四年級(jí)奧數(shù)十五講

1、數(shù)學(xué)趣題十五講四年級(jí)（上）2012年10月第一講：乘法速算（一）1、一個(gè)數(shù)乘11，101，1001的速算法分析：一個(gè)數(shù)乘以11，101，1001時(shí)，因?yàn)?1，101，1001分別比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得：a11=a(101)=10aa， 兩邊一拉，中間一加。a101=a(1011)=100aa， a1001=a(10001)=1000aa。例如：1、38101=3810038=3838。 2、3561001356(10001)3561000356356000356356356； 3、 3810238(1002)38100382 3800763876；練一練：1.(1)

2、6811 (2) 74101 (3) 2561001 (4) 154601第二講：乘法速算（二）1、乘9，99，999的速算法一個(gè)數(shù)乘以9，99，999時(shí)，因?yàn)?，99，999分別比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得a9=a(10-1)=10a-aa99=a(100-1)=100a- aa999=a(1000-1)=1000a-a例如:1、1899=18100-18=1782 2、52699526(100-1) 526100-526520743、12349998 1234(10000-2)123410000-1234212340000-246812337532練一練： (1)459

3、 (2)45799 (3)762999 (4) 3498 總結(jié)：上面講的兩類速算法，實(shí)際就是乘法的湊整速算。湊整速算是當(dāng)乘數(shù)接近整十、整百、整千的數(shù)時(shí)，將乘數(shù)表示成上述整十、整百、整千與一個(gè)較小的自然數(shù)的和或差的形式，然后利用乘法分配律進(jìn)行速算的方法。第三講：乘法速算（三）乘5，25，125的速算法一個(gè)數(shù)乘以 5，25，125時(shí)，因?yàn)?5210，254100，12581000，所以可以利用“乘一個(gè)數(shù)再除以同一個(gè)數(shù)，數(shù)值不變”及乘法結(jié)合律，得到例如：1、76257600419002、1865=186(52)2=18602=930 3、96125=96(1258)8=960008=12000練一練

4、： (1)5365 (2)4375 (3)63815 (4)73915(5)3225 (6)1725 (7)13025 （8）6875總結(jié)：上面的方法也是一種“湊整”，只不過不是用加減法“湊整”，而是利用乘法“湊整”。當(dāng)一個(gè)乘數(shù)乘以一個(gè)較小自然數(shù)就能得到整十、整百、整千的數(shù)時(shí)，將乘數(shù)先乘上這個(gè)較小自然數(shù)，再除以這個(gè)較小的自然數(shù)，然后利用乘法結(jié)合律就可達(dá)到速算的目的。第四講：“鋪地錦”-格子乘法 500多年前，意大利的一本算術(shù)中講述了一種“格子乘法”，后來傳入中國(guó)，在明朝的算法統(tǒng)宗中稱為“鋪地錦”。你能仿照下面的例子算出“35746”的積嗎 練一練：3759= 4628= 24534= 5672

5、1= 第五講：錯(cuò)中求解（一）例1：小馬虎在做一道加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)十位的5錯(cuò)看成2，另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的4錯(cuò)看成1，結(jié)果計(jì)算的結(jié)果為241.正確的和應(yīng)是多少？分析：把一個(gè)加數(shù)十位的5錯(cuò)看成2結(jié)果就減少了30，另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的4錯(cuò)看成1，結(jié)果就少了3，這樣正確的結(jié)果就比錯(cuò)誤的結(jié)果241多(30+3)=33. 列式：241+30+3=274例2：小馬虎做題時(shí)，把被減數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫成8，把十位上的6錯(cuò)寫成0，這樣算的差是200，正確的差事多少？分析;被減數(shù)減數(shù)=差，被減數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫成8結(jié)果就多了5，十位上的6錯(cuò)寫成0結(jié)果就少了60，這樣正確的結(jié)果就比錯(cuò)誤的結(jié)果多（60-5）=55。列式：20

6、0+60-5=255練一練：1、小馬虎在計(jì)算兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的7錯(cuò)寫成1，把另一個(gè)加數(shù)百位上的2錯(cuò)寫成3，所得的和是2003，原來兩個(gè)數(shù)相加的正確答案是多少？2、小馬虎做題時(shí)，把被減數(shù)個(gè)位上的8錯(cuò)寫成0，把十位上的6錯(cuò)寫成2，這樣算的差是513，正確的差是多少？第六講：錯(cuò)中求解（二）例1：小麗在計(jì)算乘法時(shí)，把乘以12寫成了加上12，結(jié)果得到和27.求這道乘法算式正確的積是多少？分析：解決此類問題用倒推法，根據(jù)加數(shù)是12，和是27，先求出正確的因數(shù)，再乘上12即可求出正確的積。列式：27-12=15 1512=180練一練：小紅在計(jì)算除法時(shí)，把除以15寫成加上15，結(jié)果得到的和是9

7、0。這道除法算式正確的商是多少？例2：小明在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)52寫成了25，結(jié)果得到的商是22，還余22。正確的商應(yīng)該是多少？分析：此類題目我們可以稱作：“將錯(cuò)就錯(cuò)”。根據(jù)錯(cuò)誤的除數(shù)和商、余數(shù)，求出正確的被除數(shù)，然后再除以正確的除數(shù)，從而求出正確的商。列式：（2225+22）52=11練一練：小明在計(jì)算乘法時(shí)，把乘數(shù)24寫成了42，結(jié)果得到積是840。正確的積應(yīng)該是多少？第七講：數(shù)圖形（一）例1：數(shù)出下圖中有多少條線段？A B C A B C D A B C D E分析與解答：數(shù)線段時(shí)，應(yīng)該按順序從左向右，以一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，數(shù)出以這個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有哪幾條？解答：1、以A為左端點(diǎn)的線段有AB、

8、AC兩條，以B為左端點(diǎn)的線段有BC，共有2+1=3（條）2、3+2+1=6（條）3、4+3+2+1=10（條）試一試：數(shù)出下圖中有多少條線段？例2：數(shù)一數(shù)下圖中各有多少個(gè)三角形？分析：圖一中三角形底邊上的每一條線段都與頂點(diǎn)O構(gòu)成了一個(gè)三角形，也就是底邊AF上有多少條線段，就有多少個(gè)三角形。1+2+3+4+5=15（條），所以也就有15個(gè)三角形。圖二中多了一條線段，同理也就增加了15個(gè)三角形，共有30個(gè)。試一試：第八講：數(shù)圖形（二）例1：數(shù)出下列圖形中有多少個(gè)正方形。 分析：觀察可知，這三個(gè)圖形中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都相等，假定每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位，稱它為基本線段，那么圖一每邊長(zhǎng)為2個(gè)長(zhǎng)

9、度單位，所以邊長(zhǎng)為一個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有2乘2等于4個(gè)，邊長(zhǎng)為兩個(gè)長(zhǎng)度單位的正方形有1個(gè)，共有4+1=5（個(gè)）；同理圖2中有14個(gè)，圖3中的正方形有：44+33+22+11=30（個(gè)）例2：下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。分析：數(shù)圖形中有多少個(gè)長(zhǎng)方形和數(shù)線段的方法一樣，可以這樣思考：圖1中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)是由CD邊上的線段的條數(shù)決定的，CD邊上共有線段1+2+3=6（條），所以長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)就是6個(gè)。試一試：2、第九講：豎式迷（一）例1：在圖所示的豎式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字則符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊”是多少？分析：每個(gè)字母代表不同的數(shù)字， “好”只有3和6可選好=3，則：14

10、2857*3=428571；好=6，則：142857*6=857142；兩個(gè)都能滿足，所以，符合題意的數(shù)“迎春杯競(jìng)賽贊”可能是428571或857142。例2：在圖4-8所示的算式中，相同的漢字表示相同的數(shù)字，不同的漢字表示不同的數(shù)字請(qǐng)把這個(gè)豎式翻譯成數(shù)字算式同上：142857*7=999999。試一試：2 6 0 4 7 0 第十講：火車過橋問題（一）例1：一列以相同速度行駛的火車，經(jīng)過一根有信號(hào)燈的電線桿用了9秒，通過一座468米長(zhǎng)的鐵橋用了35秒，這列火車的長(zhǎng)是多少米？分析：由題意，“經(jīng)過一根有信號(hào)的電線用了9秒，”可知火車行駛一個(gè)車身長(zhǎng)的路程用時(shí)9秒，那么行駛468米長(zhǎng)的路程用時(shí)為35

11、-9=26（秒），所以火車長(zhǎng)468除以26，再乘9等于162米。例2：一列火車長(zhǎng)200米，通過一條長(zhǎng)430米的隧道用了42秒，這列火車以同樣的速度通過某站臺(tái)用了25秒，那么這個(gè)站臺(tái)長(zhǎng)多少米？分析：火車的速度為：（200+430）42=15(米/秒)，通過某站臺(tái)行進(jìn)的路程為：1525=375（米），已知火車長(zhǎng)，所以站臺(tái)長(zhǎng)為375-200=175（米）練一練：1、一列火車長(zhǎng)150米，每秒鐘行19米。全車通過長(zhǎng)800米的大橋，需要多少時(shí)間？2、一列火車長(zhǎng)200米，它以每秒10米的速度穿過200米長(zhǎng)的隧道，從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道共需要多少秒？ 第十一講：過橋問題（二）、例1： 一列火車長(zhǎng)200米

12、，以每秒8米的速度通過一條隧道，從車頭進(jìn)洞到車尾離洞，一共用了40秒。這條隧道長(zhǎng)多少米？ 分析 ：先求出車長(zhǎng)與隧道長(zhǎng)的和，然后求出隧道長(zhǎng)?；疖噺能囶^進(jìn)洞到車尾離洞，共走車長(zhǎng)+隧道長(zhǎng)。這段路程是以每秒8米的速度行了40秒。解：（1）火車40秒所行路程：840=320（米）（2）隧道長(zhǎng)度：320-200=120（米）答：這條隧道長(zhǎng)120米。試一試：一支隊(duì)伍1200米長(zhǎng)，以每分鐘80米的速度行進(jìn)。隊(duì)伍前面的聯(lián)絡(luò)員用6分鐘的時(shí)間跑到隊(duì)伍末尾傳達(dá)命令。問聯(lián)絡(luò)員每分鐘行多少米？例2： 一列火車長(zhǎng)119米，它以每秒15米的速度行駛，小華以每秒2米的速度從對(duì)面走來，經(jīng)過幾秒鐘后火車從小華身邊通過？分析 本題是

13、求火車車頭與小華相遇時(shí)到車尾與小華相遇時(shí)經(jīng)過的時(shí)間。依題意，必須要知道火車車頭與小華相遇時(shí)，車尾與小華的距離、火車與小華的速度和。解：（1）火車與小華的速度和：15+2=17（米/秒）（2）相距距離就是一個(gè)火車車長(zhǎng)：119米（3）經(jīng)過時(shí)間：11917=7（秒）答：經(jīng)過7秒鐘后火車從小華身邊通過。試一試：一人以每分鐘60米的速度沿鐵路步行，一列長(zhǎng)144米的客車對(duì)面開來，從他身邊通過用了8秒鐘，列車的速度是每秒多少米？ 第十二講：和差問題（一）例1：養(yǎng)雞場(chǎng)養(yǎng)了540只雞，其中母雞比公雞多50只，養(yǎng)雞場(chǎng)養(yǎng)的公雞和母雞各有多少只？分析：假如增加50只公雞，公雞的只數(shù)就和母雞一樣多了，但如果增加50只公

14、雞，養(yǎng)雞場(chǎng)的雞的只數(shù)就是540+50=590，用5902=295就是養(yǎng)雞場(chǎng)母雞的只數(shù)了，知道了母雞的只數(shù)，就能很方便的求出公雞的只數(shù)了。（540+50）2=295（只） 295-50=245（只）想一想：假設(shè)減少50只母雞，又該怎樣求出公雞和母雞的只數(shù)呢？請(qǐng)?jiān)囈辉?。試一試：果園里有蘋果樹和梨樹共420棵，蘋果樹比梨樹多36棵，兩種樹各有多少棵？例2：老師把140塊糖分給了大班和中班的小朋友，如果從大班那12塊糖給中班，兩個(gè)班分得的糖就同樣多，求大班和中班各分得多少塊糖？分析：根據(jù)題意可知，大班減少12塊糖，中班增加12塊糖后，兩個(gè)半分得的就同樣多，就是說大班比中班多分的12乘2等于24塊糖，假

15、如從140塊糖中去掉24塊，剩下的糖就是中班分得的2倍，由此先求出中班分得的塊數(shù)，再求出大班分得的塊數(shù)。（140-122）2=58（塊） 140-58=82（塊）試一試：兩個(gè)班共有學(xué)生92人，如果從一班調(diào)2人到二班，則兩班人數(shù)同樣多，兩個(gè)班各有多少個(gè)同學(xué)？第十三講：和差問題（二）例1：一個(gè)書架分上、下兩層。共放100本，如果從上層取出5本放入下層，那么上層比下層還多6本，問原來上、下兩層各放了多少本圖書？分析：先求出原來上、下層所放圖書的差，因?yàn)樯蠈訙p少5本，下層增加5本，上層還比下層多6本，所以原來上層比下層多52+6=16，假如上層減少16本，則上、下兩層的書就同樣多，即：（100-16）

16、相當(dāng)于下層本數(shù)的2倍，由此求出下層的本數(shù)，再求上層的本數(shù)。（100-52-6）2=42（本）100-42=48（本）試一試：兩箱零件共102個(gè)，從甲箱里拿24個(gè)放入乙箱后，甲箱還比乙箱多4個(gè)，原來兩箱各放有多少個(gè)零件？例2：李明每天早晨沿著長(zhǎng)和寬相差50米的長(zhǎng)方形小路跑步。已知他每天跑4圈，共跑了1200米，問這條長(zhǎng)方形路的長(zhǎng)和寬各是多少米？分析：李明沿長(zhǎng)方形路跑四周共跑了1200米，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是12004=300（米），長(zhǎng)與寬的和是3002=150（米），假設(shè)長(zhǎng)減少50米，那么，（150-50）米，就正好是寬的2倍，由此先求出寬，再求出長(zhǎng)。試一試：王師傅和李師傅4小時(shí)共做紙箱180只，王師

17、傅比李師傅每小時(shí)少做5只。他們每小時(shí)各做多少只紙箱？第十四講：相遇問題（一）例1：A、B兩城相距458千米，甲車以每小時(shí)46千米，乙車以每小時(shí)38千米的速度先后從兩城出發(fā)，相向而行，相遇時(shí)甲車行駛了230米，問乙車比甲車早出發(fā)幾小時(shí)？分析：（1）根據(jù)“甲車每小時(shí)行駛46千米”和“相遇時(shí)甲車行駛了230千米”，可知甲車行了23046=5（小時(shí)）；乙車行了458-230=228（千米），用了22838=6（小時(shí)），乙車早出發(fā)了6-5=1（小時(shí)）（2）相遇時(shí)甲車行駛了23046=5（小時(shí)），甲車出發(fā)時(shí)乙車先行了458-（46+38）5=38（千米），所以，乙車先行了3838=1（小時(shí)）試一試：1、兩

18、港相距267千米，客船以每小時(shí)45千米的速度，貨船一每小時(shí)33千米的速度先后從兩港開出，相向而行，相遇時(shí)，客船行了135千米，貨船比客船提前幾小時(shí)開出？2、小李和小勇同時(shí)從相距2160千米的兩地相向而行，小勇每分鐘走100米，小麗走了12分鐘和小勇相遇。小麗每分鐘比小勇少走多少米？3、兩個(gè)游泳隊(duì)從相距2040米的A、B兩地相向出發(fā)，甲隊(duì)從A地下水，每分鐘游40米，乙隊(duì)從B地下水，每分鐘游45米，一艘汽艇負(fù)責(zé)兩隊(duì)的安全，同時(shí)從B地出發(fā)，每分鐘行駛1200米，遇到甲隊(duì)就立即返回，返回遇到乙隊(duì)又向甲隊(duì)開去，這樣不斷地往返下去，汽艇行了多少千米兩隊(duì)才能相遇？第十五講：相遇問題（二）例1：甲乙兩輛汽車從東西兩地相向而行，甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行42千米，兩車離中點(diǎn)21千米處相遇，求東、西兩地相距多少千米？分析：由條件“甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行42千米，”可知甲乙兩車的速度和是48+42=90（千米），由于甲車比乙車速度快，當(dāng)甲車過