常微分方程2.3 全微分方程

1、 多元函數(shù)全微分的逆運算?？煞蛛x變量、解將方程寫成左端是全微分式方程變成通解齊次方程。0)(d=xy2.3 全微分方程求解引例11.全微分方程的定義設是一個連續(xù)可微的二元函數(shù),則若則有這是一大類可求解的微分方程.2則稱 為全微分方程。 若連續(xù)可微的二元函數(shù) 使得 此時，全微分方程 的解為 3例如,下列方程都是全微分方程:因為函數(shù)的全微分就分別是這三個方程的左端,他們的解分別是4但并不是所有的方程都能方便地找到對應的的函數(shù),或者這樣的就不存在.所以我們有三個問題需要解決:(1)方程是否就是全微分方程; (2)若方程是全微分方程,怎樣求它的解; (3)若方程不是全微分方程,有無可能將它轉化為一個全

2、微分方程來求解?5是全微分方程的充要條件為:（2.3.3)證明：一.先證必要性2.方程為全微分方程的充要條件設是全微分方程,則有函數(shù) 使得 中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則 定理2.1 設函數(shù) 和 在一個矩形區(qū)域6故 成立。 故有 計算的二階混合偏導數(shù):由于M(x,y)和N(x,y)有連續(xù)一階偏導數(shù),從而有7二.再證充分性構造函數(shù) 滿足 設 滿足 取 待定，對上式關于y求偏導數(shù)得 在矩形R中取一點 令 是R的一個動點，8令 所有與 相差一個常數(shù)的函數(shù)都滿足 則找到一個滿足 的函數(shù) 這種方法稱為線積分法.9例：驗證方程是全微分方程，并求它的通解。3.全微分方程的積分由于 解：當一個方程是全微分方程

3、時,我們有三種解法.(1) 線積分法:或10故通解為其中為任意常數(shù)所以方程為全微分方程。11(2)偏積分法的通解.例：求方程由于 解：假設所求全微分函數(shù)為 ,則有 求 12而 即從而即13解: 偏積分法原方程的通解:練習14例：驗證方程是全微分方程，并求它滿足初始條件： 的解。 所以方程為全微分方程。 由于 解：由于 (3)湊微分法15方程的通解為： 利用條件 得 最后得所求初值問題得解為：根據(jù)二元函數(shù)微分的經驗,原方程可寫為16通解：解: 分組湊全微分法練習17解是全微分方程將左端重新組合原方程的通解：練習18一階線性方程解整理:法一法二整理:練習19（1）偏積分法原方程的通解:20（2）湊

4、全微分法原方程的通解:21若一個方程不是全微分方程，我們可以用積分因子法將其變?yōu)槿⒎址匠獭?.積分因子例:求方程解： 故該方程不是全微分方程,對該方程兩邊同時乘以后得:22由于利用湊微分的方法可得通解為:如果有函數(shù)使方程是全微分方程。則一個積分因子。稱為方程的23 觀察法憑觀察湊微分得到 常見的全微分表達式可選用積分因子24例:驗證是方程 的積分因子,并求它的通解.解：對方程兩邊同乘以后得由于 故該方程是全微分方程,是一個利用湊微分的方法可得通解為:積分因子,25例:驗證是方程 的一個積分因子，并求其通解。解：對方程有對方程兩邊同乘以 后，再利用湊微分法通解為:26 求方程解不是全微分方程.

5、將方程兩端重新組合,觀察法, 積分因子原方程練習27解將方程兩端重新組合, 求方程不是全微分方程.積分因子,原方程的通解:練習28從上面的例子可看出,當確定了積分因子后,很容易求出其通解,但問題是:(1) 積分因子是否一定存在?(2) 如何求積分因子?這兩個問題是十分困難的問題,一般來說無法給出答案,但對一些特殊的函數(shù)或方程是可以給出一些充分條件的.29定理2.2微分方程有一個僅依賴的積分因子得充要條件是:于有關； 僅與因子得充要條件是同理，方程有一個僅依賴于的積分僅與有關。 30即上式左端只與有關, 故右端也只能是的函數(shù).反之, 若方程的右端函數(shù)僅與有關, 我們取證明:僅證第一部分. 不妨設

6、上式就是方程的一個積分因子, 故定理得證.31例：求微分方程 的通解。解：由于故它不是全微分方程。 利用積分因子的表達式得 又因為 它與無關。 由定理知，方程有一個僅與有關的積分因子。 32對方程兩邊同乘以積分因子 得 這是一個全微分方程。分組湊微分,得方程通解:33注: 積分因子是求解微分方程的一個重要方法,絕大多數(shù)方程的求解都可以通過這種方法來解決.但是求一個微分方程的積分因子比較困難,需要靈活的方法和技巧.34熟練記住下面的幾個方程和其對應的積分因子例如: 當一個微分方程中出現(xiàn)時,函數(shù)都有可能成為其積分因子.35例. 求微分方程的通解.解: 因為所以方程不是全微分方程. 將方程的左端重新分組得:選擇作為方程的積分因子.方程兩邊同時乘以方程的通解為36設微分方程左端可以分為兩組, 即其中第一組和第二組各有積分因子和使得由于對任意可微函數(shù)和是第一組的積分因子,是第二組的積分因子,37例：求微分方程的通解。 解：將方程左端分組 前一組有積分因子和通積分 后一組有積分因子和通積分 如果能選取的和使得則就是方程的