2022年三重積分的計(jì)算方法與例題

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除三重積分的運(yùn)算方法：三重積分的運(yùn)算是化為三次積分進(jìn)行的；其實(shí)質(zhì)是運(yùn)算一個(gè)定 積分（一重積分）和一個(gè)二重積分；從次序看：假如先做定積分z2fx ,y ,zdz,再做二重積分DFx ,y d,就是“ 投z 1影法” ,也即“ 先一后二” ；步驟為：找及在 xoy 面投影域 D；多 D上一點(diǎn)（ x,y）“ 穿線” 確定 z 的積分限,完成了“ 先一” 這一步（定積分）；進(jìn)而按二重積分的運(yùn)算步驟運(yùn)算投影域D 上的二重積分,完z 2成“ 后二” 這一步；f x , y , z dv f x , y , z dz dD z 1c 2假如先做二重積分 f x , y ,

2、 z d 再做定積分 F z dz,就是“截面D z c 1法” ,也即“ 先二后一” ；步驟為：確定 位于平面 z c 1 與 z c 2 之間,即 z c 1 c 2 ,過(guò) z 作平行于 xoy 面的平面截,截面 D ；區(qū)域 D 的邊界曲面都是 z 的函數(shù)；運(yùn)算區(qū)域 D 上的二重積分 f x , y , z d,完成D zc 2了“ 先二” 這一步（二重積分） ；進(jìn)而運(yùn)算定積分 F z dz,完成“ 后c 1一” 這一步；fx,y,zdvc 2fx ,y,z ddzD 的面積z c 1D z當(dāng)被積函數(shù) f（z）僅為 z 的函數(shù)（與 x,y 無(wú)關(guān)）,且簡(jiǎn)單求出時(shí),“ 截面法” 尤為便利；為了

3、簡(jiǎn)化積分的運(yùn)算,仍有如何挑選適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系運(yùn)算的問(wèn)題；可以按以下幾點(diǎn)考慮： 將積分區(qū)域 面 投影到 xoy 面,得投影區(qū)域 D平（1）D 是 X 型或 Y 型,可挑選直角坐標(biāo)系運(yùn)算 （當(dāng) 的邊界曲word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除面中有較多的平面時(shí),常用直角坐標(biāo)系運(yùn)算）（2）D 是圓域（或其部分）,且被積函數(shù)形如fx2y2,fy時(shí),x可挑選柱面坐標(biāo)系運(yùn)算（當(dāng) 柱面坐標(biāo)運(yùn)算）為圓柱體或圓錐體時(shí),常用（3）是球體或球頂錐體,且被積函數(shù)形如fx2y2z2時(shí),可挑選球面坐標(biāo)系運(yùn)算以上是一般常見(jiàn)的三重積分的運(yùn)算方法；對(duì) 向其它坐標(biāo)面投影或 不易作出的情形不贅述；三重積分的運(yùn)算方法小結(jié)：

4、1.對(duì)三重積分, 采納“ 投影法” 仍是“ 截面法” ,要視積分域 及被積函數(shù) fx,y,z的情形選取；一般地, 投影法（先一后二）：較直觀易把握；截面法（先二后一）：D 是在 z 處的截面,其邊界曲線方程易寫錯(cuò),故較難一些；特別地,對(duì) D 積分時(shí), fx,y,z與 x,y 無(wú)關(guān),可直接運(yùn)算 S D z；因而中只要 z a , b , 且 fx,y,z僅含 z 時(shí),選取“ 截面法” 更佳；2.對(duì)坐標(biāo)系 的選取,當(dāng)為柱體,錐體,或由柱面,錐面,旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z 或zfx2y2時(shí),可考慮用柱面坐標(biāo) 運(yùn)算；三重積分的運(yùn)算方法例題：補(bǔ)例 1：運(yùn)算三重積分I0zdxdy

5、dz,其中為平面xyz1與三個(gè)坐標(biāo)面x0 ,y0,z圍成的閉區(qū)域；0z1xy解 1“ 投影法”1.畫出及在 xoy 面投影域 D. 2. “ 穿線”word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除X 型D：0 xx1x0y101：0y1xy0z1x3.運(yùn)算11x1xyzdz11x1 1xy 2dy111x 2y1x y21y31xdxIzdxdydzdxdydx000220300011 1x 3dx1x3x23 x1x41 016062424y得D ；解 2“ 截面法”1.畫出；2. z0 1, 過(guò)點(diǎn) z 作垂直于 z 軸的平面截D 是兩直角邊為 x,y 的直角三角形,x1z ,1z3.

6、運(yùn)算補(bǔ)例 2：運(yùn)算x2I2zdxdydz1zdxdy111dzz dxdydzzS Dzdz0Dz0Dz01z 1xy dz1zz 1z dz11z22 zz3 dz1 21y0202024y2dv,其中是x2z2和 z=1 圍成的閉區(qū)域；解 1“ 投影法”1.畫出zx22y2消去 z,x2y21及在 xoy 面投影域 D. 由z11即 D：得x2y22. “ 穿線”x2y2z1,word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除:11xX 型yD：x11xx21y1x2112x2x2y2z13.運(yùn)算x2y2dv1dx1xdy1y2x2y2dz1dx1x2x2y2 1x2y2 dy611x

7、 2x 211x 2注：可用柱坐標(biāo)運(yùn)算；解 2“ 截面法”1.畫出； 2. z01,過(guò)點(diǎn) z 作垂直于 z 軸的平面截得D ：x2y2z2Dz：0r20z02用柱坐標(biāo)運(yùn)算:0rz0z13.運(yùn)算1x2y2dxdydz12zr2drdz121r3zdz213 zdz6x2y2dvd0330DzIfx ,y,z 0000：0補(bǔ)例 3：化三重積分dxdydz為三次積分,其中zx22y2及z2x2所圍成的閉區(qū)域；x2y21解： 1.畫出及在 xoy 面上的投影域 D. zx22y2由z2x2消去 z,得即 D：x2y21word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除2.“ 穿線”x22y2z2x

8、2y ,z dzX 型 D：11x11x2y1x21x1：x2y1x2x22y2z2x2I11x22x23運(yùn)算fx ,y ,z dxdydzdxdyfx ,注：當(dāng)fx,11x2x22y2y,z 為已知的解析式時(shí)可用柱坐標(biāo)運(yùn)算；y2所圍成的閉區(qū)域；補(bǔ)例 4：運(yùn)算zdv,其中為z62 xy2及zx2解 1“ 投影法”1.畫出 及在 xoy 面投影域 D, 用柱坐標(biāo)運(yùn)算x r cos由 y r sin 化 的邊界曲面方程為： z=6-r 2,z=r z z22.解 z 6 r 得 r 2D：r 2 即 0 2z r 0 r 20 2“ 穿線”r z 6 r 2: 0 r 22r z 6 r6 r 2

9、 2 2 6 r 2 23運(yùn)算 zdv zdz rdrd d rdr zdz 2 r 1z 2 6r r 2drD r 0 0 r 0 22 22 2 2 2 5 92r 6 r r dr 36 r 13 r r dr；0 0 3解 2“ 截面法”1.畫出z；如圖：2由z6r2及zr圍成；06,0 ,22. 2 ,6 1word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除1由 z=r 與 z=2 圍成；z0,2,D ：rzdzdz92021：0rz0z22由 z=2 與 z=62 r 圍成；z,26 ,D ：r6z022：0r6z2z6263.運(yùn)算zdv=zdvzdvz rdrddzz rd

10、rd120Dz12Dz2626262zS Dz 1dzzS Dz2dzz 2 zdzz 6z2dz3 zdz6z2 z30202020所注：被積函數(shù) z 是柱坐標(biāo)中的第三個(gè)變量,不能用其次個(gè)坐標(biāo)r 代換；補(bǔ)例 5：運(yùn)算x2y2dv,其中由不等式0ax2y22 zA,z確定；解：用球坐標(biāo)運(yùn)算； 由xPcossin的邊界曲面的球坐標(biāo)方程：aAysinsin得,其與 z 軸正向的夾角為,OP=；zcos,連結(jié) OP=：aA,0P 在 xoy 面的投影為 P ,連結(jié)O P,其與 x 軸正向的夾角為；2,02word 可編輯資料收集于網(wǎng)絡(luò),如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除x2y2dv2d2dA2sin22sind=22sin315Ad00a0a5=2A5a52sin3d2A5a5214A5a5505315三重積分的運(yùn)算方法練習(xí)2. 運(yùn)算（x2y