離中趨勢的度量

1、第九章 離中趨勢的度量 第一節(jié) 差異量數(shù)第二節(jié) 方差和標準差1第一節(jié) 其它差異量數(shù)一、全距全距（range）：一組數(shù)列中最大和最小數(shù)值之間的差。R=XH-XL其中XH為最大數(shù)值， XL為最小數(shù)值。2二、平均差平均差（mean deviation，MD）:各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差數(shù)的絕對值的平均數(shù)，稱為平均差。MD=|X-Xm|/n平均差使用絕對值，沒有正負，所以不便于在統(tǒng)計中運用。3第二節(jié) 方差和標準差一、方差和標準差1、方差方差（variance, 2, S2 ）:各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差數(shù)的平方和的平均值稱為方差，也稱為變異數(shù)。因此，方差的定義公式為： 2= (X-)2/n S2= (X-Xm)2/n4

2、2、標準差計算方差時使用了平方，也就是夸大了數(shù)據(jù)和平均數(shù)的距離，因此需要將方差開方以還原其本來的差異，這就是標準差。即：標準差（standard deviation，S）是方差的平方根。標準差的定義公式：= 2=(X)2/nS= S2=(XXm)2/n53、方差的估計值總體的參數(shù)可以用樣本的統(tǒng)計量來加以估計，但是用一個樣本的統(tǒng)計量來估計它所屬總體的參數(shù)，可能容易發(fā)生錯誤。但是，如果我們用一個包含有無限多個元素的樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)就不容易造成錯誤，這個統(tǒng)計量就被稱為是總體參數(shù)的無偏估計值（unbiased estimate）。6如果從總體中隨機抽取一個樣本，樣本包含有無限多個個體，則計

3、算樣本平均數(shù)的公式為：Xm= X/n這就是總體平均數(shù)的無偏估計值。這樣我們就可以將下列公式中的用Xm替代，作為樣本估計總體方差的無偏估計值。2= (X-)2/n2=S2= (X-Xm)2/n7但是，統(tǒng)計學家發(fā)現(xiàn)用這樣的公式求出來的方差低估了總體的變異，因此使用(X-Xm)2/n來估計總體的方差時，分母的n必須改為(n-1)才不會低估總體的方差，這里(n-1)就叫做樣本的自由度。8（1）自由度自由度（degree of freedom, df）是指當以樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)時，樣本中獨立或能自由變化的數(shù)據(jù)的個數(shù)稱為該統(tǒng)計量的自由度。例如，在估計總體的平均數(shù)時，樣本中的n個數(shù)全部加起來，其中

4、任何一個數(shù)都和其他數(shù)據(jù)相獨立，從其中抽出任何一個數(shù)都不影響其他數(shù)據(jù)（這也是隨機抽樣所要求的）。因此一組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)都是獨立的，所以自由度就是估計總體參數(shù)時獨立數(shù)據(jù)的數(shù)目，而平均數(shù)是根據(jù)n個獨立數(shù)據(jù)來估計的，因此自由度為n。9但是為什么用樣本估計總體的方差時，方差的自由度就是(n-1)?2= (X-)2/n從此公式我們可以看出總體的方差是由各數(shù)據(jù)與總體平均數(shù)的差值求出來的，因此必須將固定后才可以求總體的方差。因此，由于被固定，它就不能獨立自由變化，也就是方差受到總體平均數(shù)的限制，少了一個自由變化的機會，因此要從n里減掉一個。10那為什么平均數(shù)被固定后會限制數(shù)據(jù)的自由變化？假設一個樣本有兩個數(shù)

5、值，X1=10,X2=20,我們現(xiàn)在要用這個樣本估計總體的方差，則樣本的平均數(shù)是：Xm= X/n=(10+20)/2=15現(xiàn)在假設我們已知Xm=15,X1=10,根據(jù)公式Xm= X/n，則有：X2=2Xm-X1=215-10=20由此我們可以知道在有兩個數(shù)據(jù)樣本中，當平均數(shù)的值和其中一個數(shù)據(jù)的值已知時，另一個數(shù)據(jù)的值就不能自由變化了，因此這個樣本的自由度就減少一個，變成了（n-1）。依此類推：在一組數(shù)據(jù)中，當其平均數(shù)和前面的數(shù)據(jù)都已知時，最后一個數(shù)據(jù)就被固定而不能獨立變化了，因此這個樣本能夠獨立自由變化的數(shù)目就是（n-1）個.11（2）方差的估計值根據(jù)以上的討論，總體方差的無偏估計值為：S2=

6、 (X-Xm)2/(n-1)12（3）標準差的估計值由上述公式可以進一步推導出以樣本標準差估計總體標準差的公式為：S= (X-Xm)2/(n-1)13二、方差和標準差的計算公式前面提供的方差和標準差公式都是根據(jù)統(tǒng)計的數(shù)學定義列出的，因此稱為定義公式（defining formulas）。這類公式在計算時比較繁瑣，為計算的方便，由定義公式進一步推導出總體方差和標準差的計算公式：2=(X2-(X)2/n)/n=(X2-(X)2/n)/n以樣本方差和標準差估計總體方差和標準差的公式為：S2=(X2-(X)2/n)/(n-1)S=(X2-(X)2/n)/(n-1)14表：方差與標準差的公式摘要使用范圍

7、統(tǒng)計量定義公式計算公式總體方差(2 )(X-)2/n(X2-(X)2/n)/n標準差()(X-)2/n(X2-(X)2/n)/n樣本方差(S2 )(X-Xm)2/(n-1)(X2-(X)2/n)/(n-1)標準差(S)(X-Xm)2/(n-1)(X2-(X)2/n)/(n-1)15由表可以看出計算方差和標準差的兩對公式所算出來的結果是不同的，在實際中應如何運用要根據(jù)是要計算總體的參數(shù)還是樣本的統(tǒng)計量。如果要計算樣本的統(tǒng)計量則用S2和S的公式。如果樣本數(shù)據(jù)已經(jīng)涵蓋整個總體，也就是要計算總體的參數(shù)時，則用2和的計算公式。16三、方差和標準差的計算下面的計算中只討論對一組數(shù)據(jù)的描述，尚不涉及由樣本統(tǒng)

8、計量估計總體參數(shù)的情況，因此在這里這一組數(shù)據(jù)就是涵蓋了整個總體，因此計算公式要采用總體的計算公式。在這里我們不討論總體和樣本的關系問題，因此方差和標準差的符號用S2和S。171、未分組數(shù)據(jù)求方差和標準差S2= (X-Xm)2/nS= S2=(XXm)2/n或者S2=(X2-(X)2/n)/nS=(X2-(X)2/n)/n18例：XiXi-Xm=xX2Xi2600365-1125711494-24166003682464N=6, X=36x=0 x2 =10Xi2 =226192、已分組數(shù)據(jù)求方差和標準差S2= (fd2/N-(fd/N)2)i2S= (fd2/N-(fd/N)2)i其中：d=(

9、Xc-AM)/i, (Xc-為各分組區(qū)間的組中值，f為各分組區(qū)間的次數(shù)，AM為估計平均數(shù)，N=f，I為組距。20表2：50名高中學生數(shù)學成績次數(shù)分布表21四、方差和標準差的意義方差和標準差時表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標，是最常用的差異量數(shù)。其特點有：1、反應靈敏，每個數(shù)據(jù)變化都應在方差上體現(xiàn)；2、計算嚴密；3、容易計算；4、適合代數(shù)運算；5、受抽樣變動影響小；6、簡單明了；7、容易受極端數(shù)據(jù)影響。22四、標準差的應用1、差異系數(shù)同一特質(zhì)使用同一種測量工具得到的不同樣本之間的離散度的比較可以通過直接比較標準差實現(xiàn)。不同特質(zhì)樣本之間的離散度比較可以通過比較差異系數(shù)（coefficient of

10、variation, CV）來實現(xiàn),差異系數(shù)大的則離散程度大。差異系數(shù)的公式為：CV=S/M100%其中： S為樣本標準差，M為樣本平均數(shù)。232、標準分數(shù)（1）定義標準分數(shù)（standard score）又稱為Z分數(shù)，是以標準差為單位表示一個數(shù)在團體中所處位置的相對位置量數(shù)。計算公式為：Z=(X-Xm)/S其中： X代表原始數(shù)據(jù)，Xm平均數(shù)，S為標準差。Z分數(shù)表示其原分數(shù)在該組數(shù)據(jù)分布中，以平均數(shù)為中心時的相對位置。24（2）Z分數(shù)的性質(zhì)一組數(shù)據(jù)中所有由原分數(shù)轉(zhuǎn)換得出的Z分數(shù)的和為零，平均數(shù)也為零。一組數(shù)據(jù)中各Z分數(shù)的標準差為1。25（3）Z分數(shù)的應用可用于比較分數(shù)性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中的相對位置高低。例如：一個20歲的大學生智力測驗中作對了