圓錐曲線題型歸納剖析

1、 專題直線與圓錐曲線一、高考命題趨勢1、圓錐曲線方程是歷年高考命題的熱點，圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義是每年必考內(nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，分值大約是910分。直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，多是綜合題，分值大約是1213分，考查綜合能力的應用，近幾年與平面向量知識相結(jié)合，體現(xiàn)了較強的綜合性。2、選擇題和填空題中，主要考查曲線的幾何性質(zhì)、標準方程等基礎知識、基本技能、基本方法，每年都有考題。3、解答題一定有解析幾何題，綜合考查考生的“四大”能力，其重點是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求曲線的方程，關(guān)于圓錐曲線的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、函數(shù)與方程、邏輯推理能力等數(shù)學思想方法。4、

2、加強探索性題型的考查力度，以平面幾何知識為背景，構(gòu)建了尋求軌跡的探索性問題。5、加強了與其他知識(如平面向量)的綜合，體現(xiàn)了學科間的綜合應用。二、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題解決此類問題常從方程的觀點出發(fā)，把直線與二次曲線的關(guān)系問題等價于直線方程與二次方程聯(lián)立的方程組解的問題，即等價于消元后的一元二次方程的判別式情況。這是代數(shù)方法研究兩曲線位置關(guān)系的基礎。此類問題常涉及到直線被二次曲線截得的弦長問題；二次曲線上關(guān)于已知直線對稱的兩點問題；直線與二次曲線相交、相切條件下某些關(guān)系的確立及其一些字母范圍的確定問題。處理以上問題常常用到：一元二次方程的韋達定理、整體思想、“設而不求、間接考慮問題的思想

3、方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法。x2y2例1(06湖北)設A,B分別為橢圓一+1=l(a,b0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長a2b2等于焦距，且x=4為它的右準線。求橢圓的方程；設P為右準線上不同于點(4,0)的任意一點，若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。例2(06安徽)如圖，F(xiàn)為雙曲線C：=l(a0,b0)的右焦點。P為雙曲線C右a2b2支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點。已知四邊形OFPM為平行四邊形，PF=九OF。寫出雙曲線C的離心率e與九的關(guān)系式；當九二1時，經(jīng)過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若|AB|=1

4、2，求此時的雙曲線方程。三、解析幾何中的最值問題1、圓錐曲線上本身存在最值問題，如：橢圓上兩點間最大距離為2a，雙曲線上兩點間最小距離為2a,橢圓的焦半徑的取值范圍為a-c,a+c，拋物線上頂點與拋物線的準線距離最近。2、圓錐曲線上的點到定點的距離最值，常用兩點間距離公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的二次函數(shù)最值解決，有時也用圓錐曲線的參數(shù)方程，化為三角函數(shù)的最值問題。3、圓錐曲線上的點到定直線的距離最值解法同上，或可用平行切線法。4、點在圓錐曲線上條件下，求相關(guān)一式子的取值范圍，常用參數(shù)方程代入轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，或根據(jù)平面幾何知識或引入一個參數(shù)(有幾何意義)化為函數(shù)進行處理。5、由直線和圓錐曲線的位

5、置關(guān)系，求直線中或圓錐曲線中某個參數(shù)滿足的范圍，解決方法常把所求參數(shù)作為函數(shù)，另一變元作為自變量求解。6、求范圍的方法同求最值及函數(shù)的值域的方法類似，求法有兩種：代數(shù)法和幾何法。7、解析幾何中的定值問題：涉及圓錐曲線的定值問題；涉及直線過定點的問題例3、P、Q、M、N四點都在橢圓x2+22=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點已知PF2與FQ共線，mF與fN共線，且pFmF=o,求四邊形pmqn的面積的最小值和最大值.例4(06全國)已知拋物線x2=4y的焦點為F,A.B是拋物線上的兩動點，且AF=AFB(久0).過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M.-證明FMAB為定值；設AABM的面

6、積為S,寫出S=f(X)的表達式，并求S的最小值.四、求軌跡的常用方法：直接法：直接通過建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成F(x,y)=0,是求軌跡的最基本的方法；待定系數(shù)法：所求曲線是所學過的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；代入法(相關(guān)點法或轉(zhuǎn)移法)：若動點P(x,y)依賴于另一動點Q(x1，y1)的變化而變化，并且Q(xl，yl)又在某已知曲線上，貝卩可先用x、y的代數(shù)式表示x】、y1，再將x】、yl帶入已知曲線得要求的軌跡方程；定義法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某已知曲線的定義，貝可由曲線的定義直接寫出方程；參數(shù)法：當動點P(

7、x,y)坐標之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x、y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消例5、已知過點A(1，0)且互相垂直的兩動直線與直線x=-1分別相交于E、F兩點，O為坐標原點，動點P滿足EP/OA,FO/0P.求動點P的軌跡C的方程；若直線l:y=k(x+1)與(1)中軌跡C交于M、N兩點，且AM-AN0，求k的取值范圍.x2y2例6(06江西)如圖，橢圓Q：+一=1(ab0)的右焦點F(c，0)，過點F的一a2b2動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點求點P的軌跡H的方程兀在Q的方程中，令a2=1+cos0+sin0，b2=sin0

8、(00b0)的兩個焦點為耳,F2，點P在橢圓C上，且a2b212414PF丄FF,1PFI二,1PFI二.1121323求橢圓C的方程；若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于A,B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程.2、(06福建)已知橢圓+y2=1的左焦點為F,O為坐標原點。求過點O、F,并且與橢圓的左準線/相切的圓的方程；設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G,求點G橫坐標的取值范圍。練習二1、設雙曲線C：-y2=1(a0)與直線l:x+y二1相交于兩個不同的點A、B.a2求雙曲線C的離心率e的取值范圍：設直線l與y軸

9、的交點為P,且pA=pB，求a的值x2y22、如圖，點A、B分別是橢圓二7+石？=1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點.點P3620在橢圓上,且位于x軸的上方,PA丄PF.(1)求點P的坐標;設M橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于|MB，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.練習三1、(06陜西)如圖,三定點A(2,l),B(0,1),C(2,1),三動點D,E,M滿足AD=tAJB,BE=tBC,DM=tDE,tW0,1,(I)求動直線DE斜率的變化范圍，(II)求動點M的軌跡方程.2、(06廣東)設函數(shù)f(x)=-x3+3x+2分別在x、x處取得極小值、極大值.xoy平面上12點

10、A、B的坐標分別為(x,f(x)、(x,f(x),該平面上動點P滿足PAPB=4,點Q是1122點P關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點求求點A、B的坐標；(II)求動點Q的軌跡方程.解析幾何選擇題練習TOC o 1-5 h zx2y25(1)若雙曲線一一1的離心率為丁，則兩條漸近線的方程為()a2b24A、B、169C、D、(2)過點(1,3)作直線l，若l經(jīng)過點(a,0)和(0,b)，且a,beN*，則可作出的l的條數(shù)為()A、1B、2C、3D、多于3半徑不等的兩定圓O、O無公共點，動圓O與O、O都內(nèi)切，則圓心O的軌跡1212是()A、雙曲線的一支B、橢圓C、雙曲線的一支或橢圓D、拋物線或橢圓

11、P(x,y)是直線L:f(x,y)=0上的點，P(x,y)是直線L外一點，則方程111222f(x,y)+f(x,y)+f(x,y)=0所表示的直線與直線L()1122A、相交但不垂直B、垂直C、平行D、重合為()A、y2二2xIy=0B、y2二2x和仁0C平面上的動點P到定點F(1,0)的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1,則動點P的軌跡方程Iy=0y2二4xd、y2二4x和x0(6)設坐標原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，則OAOB=A、B、C、3D、-3xyx2y2(7)直線丁+寸二1與橢圓p+令=1相交于A、B兩點，橢圓上的點P使APAB的43169面積等于12,這樣的點P

12、共有()個A、1B、2C、3D、4(8)設f(x)=x2+ax+b，且1f(1)2，2f(1)-2且縱截距和橫截距相等的直線共有()C、4條D、6條(10)直線y二x-tana+2,ag(,兀)的傾斜角是()A、aB、aC、aD、兀一a2x2y2(11)設雙曲線=1(ab0)的半焦距為C,直線L過(a，0),(0，b)兩點，已知a2b2原點到直線L的距離為訃C，則雙曲線的離心率為()A、2D、(12)已知二面角al卩的平面角為0，PA丄a，PB丄0，A，B為垂足，且PA=4,值范圍是()33A、0k1B、0kc、1kD、1k0,b）的離心率分別為卞分則當a、b變化時,e2+e2最小值是（）A、

13、4C、D、2（19）已知Q是三角形的一個內(nèi)角，且sind+cosQ=5則方程x2sinay2cos=1表示（）A、焦點在x軸上的雙曲線焦點在x軸上的橢圓C、B、焦點在y軸上的雙曲線D、焦點在y軸上的橢圓20)已知實數(shù)x,y滿足3x2+2y2二6x,則x2+y2的最大值是()A、B、4C、5D、2且滿足：雙曲線y2=1（n1）的焦點為耳、F2，P在雙曲線上,n12， TOC o 1-5 h zPF+PF=/n+2，則apF2的面積是()1212A、1B、2C、4D、2過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有()A、1條B、2條C、3條D、0條x2y2過點A(a，0

14、)作橢圓C:+=1的弦，弦中點的軌跡仍是橢圓，記為C2,1a2b22若C和C的離心率分別為e和e，則e和e的關(guān)系是()。12A、e=eB、e=2eC2e=eD、不能確定在直角坐標系中，方程C+y1)、：3+2xx2y=0所表示的曲線為()A、一條直線和一個圓B、一條線段和一個圓C、一條直線和半個圓D、一條線段和半個圓已知實數(shù)x，y滿足2x+y+5=0，那么Jx2+y2的最小值為()A、5B、近0C、2応D、2.10(26)若直線y=x+b與曲線x2+y2=4(y0)有公共點，則b的取值范圍是()A.2,2B、0,2C、2,2、：2D、2,2*2x0,當x、y滿足約束條件yx,(k為常數(shù))時，能

15、使z=x+3y的最大2x+y+k0值為12的k的值為()A、9B、9C、12D、12對于拋物線C：y2=4x,稱滿足y24x的點M(x,y)在拋物線內(nèi)部，若0000點M(“,y0)在拋物線內(nèi)部，則直線1:尸=2(x+“)與曲線C()B、恰有兩個公共點D、無公共點A、恰有一個公共點C、可能有一個公共點也可能有2個公共點例題答案例1、解：(I)依題意得a=2c,a2=4,解得a=2,c=l,從而b=f3.cx2y2故橢圓的方程為T+丁=1(II)解法1：由(I)得A(-2,0),B(2,y0).m點在橢圓上，=44-x02)又點M異于頂點A、B,一20,BMBP0,貝kMBP為銳角，從而ZMBN為

16、鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由(I)得A(2,0),B(2,0).設Mg,y),N(x2,y2)，x+xy+y則一2x7v2,2x2v2，又MN的中點Q的坐標為(.2,),1222依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差I(lǐng)BQ卩4MN|2=(-2)2+()2-4(xi-x2)2+(yl-y2)2=(X2)(x2-2)+yly2Qy又直線AP的方程為y=i(x+2)，直線BP的方程為y=x+21而點兩直線AP與BP的交點P在準線x=4上,6y6y1=2x+2x212Q4Q53(x2)y21x+21x2y23又點M在橢圓上，則才+丁=1，即y12二a(4x12)2(2x)(x2)02

17、kx+x=122+k21xx=122+k2/|PQ、：1+k2|xx|=+k2(x+x)24xx=2；(1；)當k#(時，直線MN方程為：y二1x+1,kIT2冋+右)2核k2+1)2k2+1同理可得MN占22+1k2:SpmqNQ2MN=22邁(1+k2)2+k22伍k2+1)4(2+k2+kz)2k2+15+2(k2+丄)k2令u=k2+2得S2(1k25+2u5+2u等號成立.當k=0時，MN2邁，|PQ-邁,S=22)綜合1),罟S2，當且僅當k=1時,和知，四邊形PMQN面積的最大值為2,最小值為靂解:(I)由已知條件，得F(0,1),40.設A(X,y1),B(x2,y2).由AF

18、=2FB,即得(一xl,1y)=2(x2,y21),一兀廠空iy1=2(y2i)將式兩邊平方并把歹1=4兀12，歹2=4兀22代入得歹1=22歹2解、式得y1=2,y2=!，且有兀占2=2x22=42y2=4,拋物線方程為y=4x2，求導得y=所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是1丄y=2x1x4x12,11y=2x2x4x22-TOC o 1-5 h zxxxxxx解出兩條切線的交點M的坐標為(七4,亍)=(七,1).4分-xx111所以FMAB=(Y,2).(x2X,y2y)=2(x22X2)2(4x224X2)=0-所以FMAB為定值，其值為0.7分(II)由(I)知在AABM中，F(xiàn)

19、M丄AB,因而S=|lABIIFMI.X+x2,()2+(2)2=|I4X12+4X22+2X1X2+42+2+2=因為IAFI、IBFI分別等于A、B到拋物線準線y=1的距離，所以|FM|IABI=IAFI+IBFI=y1于是S=|ABIIFMI=(収+吉)3，由2+吉上2知S24,且當2=1時，S取得最小值4.例5、解：(I)設點P的坐標是(x,y),IPOA(1OOF(1=)AE=(2,y),AF=(-2,-蘭),AE-AF=034-丄=0,XX點P軌跡方程是Y2二4x（x豐0）(II)設Mxp宀,仏，聯(lián)立方程組仁：+1)=k2x2+3-4)x+k2=0,k豐0A0則有42k2X+X=1

20、2k2XX=1120k20n(x1)(x1)+yy20o(x1)(x1)+k2(x+1)(x+1)012121212(1+k2)xx+(k21)(x+x)+1+k201+k2+(k21)121242k2k2+1+k20ok22-2k2b0）a2b2上的點A(X,y1)B(x2，y2),又設P點坐標為|b2X2+a2y2=a2b2(1)2)11Ib2X2+a2y2=a2b2221。當AB不垂直x軸時，x產(chǎn)x2,由(1)(2)得b2(XX2)2x+a2(y1_y2)2y=0.yyb2xy.12一一xxa2yxc12/.b2x2+a2y2b2cx0(3)2。當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程

21、(3)故所求點P的軌跡方程為：b2x2+a2y2b2cx0a2（2）因為，橢圓Q右準線/方程是x=，原點距/cTOC o 1-5 h za2兀的距離為一，由于c2=a2b2,a2=1+cos0+sin0,b2=sin0（00B(x2,y2),三角形ABD的面積111S=2嘰|+2劃=2嘰y*設直線m的方程為x=ky+1,代入+y2=1中，得（2+k2）y2+2ky1=02k1由韋達定理得y1+y2=2+2,y1y2=2+k2,8（k2+1）4S2=（y12）2=（兒七2）24y?2=（k2+2）2令t=k2+11,得4S2=島=理(x2,y2).已知圓的方程為(x+2)2+(y1)2=5,所以

22、圓心M的坐標為(一2,1).從而可設直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0.x+x18k2+9k小因為A,B關(guān)于點M對稱.所以i2=-=一2.24+9k288解得k=9，所以直線l的方程為y二9(x+2)+1，即8x-9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意)解法二：(I)同解法一.(II)已知圓的方程為(x+2)2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標為(-2,1).設A,B的坐標分別為(x1，y1),(x2，y2).由題意乳嚴x2且1,x2+=1,由得（X1一X2）（X1+X2）+（叮歹2）（人+歹2）=

23、0.94因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+x2=4,y1+y2=2,y-y8代入得2=x-x9128即直線l的斜率為9，8所以直線l的方程為y1=9(x+2),即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.)2、解：(I)a2=2,b2=1,c=1,F(-1,0),l:x=-2.t圓過點O、F,1.圓心M在直線x=上。1設M(-,t),則圓半徑 r=(-2)-(2)解得t=2.l9所求圓的方程為(x+怎)2+(y2)2=.4(II)設直線AB的方程為y=k(x+1)(k豐0),代入一+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k22=0.2-直線AB過橢圓的左焦點F,二方程有兩個

24、不等實根。記A(x,y),B(x,y),AB中點N(x,y),112200貝yx+x=124k22k2+1AB的垂直平分線NG的方程為y-yo=-1(x-叮令y=0,得2k2k2k211x=x+ky=+=+G002k2+12k2+12k2+124k2+2k豐0,.x0.解得0a12且a豐1雙曲線的離心率e=X，1+=a+1.0a-2且幺豐、d，即離心率e的取值范圍是2)U(*2+s)(II)設A(x,y),B(x,y),P(0,1)11221PA=PB,(x,y一1)=(x,y一1).由此得x=x121112221122由于x,x都是方程的根，且1a2豐0，12173所以17x=一丄巴,2x2

25、=一丄巴消去x得-丄巴=289由a0,所以a1221a21221a221a2602、解(1)由已知可得點A(6,0),F(0,4)設點P(x,y),則AP=x+6,y,FP=x4,y，由已知可得蘭+22=13620-(x+6)(x4)+y2=03則2x2+9x18=0,x=或x=6.由于y0,只能x=2，于是y孚.點p的坐標是(3)直線AP的方程是Xf3y+6=0.設點M(m,0),則M到直線AP的距離是m+6|Tm+6|.于是一2=|m+6|,又一6m6,解得m=2.橢圓上的點(x,y)到點M的距離d有549d2=(x2)2+y2=x4x2+4+209x2=(x)2+15,由于一6m6,當x=2時,d取得最小值V15練習三：1、解法一：如圖，(I)設D(x0,y0),E(xE，yE),M(x,y).由AD=tAJB,BE=tBC,知x=2t+2廠蝕fx=2tkDExEx血2,yg2,2).“：=2t+1同理y：=2t_12t1(2t+1)2t(2t+2)=12tt0,1,.k1,1.DE(II).DM=tDE(x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=(