題目3：阻尼比確定

1、題目3：阻尼比確定1.阻尼阻尼是指任何振動(dòng)系統(tǒng)在振動(dòng)中，由于外界作用和系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動(dòng)幅 度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表征。在物理學(xué)和工程學(xué)上，阻尼的力學(xué)模型一般 是一個(gè)與振動(dòng)速度大小成正比，與振動(dòng)速度方向相反的力，該模型稱為粘性阻尼模型，是工 程中應(yīng)用最廣泛的阻尼模型。粘性阻尼模型能較好地模擬空氣、水等流體對振動(dòng)的阻礙作用。粘性阻尼可表示為以下式子：式中尸為阻尼力（N m），v表示振子的運(yùn)動(dòng)速度（m/s），c是表征阻尼大小的常數(shù)，稱為阻 尼系數(shù)（N s/m）。理想的彈簧阻尼器振子系統(tǒng)如下圖所示。d分析其受力分別有：彈性力。為彈簧的勁度系數(shù)，尤為振子偏離平衡位置的位移）:I

2、Fs二 kx阻尼力（c為阻尼系數(shù)，v為振子速度）：凡=-CV. dxex = C dt2.阻尼比假設(shè)振子不再受到其他外力的作用，于是可利用牛頓第二定律寫出系統(tǒng)的振動(dòng)方程:E F = ma =其中a為加速度。上面得到的系統(tǒng)振動(dòng)方程可寫成如下形式，問題歸結(jié)為求解位移x關(guān)于時(shí)間t函數(shù)的二階常微分方程： 將方程改寫成下面的形式:ckT + i + T = 0. mm然后為求解以上的方程，定義兩個(gè)新參量：c = 2/km上面定義的第一個(gè)參量。計(jì)，稱為系統(tǒng)的（無阻尼狀態(tài)下的）固有頻率。第二個(gè)參量稱 為阻尼比。根據(jù)定義，固有頻率具有角速度的量綱，而阻尼比為無量綱參量。阻尼比也定義 為實(shí)際的粘性阻尼系數(shù)C與臨

3、界阻尼系數(shù)匕之比。Z = 1時(shí)，此時(shí)的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼 系數(shù)C,。3.阻尼比計(jì)算公式由上述分析可知，微分方程化為：x I c2.nx I 心.哉=0.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，假設(shè)方程解的形式為-ftI = e-其中參數(shù)Y 一般為復(fù)數(shù)。將假設(shè)解的形式代入振動(dòng)微分方程，得到關(guān)于丫的特征方程：+ 2（7 + 必=。解得Y為：7 = %（- 士 肥- 1）.當(dāng)0 z 1時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程的解可寫成：其中D經(jīng)過一個(gè)周期td后，相鄰兩個(gè)振幅a.和q+1的比值為A Ae -3七 此tA Ae -（t.+td）D由此可得lnAiAi +12兀.=豹T =3 OD如果& 0.2，則一D機(jī)L而&r Lln _A2兀 Ai+1同樣，用4和氣表是兩個(gè)相隔n個(gè)周期的振幅，可得1I InAiAi + nr In2 K nAl_Ai+1參考文獻(xiàn)龍馭球，包世華主編