分。也就是現(xiàn)實辦的笆與理論的岸
3、之間的差異。挨為什么需要加入佰誤差項呢?凹因為精確的數(shù)學(xué)板模型能解釋的現(xiàn)氨象很少;現(xiàn)在能巴解釋經(jīng)濟現(xiàn)象的襖手法大家更喜歡啊用隨機變量來表爸示經(jīng)濟變量的不邦確性;隘 回歸分析的目的矮主要目的是估計矮參數(shù)氨和耙以及百以及對估計值進隘行顯著性檢驗。版 最常扒用的方法是最小跋2乘法(Ord哀inary L版east Sq疤uare me壩tho藹d,岸 翱OLS)笆1-2 5個安基本假定哎A. 古典正規(guī)癌線性回歸模型有胺以下五個假設(shè):頒(1) 誤差項白的平均為0,即芭;絆誤差項挨之間不相關(guān),即白,或藹;翱誤差項具有相同百的方差斑,其中柏是未知;擺說明變量藹是可以指定的,百也就是說壩不是確率變量;氨誤差
4、項服從正規(guī)爸分布。擺B. 下面我們懊詳細說明上述的爸五個假定。敗B-1假定(1拔)哀誤差項拜代表說明變量阿以外其他的對被百說明變量胺產(chǎn)生影響因素的拜總和。其中的任伴何一個構(gòu)成因素挨都不可能對被說隘明變量產(chǎn)生連續(xù)藹的影響,而它們鞍總體有時候?qū)Ρ灰\說明變量產(chǎn)生正皚的影響,有時候愛產(chǎn)生負的影響,鞍但是就平均程度伴而言是0。熬這種假定意味著俺被說明變量愛的平均是由瓣的大小決定,而昂誤差項不會對被巴解釋變量產(chǎn)生一奧種系統(tǒng)的影響,皚也就是與誤差項懊無關(guān)。拜把說明變量壩分成兩個部分:靶和半。其中,罷是可以人為指定稗的,稱為系統(tǒng)部百分;誤差項扒是個確率變量,翱稱頒為非系統(tǒng)部分;頒就是不可預(yù)知部阿分,它決定被說
5、氨明變量敗也是個隨機變量芭。罷被說明變量和誤把差項具同樣的分拔布。案如果這種假設(shè)不盎成立,也就是說俺,有一個系統(tǒng)因藹素拌,本應(yīng)該出現(xiàn)在柏系統(tǒng)部分里,卻襖人為地把它放在奧非系統(tǒng)部分中,版那樣會帶來什么芭樣的后果呢?凹先看看原來的誤百差項暗。如前面所述的柏那樣,邦依舊假設(shè)霸是一個平均為0澳的隨機變量?,F(xiàn)般在,犯了定義上矮的錯誤,把應(yīng)該皚放在系統(tǒng)說明部按分中的說明變量啊,歸類到誤差項班中,即熬,其中唉是一個均值為0鞍的隨機變量。這礙時,伴就不再是一個均懊值為0的隨機變瓣量。被說明變量擺的平均也不再只瓣由阿的大小決定,還背要受到奧中阿的大小的影響。哎這種錯誤是在建哎模階段發(fā)生的錯半誤。翱不能簡單地從檢
6、捌驗假說(1)的芭成立與否來判斷罷這類錯誤的有無昂。原因是無論模百型的建立是否正板確,最小二乘殘阿差霸的總和永遠為0斑,即案,所以從作為誤芭差項哀的估計值的笆的平均,把是不能判斷假說拌(1)的正確與案否。搬B-2. 假設(shè)芭(2) -襖- 各期的誤差把項叭之間不相關(guān),即 襖先介紹一下什么邦是自己相關(guān)。案假如疤代表任何時點,拔相應(yīng)的誤差項暗。如果把是正的時候,翱更傾向于得到正板的值,這種情稗況,拔稱案之間存在正的相擺關(guān);反之,當(dāng)百為正的時候,埃傾向于小于0霸的情況,稱扮為負相關(guān)。盎假設(shè)(4)闡述般那樣,說明變量昂不是隨機變量,稗所以誤差項按是一個隨機變量昂,被說明變量盎因此也成為一個佰隨機變量。如
7、果絆是一個自己相關(guān)藹的隨機變量的話澳,相應(yīng)的芭也成為一個自己柏相關(guān)的隨機變量盎。皚雖然自己不相關(guān)懊這一假說是一個凹非常強的假設(shè),哎在現(xiàn)實中很難得拔到滿足,但是在懊理論研究上具有懊很好的性質(zhì),比耙如使用方便等,氨同時也可以把結(jié)瓣果發(fā)展到自己相扒關(guān)的狀況下,所靶以這個假設(shè)還是罷很重要的。扮對于自己相關(guān)的氨處理方法,挨將在自己相關(guān)那瓣一章中作具體介頒紹。敖B-3. 假設(shè)啊(3) -白- 誤差項具有岸相同的方差氨,其中般是未知。懊首先介紹一下均頒一方差。斑對于所有的誤差氨項澳來說,它們都具佰有相同的方差的邦時候,半服從均一方差分芭布;當(dāng)各時點誤柏差項的方差不相骯同的時候,服從礙異方差分布。挨被說明變量
8、岸與誤差項襖具有相同的隨機版性質(zhì),所以當(dāng)版服從于均一方差白分布的時候,被皚說明變量襖也服從于均一方矮差分布;反之,拌當(dāng)板不服從于均一方伴差分布的時候,敖被說明變量昂也服從于異方差矮分布。哎關(guān)于這一假設(shè)部壩成立的情況,捌會在異方差中詳扮細說明。捌B-4假設(shè)(4稗) - 唉說明變量藹是可以指定的,靶也就是說絆不是隨機變量。啊所謂指定變量,鞍就是意味著俺可以人為地給定翱一個皚的水平,叭可以觀察相應(yīng)的哎的水平。雖然說奧明變量懊是可以控制的,伴但是其他不可以岸控制的影響疤被說明變量的因礙素是隨機變動的岸,所以被說明變靶量是確率變量。巴這里熬反復(fù)強調(diào)說明變盎量瓣是指定變量,宗笆旨無非是想表明版說明變量伴不
9、是確率變量,艾也就是說不是隨壩機變動的,壩的決定機制和誤柏差項的決定機制熬是完全不同的,癌它們是獨立的,癌這就是這條假設(shè)擺的目的藹。擺在自然科學(xué)領(lǐng)域案,說明變量的水阿平是可以控制的愛,例如,肥料的敗投入量與收成關(guān)懊系的研究中,肥跋料的投入量是可暗以人為控制的。拌但是在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)頒域里,這種人為背的控制是不可能傲的。例如給出不白同的收入水平,案也不可能策劃出疤家庭消費,因為敖從被調(diào)查家庭這愛個母集團中,隨敖機抽取家庭樣本暗時,導(dǎo)致家庭的按收入水平這一說俺明變量就變得不背可以控制。叭還可以把假設(shè)(半4)放松到說明耙變量伴是確率變量,但辦是傲要與誤暗差項獨立。這種靶情況下,在本章版中所展開的討論挨仍然
10、是有效的,爸只是案可以把確率說明鞍變量氨理解為一種條件安觀察值。八B-5 假設(shè)(氨5) 誤差項服跋從正規(guī)分布。哀這里罷定義誤差項阿是影響被說明變昂量愛的系統(tǒng)因素八以外非系統(tǒng)因素案的總和。即,安當(dāng)k是一個比較敖大的數(shù)字,凹相互獨立,而且艾每一個鞍對誤差項的影響扳是非常微小的。白這種情況下,斑根據(jù)中心極限定半理可以假定誤差柏項服從正規(guī)分布暗。翱誤差項服從正規(guī)頒分布與否,和假暗說(1)同樣,盎是在建立理論模板型的時候需要慎疤重考慮的。扳2。最小二乘法絆的幾個重要結(jié)果八2.1 最小二懊乘回歸有以下四案個重要結(jié)果:(1). (2). (3). (4). 哎2.2 結(jié)果傲的意義結(jié)果(1). 斑這個結(jié)果說明
11、最白小二乘殘差的總挨和一定是0。這鞍個結(jié)果同理論模盎型的好與壞,前埃面提及的假說(岸1)正確與否都拔無關(guān),永遠成立岸。對每一個殘差拜項拜而言,一般來說拔它不一定是0,拔我們由搬(因為殘差項瓣使不可觀察的,盎這里我們?yōu)榱藦妸W調(diào)特意寫成安代表殘差項八的推導(dǎo)過程),隘當(dāng)扮過大地估計佰的時候,殘差項骯就是負的;當(dāng)柏過小地估計版的時候,殘差項扒就大于0。但是百總和永遠為0。鞍表明唉被說明變量的觀扮察值的總和與估胺計值的總和永遠百是相等的,即壩,也就是說它們敖的樣本平均值也隘是一致的,敖。埃有時候會出現(xiàn)芭,那更多的是因把為計算中的誤差扳所至,而不是否扒認辦這一結(jié)果。結(jié)果(2). 襖由結(jié)果巴,伴很容易地得到
12、伴,從而得到伴,很顯然,當(dāng)壩的時候,就有阿。爸而殘差項八與說明變量暗的樣本相關(guān)系數(shù)爸當(dāng)?shù)K,意味著爸與稗之間是線性無關(guān)扳,即岸。百同樣的跋道理,愛可以有背得出八與半之間是線性無關(guān)耙,即霸。挨結(jié)果(3). 挨 瓣,稱岸為全變動,反映耙被說明變量在樣熬本平均周圍的變佰化程度,瓣,稱辦為回歸模型可以安說明的變動,反稗映被說明變量的矮估計值在樣本平岸均周圍的變化程白度,阿,稱按為回歸模型不能藹說明的變化部分罷。絆結(jié)果(4). 搬 翱我們利用這個結(jié)癌果,可以簡單地芭求出澳。岸2.3 結(jié)果挨的證明證明(1). 證明(2). 氨證明(3). 般 伴證明(4). 罷 般最小二乘估計量埃的性質(zhì)板一氨的均值是無偏估
13、哎計 , ; 扳 版 岸 耙 兩邊取均值,阿有百 靶 佰,襖 芭 這表明罷是八的無偏估計量。跋 百 對于般,笆。二的方差敖做的五個假設(shè)中昂假設(shè)服從于正態(tài)凹分布,所以瓣只要知道跋,的均值,方差暗和協(xié)方差,把就完全知道敖的所有統(tǒng)計特性唉。背 根據(jù)方百差的定義奧,把代入,得到;對于,有;再計算協(xié)方差,。耙三 Gaus隘s-Marko安v高斯-馬爾可鞍夫定理骯對于古典線性回瓣歸模型,普通最襖小二乘估計量是扮最佳線性無偏估岸計量(BLUE唉)。,擺是樣本的線性函拔數(shù),所以佰是線性估計量。般下面安證明疤的方差最小。敖設(shè)昂的任一線性估計板量為跋,則扒只有當(dāng)絆的時候,盎才是半的無偏估計量。;作個變換, 半第三
14、節(jié) 擬合優(yōu)懊度的測度概念捌擬合優(yōu)度是指兩辦個變量之間關(guān)系岸強度的測度。Y的變差的組成 暗三擬合優(yōu)度的柏測度阿3.1 決定般系數(shù)扳在全變動中,只捌有昂是回歸模型可以笆說明,所以判斷靶一個理論模型按具有多少說明力頒,用挨決定系數(shù)的敖,(ESS: 癌explain叭ed sum 佰of squa耙res;TSS凹: total般 sum of傲 square襖s; RSS:班residur敗al sum 霸of squa骯res辦)來度量,或者按用盎相關(guān)系數(shù);爸來度量。氨的取值范圍在-白1到+1之間,耙其絕對值越接近傲于1,表明被說唉明變量與說明變八量的線性相關(guān)程敗度越強,當(dāng)按的時候,暗稱被說明變量
15、與安說明變量之間是按完全負的相關(guān),氨當(dāng)柏的時候,挨稱被說明變量與俺說明變量之間是瓣完全正的相關(guān),半當(dāng)啊的時候,矮稱被說明變量與鞍說明變量之間是柏完全不相關(guān)。笆第四節(jié) 區(qū)間估挨計和假設(shè)檢驗一的置信區(qū)間拜 最小二絆乘法的五個假設(shè)頒都成立的情況下靶,奧.鞍 if 壩is give稗n, then唉 we can罷 estima疤te 罷as 擺; 傲1翱的估計 啊 按 辦 We 邦will pr熬ove 哀 is a u耙nbiased愛 estima隘tor for癌 柏.傲 半; 挨 艾as 埃, and t埃hen we 礙have拔where 把, and 疤We will絆 estima岸
16、te by t岸he foll哀owing ,盎 alike. 盎 藹,and th捌ere is 鞍,and th巴en we h白ave 襖 搬, then班 凹, 頒,and th巴en we i叭nstead 胺 with 按. ; 白 As搬,and 邦,and th捌en we h吧ave .矮conditi懊onal on艾 the un骯-known 罷, we es爸timate 跋the int扒erval v敗alue fo埃r 叭 by usi矮ng t-va百lue.板 扮, as th扮ere two哎 parame捌ters 壩.芭The int笆erval v版
17、alues f愛or para八meter 安 is 耙.疤The met扳hod of 胺looking芭 for t-胺table i靶n the b扳ehind o拜f the t暗ext, P1胺86.奧The que唉stion :艾 why th半e t-val佰ue of e艾stimato敗r must 耙equal t百o 1.96 礙at leas哎t ? 拔For exa耙mple: i佰n the t板ext P53安.愛Testing芭 for hy鞍pothesi藹s 鞍參考書胺:1 金融數(shù)叭量方法陳工孟把,陳守東譯,上絆海人民出版社。拌? 為什么要昂進行檢驗?zāi)???/p>
18、概率模型僅僅能板夠提供回歸系數(shù)俺的估計,因此有隘必要對這些古跡擺在多大的程度上啊能夠代表著真實伴的系數(shù)進行檢驗班??梢酝ㄟ^加演頒回歸系數(shù)的統(tǒng)計絆顯著性和所顧忌頒的回歸直線的數(shù)柏據(jù)的擬合優(yōu)度來般進行這項檢驗。芭1. The佰 method俺 for te班sting 阿 建立原鞍假設(shè)和備擇假設(shè)埃;計算檢驗統(tǒng)計翱量;看是否出現(xiàn)哎小概率事件;得埃出結(jié)論。搬 Exa岸mple 3.愛3 罷We must懊 rememb跋er that罷 拔 We 皚see the胺 table 俺on P186扮, we ca按n find 奧the val奧ue is -奧1.86.佰 If 敖we want翱 t
19、o fin昂d out t扮he valu襖e for 拌, then 佰the val半ue is -奧.1.397;柏If we w白ant to 爸know th霸e value板 for 瓣,then t矮he two-暗hand va挨lue is 版3.355.矮系數(shù)的顯著性檢埃驗敖 所謂顯著澳性檢驗就是檢驗背參數(shù)是否為0。伴也就是檢驗每一扳個估計系數(shù)是由澳于偶然性而落在班分布的尾部,還敗是落在分布的主唉體范圍內(nèi)。即判巴斷盎與否。按 熬系數(shù)的統(tǒng)計顯著扒性可以用估計值胺的離散程度來衡愛量。由于誤差或耙殘差被假定服從巴正態(tài)分布,誤差頒的標(biāo)準(zhǔn)偏差就可案以用來衡量這種懊分散程度,這種辦標(biāo)準(zhǔn)
20、偏差被稱為胺系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差把。我們用t統(tǒng)計案量來度量系數(shù)的胺顯著性程度。為澳了得到這些度量壩,我們首先需要芭知道:靶系數(shù)的抽樣分布疤;胺系數(shù)的方差以及八標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計襖;霸這樣,我們就可扳以檢驗關(guān)于系數(shù)隘的假設(shè),或?qū)ζ诎呀⒅眯艆^(qū)間。敗 原假設(shè):是澳指在統(tǒng)計檢驗中疤沒有證據(jù)能夠拒板絕它時將會被接哀受的假說。叭 備擇假設(shè):斑拒絕原假設(shè),就爸會接受備擇假設(shè)奧。敗 襖 唉 凹 跋 真實的情扒況芭 絆 吧 原拔假設(shè)為真的an澳d 接受原假設(shè)背 原捌來假設(shè)有誤an般d accep靶ted癌判 接受原扳假設(shè) 敖 對 瓣 絆 般 懊 第爸二類錯誤斷癌結(jié) 拒絕原頒假設(shè) 版 第一類錯哀誤 鞍 絆 芭 對果扮我們
21、最想避免的斑是第一類錯誤。背因此我們設(shè)置相斑應(yīng)的顯著性水平翱,使得發(fā)生這種半錯誤的概率小一艾些。檢驗的步驟:翱step-1 鞍 確定顯著性水矮平. 顯著性水澳平意味著偶然性瓣的概率。例如9壩5%,就意味著氨95%的概率扒不是出于偶然。拌step-2 巴 設(shè)置原假設(shè)中哀的大小骯step-3 拜 查表找出臨界皚值柏step-4 拔 判斷扒出現(xiàn)小概率時間霸的話,則表明在艾顯著性水平下,板原假設(shè)不成立。單邊檢驗:頒右邊:熬大于右側(cè)的臨界邦值,表明樣本太擺大了,他成為總爸體的代表的概率氨小于我們所設(shè)定皚的顯著性水平版。p-value爸p-value絆是原假設(shè)成立的擺情況下,標(biāo)準(zhǔn)化鞍的檢驗統(tǒng)計量取叭值得概
22、率。壩Example半 3.4 P稗55背進一步閱讀文獻盎:巴Bowers,斑D.,1991哀,Statis斑tics fo隘r Econo耙mics an扮d Busin哀ess, Ma拌cmillam柏,London拌.背Silver,襖M.,1992啊,Busine案ss Stat盎istics,霸 McGraw吧-Hill,俺London氨回歸結(jié)果的提供絆和分析凹回歸結(jié)果提供的敗格式 tw芭o types版2. 回歸結(jié)果版的分析背 2-1 傲 系數(shù)的說明。瓣符號,大小,意般義等。瓣 2-2 熬 擬合情況。俺 2-3 板 系數(shù)的顯著性熬。班 2-4 拔 誤差項是否存辦在自相關(guān)。瓣利用回歸
23、進行預(yù)叭測 (forc拔asting)氨 P56爸預(yù)測的概念 暗P56 胺通過說明變量來跋推測被說明變量拌的大小。疤二 預(yù)測的隱稗含條件: 對于熬新的觀測值來說耙,回歸模型也成唉立。敖三 預(yù)測的誤壩差 P57半 預(yù)測澳有點預(yù)測值和區(qū)斑間預(yù)測值。稗 提供啊點預(yù)測值的同時鞍,必須提供預(yù)測巴值的預(yù)測誤差。板預(yù)測誤差的來源耙:一是預(yù)測期間奧的擾動項假設(shè)為皚0;二是樣本估熬計值不一定就是按總體值。 奧他是一個無偏估霸計; 捌表明奧的時候,預(yù)測誤隘差達到最??;其氨他的時候,預(yù)測擺誤差向兩側(cè)非線熬性遞增。巴四 預(yù)測的置岸信區(qū)間 or 哎系數(shù)的顯著性檢愛驗稗 所謂顯著哀性檢驗就是檢驗啊參數(shù)是否為0。案也就是檢
24、驗每一搬個估計系數(shù)是由安于偶然性而落在挨分布的尾部,還案是落在分布的主稗體范圍內(nèi)。即判氨斷把與否。安 敖系數(shù)的統(tǒng)計顯著巴性可以用估計值霸的離散程度來衡暗量。由于誤差或霸殘差被假定服從埃正態(tài)分布,誤差襖的標(biāo)準(zhǔn)偏差就可罷以用來衡量這種礙分散程度,這種班標(biāo)準(zhǔn)偏差被稱為疤系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差按。我們用t統(tǒng)計斑量來度量系數(shù)的鞍顯著性程度。為靶了得到這些度量阿,我們首先需要阿知道:吧系數(shù)的抽樣分布扮;叭系數(shù)的方差以及拜標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計版;半這樣,我們就可啊以檢驗關(guān)于系數(shù)班的假設(shè),或?qū)ζ诎辖⒅眯艆^(qū)間。頒 原假設(shè):是盎指在統(tǒng)計檢驗中靶沒有證據(jù)能夠拒版絕它時將會被接盎受的假說。百 備擇假設(shè):敖拒絕原假設(shè),就壩會接受備
25、擇假設(shè)巴。敗 擺 安 耙 背 真實的情靶況澳 霸 翱 原挨假設(shè)為真的an矮d 接受原假設(shè)隘 原安來假設(shè)有誤an襖d accep阿ted襖判 接受原阿假設(shè) 吧 對 按 扮 拔 藹 第唉二類錯誤斷八結(jié) 拒絕原昂假設(shè) 疤 第一類錯瓣誤 氨 骯 斑 對果跋我們最想避免的熬是第一類錯誤。絆因此我們設(shè)置相半應(yīng)的顯著性水平扮,使得發(fā)生這種啊錯誤的概率小一芭些。檢驗的步驟:版step-1 耙 確定顯著性水敖平. 顯著性水癌平意味著偶然性敗的概率。例如9藹5%,就意味著稗95%的概率罷不是出于偶然。安step-2 辦 設(shè)置原假設(shè)中扮的大小擺step-3 暗 查表找出臨界艾值佰step-4 背 判斷靶出現(xiàn)小概率時間跋的話,則表明在鞍顯著性水平下,癌原假設(shè)不成立。單邊檢驗:百右邊:爸大于右側(cè)的臨界唉值,表明樣本太芭大了,他成為總扳體的代表的概率吧小于我們所設(shè)定伴的顯著性水平般。p-value哀p-value爸是原假設(shè)成立的澳情況下,標(biāo)準(zhǔn)化礙的檢驗統(tǒng)計量取藹值得概率。斑Example芭 3.4 P捌55叭進一步閱讀文獻拜:捌Bowers,班D.,1991唉,Statis襖tics fo柏r Econo暗mics an奧d Busin伴ess, Ma拜cmillam霸,London傲.岸Silver,敗M
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