《理論力學(xué)》12 動量定理

1、第十二章動 量 定 理1實際上的問題是： 1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非 常困難。 2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì) 點的運 動,僅需要研究質(zhì)點系整體的運 動情況。 動力學(xué)普遍定理概述對質(zhì)點動力學(xué)問題： 建立質(zhì)點運動微分方程求解。對質(zhì)點系動力學(xué)問題： 理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方 程， 聯(lián)立求解它們即可。 從本章起, 將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法, 主要討論的是動力學(xué)普遍定理(包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理)。動 力 學(xué)2 它們以簡明的數(shù)學(xué)形式， 表明兩種量 一種是同運動特征相關(guān)的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力

2、矩、功等) 之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷 。 本章將研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式質(zhì)心運動定理。動 力 學(xué)3 一.質(zhì)點系的質(zhì)心 定義 質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。 12-1 質(zhì)點系的質(zhì)心 內(nèi)力與外力 質(zhì)心 C 點的坐標(biāo)公式 動 力 學(xué)4 在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹捎渺o力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。 所考察的質(zhì)

3、點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。 對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：二、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力 所考察的質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。 外力 內(nèi)力動 力 學(xué)5 12-2 動量與沖量 一、動量 1.質(zhì)點的動量 質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積 mv 稱為質(zhì)點的動量。 是瞬時矢量，方向與v 相同。單位是kgm/s。 動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量小； 船：速度小，質(zhì)量大。 2.質(zhì)點系的動量質(zhì)點系中所有各質(zhì)點的動量的矢量和。動 力 學(xué)6 剛體系統(tǒng)的動量設(shè)第i個剛體 則整個系統(tǒng)：質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系

4、的動量。則：動 力 學(xué)7解: 曲柄OA：滑塊B：連桿AB： 例1 曲柄連桿機構(gòu)的曲柄OA以勻 轉(zhuǎn)動，設(shè)OA=AB=l ,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿, 質(zhì)量各為m , 滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng) = 45時系統(tǒng)的動量。動 力 學(xué)（ P為速度瞬心，)8動 力 學(xué)9 變力的沖量（包括大小和方向的變化）元沖量: 沖量： 二沖量 力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應(yīng)。 常力的沖量動 力 學(xué)10 合力的沖量 等于各分力沖量的矢量和沖量的單位：與動量單位同動 力 學(xué)11 1

5、2-3動量定理一質(zhì)點的動量定理在某一時間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時間內(nèi)的沖量。 質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點的力質(zhì)點的動量定理。 微分形式質(zhì)點動量的微分等于力的元沖量。 積分形式動 力 學(xué) 矢量形式12 投影形式 質(zhì)點的動量守恒若，則常矢量，質(zhì)點作慣性運動若，則常量，質(zhì)點沿 x 軸的運動是慣性運動二質(zhì)點系的動量定理對整個質(zhì)點系：對質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點 i，動 力 學(xué) 矢量形式13 質(zhì)點系動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有外力的矢量和。 質(zhì)點系動量的微分等于作用在質(zhì)點系上所有外力元沖量的矢量和。在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等于作用在質(zhì)點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量的矢

6、量和。積分形式微分形式質(zhì)點系的動量定理動 力 學(xué)14投影形式=)(exXidtdp=)(eyYidtdp=)(ezZidtdp=-21)()(12tteiexxdtXIixpp=-21)()(12tteieyydtYIiypp=-21)()(12tteiezzdtZIizpp 質(zhì)點系的動量守恒若則常矢量。若則常量。 只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的傳遞。動 力 學(xué)15 例2 已知砂子以恒質(zhì)量流率 設(shè)以近似勻速 流入車廂內(nèi)，與此同時，車廂在水平常力F 的作用下由靜止開始運動。求向車廂內(nèi)輸送了質(zhì)量為m的砂子時，車廂的速度v和軌道給車廂的平均法

7、向反力N 。車廂的質(zhì)量為M 。解： 取車廂和質(zhì)量為m的砂子組成的質(zhì)點系為研究對象； 受力分析如圖； 取Oxy直角坐標(biāo)軸；動 力 學(xué)16 根據(jù)動量定理求解：動 力 學(xué)17例3 質(zhì)量為M的大三角形柱體, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體,求小三角形柱體滑到底時,大三角形柱體的位移。解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動量守恒及初始靜止；則小三角塊相對大三角塊速度為 ，設(shè)大三角塊速度則小三角塊運動分析，動 力 學(xué)1812-4質(zhì)心運動定理將 代入到質(zhì)點系動量定理，得若質(zhì)點系質(zhì)量不變，則 或 上式稱為矢量形式的質(zhì)心運動定理（或質(zhì)心運動微分方程）。質(zhì)點

8、系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。一質(zhì)心運動定理動 力 學(xué) 矢量形式19動 力 學(xué)或 自 然坐標(biāo)形式 ： 直角坐標(biāo)形式 ：或 投影形式 剛體系統(tǒng)質(zhì)心運動定理投影形式20動 力 學(xué) 質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點運動微分方程形式相似。對于任意一個質(zhì)點系， 無論它作什么形式的運動， 質(zhì)點系質(zhì)心的運動可以看成為一個質(zhì)點 討論 只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動, 內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。的運動， 并設(shè)想把整個質(zhì)點系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個點上， 所有外力也集中作用在質(zhì)心這個點上。 在定向爆破中，爆破時質(zhì)系中各質(zhì)點的運

9、動軌跡不同，但質(zhì)心的運動軌跡近似一拋物線，由此可初步估計出大部分物塊堆落的地方。Pv21動 力 學(xué) 汽車行駛是靠車輪與路面的摩擦力。發(fā)動機內(nèi)氣體的爆炸力，對汽車來說是內(nèi)力。圖中所示作用于 汽車后輪的摩擦力F1，稱為汽車行駛的牽引力或驅(qū)動力。22 三 質(zhì)心運動定理可求解兩類動力學(xué)問題 已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動, 求作用于質(zhì)點系的外力(包括約束反力)。 已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。動 力 學(xué) 若則 常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在 則 常量，質(zhì)心在x 軸的位置坐標(biāo)保持不變。二 質(zhì)心運動守恒定律 若，則 常矢量，質(zhì)心作勻速直線運動； 若開始時系統(tǒng)靜止，即 則常矢量,質(zhì)心位置守恒。23 解

10、: 研究整個電動機質(zhì)點系； 受力分析如圖示； 取O1x y直角坐標(biāo)軸； 運動分析：定子靜止，轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動。 根據(jù)質(zhì)心運動定理求解： 例4 電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子重為P1, 轉(zhuǎn)子重為P2 , 轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1, 但由于制造誤差, 轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e 。求轉(zhuǎn)子以角速度 作勻速轉(zhuǎn)動時，基礎(chǔ)作用在電動機底座上的約束反力。動 力 學(xué)24定子質(zhì)心O1的坐標(biāo)為 x1=0，y1=0轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的坐標(biāo)為 x2= ecosw t，y2= esinw t ， 電動機質(zhì)心C的坐標(biāo)為 質(zhì)心C加速度在x、y軸上的投影為動 力 學(xué)25可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。有：解得：動 力 學(xué)26解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點系為研究對象。例4 浮動起重船, 船的重量為P1=200kN, 起重桿的重量為P2=10kN, 長l=8m，起吊物體的重