Matlab工程應(yīng)用基礎(chǔ)-3-2

1、第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算二、符號及運算掌握內(nèi)容：（1）了解 MATLAB 6.0 的符號變量，掌握 MATLAB 符號表達式、符號矩陣的兩種創(chuàng)建方法。 （2）掌握 MATLAB 符號數(shù)學函數(shù)的創(chuàng)建。 （3）掌握符號矩陣的基本運算及MATLAB 關(guān)于不同精度的控制方法。 （4）掌握符號微積分內(nèi)容，包括求函數(shù)的極限、對符號表達式求導數(shù)和微分、符號積分、符號求和、傅立葉變換及其逆變換等。（5）掌握各種符號方程的求解方法和函數(shù)命令。（6）了解 MATLAB 可視化的符號函數(shù)分析界面及使用。 （7）初步了解 MAPLE 的符號資源。第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算抽象運算：公式推導、因式分解、求解代數(shù)方

2、程或微分方程的精確解 符號數(shù)學工具箱 1）通過基本符號數(shù)學工具箱的專用函數(shù)；符號表達式和符號矩陣的操作； 多項式的化簡、展開和代入； 線性代數(shù)； 微積分； 符號方程的求解； 特殊的數(shù)學函數(shù)。2）通過 maple.m、mpa.m 兩個專門設(shè)計的 M 文件進行符號運算；3) 通過 MATLAB 中的函數(shù)計算器（Function Caculator）。 第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算1、符號變量的創(chuàng)建a. sym 函數(shù) S=sym(arg) ，從表達式 arg 創(chuàng)建一個 sym 對象 Sx=sym(x)x = sym(x,real)x = sym(x,unreal) 附加屬性x = sym(x,pos

3、itive)pi = sym(pi)delta = sym(1/10) S = sym(A, flag) ，將數(shù)值或矩陣轉(zhuǎn)化為符號形式其中 flag 選項有四項參數(shù)f, r, e 和 d，r為缺省項。f：代表十六進制浮點形式；r：代表有理數(shù)形式；e：估計誤差；d：表示十進制小數(shù)。第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算 A=2/5,4/0.78,sqrt(23)/3;0.33,0.3333,log(4) 輸入數(shù)值矩陣AA = 0.4000 5.1282 1.5986 0.3300 0.3333 1.3863 FA=sym(A) 將數(shù)值矩陣A轉(zhuǎn)化為符號矩陣FA FA = 2/5, 200/39, sqrt(

4、23/9) 33/100, 3333/10000, 6243314768165359*2(-52)不管數(shù)值矩陣的元素是以分數(shù)或是浮點數(shù)表示，轉(zhuǎn)換后的符號矩陣都將以最接近有理式的形式給出。b. syms 函數(shù) syms arg1 arg2 . syms a b c x y2、符號表達式和矩陣的創(chuàng)建a.字符串直接輸入創(chuàng)建 符號表達式和符號方程對空格很敏感。因此，在創(chuàng)建符號表達式或符號方程時，不要在字符間任意加空格符；符號計算中出現(xiàn)的數(shù)字也是當作符號處理的； f=a*x2+b*x+cf =a*x2+b*x+c f=a*x2+b*x+c=0f =a*x2+b*x+c=0第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算第3

5、章 矩陣、數(shù)組和符號運算這種方法輸入符號矩陣與字符串矩陣的輸入相似。但要保證在同一列中各元素字符串有同樣的長度，在較短的字符串前后用空格符填充；這種方法要求符號矩陣每一行的兩端都有方括號，而字符串矩陣僅在首尾有方括號。 B=4+x x2 x ;x3 5*x-3 x*aB = 4+x x2 x x3 5*x-3 x*a 第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算b.由 sym 命令創(chuàng)建 f=sym(a*x2+b*x+c)f =a*x2+b*x+c f1=sym(a*x2+b*x+c=0)f1 =a*x2+b*x+c=0 A=sym(4+x, x2, x;x3, 5*x-3, x*a)A = 4+x, x2,

6、x x3, 5*x-3, x*a第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算c.由 syms 命令創(chuàng)建 syms x a b c f=a*x2+b*x+cf =a*x2+b*x+c syms x a B=4+x x2 x;x3 5*x-3 x*aB = 4+x, x2, x x3, 5*x-3, x*a不能創(chuàng)建符號方程 第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算3、數(shù)字矩陣和符號矩陣的轉(zhuǎn)換 MATLAB 中的數(shù)值型、字符型和符號型三種數(shù)據(jù)類型中數(shù)值變量級別最低，字符變量級別居中，符號變量級別最高；三種變量參與的混合運算，系統(tǒng)將會把所有參與運算的變量自動統(tǒng)一轉(zhuǎn)換為變量等級最高的類型，然后進行計算；可以通過命令來完成對不同數(shù)據(jù)

7、類型之間的轉(zhuǎn)換，大致可以分為三種情況：轉(zhuǎn)換為數(shù)值變量: double, str2num,numeric轉(zhuǎn)化為符號變量: sym轉(zhuǎn)化為字符變量: int2str, num2str第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算4、MATLAB 關(guān)于不同精度的控制 針對浮點運算的數(shù)值算法計算速度最快，占用計算機內(nèi)存最少的算法，與 C、FORTRAN 語言中的浮點運算算法完全相同。在機器內(nèi)的表達和計算都是一個被“ 截斷”的8 位浮點近似值。針對精確運算的符號算法計算時間最長，內(nèi)存占用最多，精度也最高。任意精度的算法運算時間、內(nèi)存占用和計算精度均介于以上兩種運算之間。采用函數(shù) digits 來控制十進制結(jié)果的有效位數(shù)。d

8、igits 的缺省值為 32，大約對應(yīng)于浮點精度。符號數(shù)學工具箱中，用 vpa 函數(shù)執(zhí)行任意精度運算。第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算 syms x f=x-cos(x)f = x-cos(x) f1=subs(f,x,pi) %將符號表達式中的變量替換為另一變量f1 = pi+1 digits(25) vpa(f1)ans = 4.141592653589793238462643 vpa(f1,6)ans = 4.14159 numeric(f1)ans = 4.1416 double(f1)ans = 4.14165、符號矩陣的運算基本運算 四則運算兩個符號矩陣的大小相等方可進行加減運算，符號

9、矩陣和符號標量的加減運算按照數(shù)組運算規(guī)則進行； 兩個符號矩陣只有內(nèi)積相等時才可以進行乘法運算； 符號的乘方運算 Sp，若 S 為符號表達式，p 可以為符號表達式或數(shù)值表達式；若 S 為符號矩陣，則 p 必須是整數(shù)。第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算 a=sym(1/x, 1/(x+1); 1/(x+2), 1/(x+3)a = 1/x, 1/(x+1) 1/(x+2), 1/(x+3) b=sym(x, 1; x+2, 0)b = x, 1 x+2, 0 b-aans = x-1/x, 1-1/(x+1) x+2-1/(x+2), -1/(x+3) abans = -6*

10、x-2*x3-7*x2, 3/2*x2+x+1/2*x3 6+2*x3+10*x2+14*x, -1/2*x3-2*x2-3/2*x a.bans = x2, x+1 (x+2)2, 0 a2ans = 1/x2+1/(x+1)/(x+2), 1/x/(x+1)+1/(x+1)/(x+3) 1/(x+2)/x+1/(x+3)/(x+2), 1/(x+1)/(x+2)+1/(x+3)2 exp(b)ans = exp(x), exp(1) exp(x+2), 1第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算矩陣運算 aans = 1/conj(x), 1/(2+conj(x) 1/(1+conj(x), 1/(3

11、+conj(x) inv(a)ans = 1/2*x*(x+1)*(x+2), -1/2*x*(x+3)*(x+2) -1/2*x*(x+3)*(x+1), 1/2*(x+3)*(x+1)*(x+2) det(a)ans =2/x/(x+3)/(x+1)/(x+2) rank(a)ans =2 eig(b)ans = 1/2*x+1/2*(x2+4*x+8)(1/2) 1/2*x-1/2*(x2+4*x+8)(1/2) triu(a)ans = 1/x, 1/(x+1) 0, 1/(x+3) diag(a)ans = 1/x 1/(x+3) tril(a)ans = 1/x, 0 1/(x+2

12、), 1/(x+3)第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算b.符號矩陣的簡化因式分解 syms x factor(x9-1)ans =(x-1)*(x2+x+1)*(x6+x3+1)符號矩陣展開 syms x y expand(x+1)3)ans =x3+3*x2+3*x+1 expand(sin(x+y)ans =sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)同類項合并 syms x y collect(x2*y+y*x-x2-2*x)ans =(y-1)*x2+(y-2)*x分式通分 syms x y n,d=numden(x/y+y/x)n =x2+y2d =y*x 符號簡化 syms x

13、 simple(cos(x)2-sin(x)2)simplify:2*cos(x)2-1radsimp:cos(x)2-sin(x)2combine(trig):cos(2*x)factor:(cos(x)-sin(x)*(cos(x)+sin(x)expand:cos(x)2-sin(x)2combine:cos(2*x)第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算convert(exp):(1/2*exp(i*x)+1/2/exp(i*x)2+1/4*(exp(i*x)-1/exp(i*x)2convert(sincos):cos(x)2-sin(x)2convert(tan):(1-tan(1/2*x)

14、2)2/(1+tan(1/2*x)2)2-4*tan(1/2*x)2/(1+tan(1/2*x)2)2collect(x):cos(x)2-sin(x)2ans =cos(2*x) simplify(cos(x)2-sin(x)2)ans =2*cos(x)2-1 simplify(sin(x)2+cos(x)2)ans =1第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算6、符號微積分Matlab自變量確定原則：除i、j外，字母位置最接近x的小寫字母為自變量；如果表達式中沒有變量，x會被視為默認的變量。由函數(shù)findsym可一找到默認變量a. 符號極限limit(F,x,a)limi

15、t(F,a)，變量為由findsym定義的默認變量limit(F,x,a,right) /limit(F,x,a,left)Limit(F), a=0 syms x a t h limit(sin(x)/x)ans =1 limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)ans =exp(6*t) limit(1/x,x,0,right)ans =infb.符號積分int(S) 不定積分int(S,v)int(S,a,b) 定積分int(S,v,a,b) syms x x1 alpha u t; A=cos(x*t),sin(x*t);-sin(x*t),cos(x*t)A = cos(x*

16、t), sin(x*t) -sin(x*t), cos(x*t) int(A,t)ans = 1/x*sin(x*t), -cos(x*t)/x cos(x*t)/x, 1/x*sin(x*t) int(x1*log(1+x1),0,1)ans =1/4 第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算符號合計函數(shù)Symsum(S)Symsum(S,v)Symsum(S,a,b) syms k n; simplify(symsum(k)ans =1/2*k2-1/2*k simplify(symsum(k2,0,n)ans =1/3*n3+1/2*n2+1/6*n simplify(symsum(k2,0,10)

17、ans =385 c. 符號微分和差分微分和差分Diff(S)Diff(S,v)Diff(S,n)Diff(S,v,n) syms x diff(sin(x2)ans = 2*cos(x2)*x diff(t6,6)ans = 720第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算 syms x t; A=cos(x*t),sin(x*t);-sin(x*t),cos(x*t)A = cos(x*t), sin(x*t) -sin(x*t), cos(x*t) diff(A,x) % diff(A,x)ans = -sin(x*t)*t, cos(x*t)*t -cos(x*t)*t, -sin(x*t)*t d

18、iff(A,t,2)ans = -cos(x*t)*x2, -sin(x*t)*x2 sin(x*t)*x2, -cos(x*t)*x2第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算梯度函數(shù)DF=gradient(F) 一維梯度FX,FY=gradient(F) 二維梯度FX,FY=gradient(F,H)FX,FY=gradient(F,HX,HY)FX,FY,FZ=gradient(F) 三維梯度FX,FY,FZ=gradient(F,HX,HY,HZ)H指定間距，默認為1 x,y=meshgrid(-2:0.2:2,-2:0.2:2); z=x.*exp(-x.2-y.2); px,py=gradien

19、t(z,0.2,0.2); contour(z) hold on quiver(px,py) %畫矢量圖 hold offd.傅立葉變換和傅立葉逆變換傅立葉快速離散變換 MATLAB 提供了 fft(內(nèi)置函數(shù))、ifft、fft2、ifft2、fftn、ifftn、fftshift、ifftshift 等函數(shù)，用來計算矩陣的離散快速傅立葉變換。 函數(shù) fft 和 ifft 函數(shù) fft 最完整的調(diào)用格式為： Y=fft(X,dim) 或 Y= fft(X,n,dim) 數(shù)據(jù)長度n是 2 次冪時，可以采用基-2 算法進行快速計算。輸入?yún)?shù) X 可以是向量、矩陣。 dim 指定變換的實施方向。當

20、X 是矩陣時， 1 指明變換按列進行（默認），2 指明變換按行進行。 第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算 X=1,2,3;4,5,6;7,8,9X = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y=fft(X)Y = 12.0000 15.0000 18.0000 -4.5000 + 2.5981i -4.5000 + 2.5981i -4.5000 + 2.5981i -4.5000 - 2.5981i -4.5000 - 2.5981i -4.5000 - 2.5981i函數(shù) fft2 和 ifft2 函數(shù) fft2 和 ifft2 是對數(shù)據(jù)做二維快速傅立葉變換和逆傅立葉變

21、換。數(shù)據(jù)的二維傅立葉變換 fft2(X)相當于 fft(fft(X)，即先對 X 的列做一維傅立葉變換，然后對變換結(jié)果的行做一維傅立葉變換。其調(diào)用格式為： Y=fft2(X,mrows,ncols)和函數(shù) fft2 和 ifft2 類似，函數(shù) fftn 和 ifftn 對數(shù)據(jù)做多維快速傅立葉變換。函數(shù) fftshift 和 ifftshift 函數(shù) fftshift 用于把傅立葉變換結(jié)果（ 頻域數(shù)據(jù)）中的直流分量（ 頻率為 0 處的值）移到中間位置。其調(diào)用格式為： Y=fftshift(X) X=rand(3,3)X = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0

22、.0185 0.6068 0.7621 0.8214 Y=fft(X)Y = 1.7881 2.1394 1.2964 0.5311 + 0.3254i -0.3407 - 0.1119i 0.0365 + 0.6953i 0.5311 - 0.3254i -0.3407 + 0.1119i 0.0365 - 0.6953i第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算 Y1=fftshift(X)Y1 = 0.8214 0.6068 0.7621 0.4565 0.9501 0.4860 0.0185 0.2311 0.8913傅立葉積分變換及其反變換 離散傅立葉變換（ DFT）作用于有限數(shù)據(jù)采樣，傅立葉變換

23、作用于連續(xù)函數(shù) 。傅立葉變換調(diào)用格式為： F = fourier(f)：求表達式 f 的傅立葉變換。缺省的自變量為 x，缺省的返回值是關(guān)于 w 的函數(shù)。F = fourier(f,v)：返回函數(shù) F 是關(guān)于符號表達式對象 v 的函數(shù)，而不是缺省的 w。F=fourier(f,u,v)：對關(guān)于 u 的函數(shù) f 進行變換，返回函數(shù) F 是 關(guān)于 v 的函數(shù)。傅立葉逆變換調(diào)用格式為： f = ifourier(F)：符號表達式對象F的傅立葉逆變換。缺省的自變量為 w，缺省返回是關(guān)于 x 的函數(shù)。f = ifourier(F,u)：返回函數(shù) f 是關(guān)于符號表達式對象 u 的函數(shù)，而不是缺省的 x的函數(shù)。f = ifourier(F,v,u)：對關(guān)于 v 的函數(shù) F 進行變換，返回關(guān)于 u 的函數(shù) f。第3章 矩陣、數(shù)組和符號運算 syms x t w u; fourier(exp(-x2)ans = pi(1/2)*exp(-1/4*w2) fourier(exp(-x2),u)ans =pi(1/2)*exp(-1/4*u2) fourier(exp