四邊形綜合題2022年上海數(shù)學(xué)中考二模匯編

1、四邊形綜合題2022年上海數(shù)學(xué)中考二模匯編如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AC 與 BD 相交于點(diǎn) O，過點(diǎn) B 作 BEAC，聯(lián)結(jié) OE 交 BC 于點(diǎn) F，點(diǎn) F 為 BC 的中點(diǎn)(1) 求證：四邊形 AOEB 是平行四邊形；(2) 如果 OBC=E，求證：BOOCABFC已知：如圖，在四邊形 ABCD 中，ADBC，點(diǎn) E 在 AD 的延長線上，ACE=BCD，EC2=EDEA(1) 求證：四邊形 ABCD 為梯形(2) 如果 ECEA=ABAC，求證 AB2=EDBC如圖，已知在正方形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，點(diǎn) M 在線段 OD 上，連接 AM 并延長交邊

2、 DC 于點(diǎn) E，點(diǎn) N 在線段 OC 上，且 ON=OM，連接 DN 與線段 AE 交于點(diǎn) H，連接 EN，MN(1) 如果 ENBD，求證：四邊形 DMNE 是菱形；(2) 如果 ENDC，求證：AN2=NCAC如圖，平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H 分別在 AB，BC，CD，AD 邊上且 AE=CG，AH=CF(1) 求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形；(2) 如果 AB=AD，且 AH=AE，求證：四邊形 EFGH 是矩形已知：如圖，在平行四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 與 BD 相交于點(diǎn) E，過點(diǎn) E 作 AC 的垂線交邊 BC 于點(diǎn) F，與 AB 的延長線交于點(diǎn)

3、M，且 ABAM=AEAC求證：(1) 四邊形 ABCD 矩形；(2) DE2=EFEM已知：如圖，在菱形 ABCD 中，AC=2，B=60點(diǎn) E 為邊 BC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn) B，C 不重合），EAF=60，AF 與邊 CD 相交于點(diǎn) F，連接 EF 交對(duì)角線 AC 于點(diǎn) G設(shè) CE=x，EG=y(1) 求證：AEF 是等邊三角形；(2) 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出 x 的取值范圍；(3) 點(diǎn) O 是線段 AC 的中點(diǎn)，連接 EO，當(dāng) EG=EO 時(shí)，求 x 的值如圖，已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，ADBC，AB=BC=1，E 是邊 AB 上一點(diǎn)，連接 CE(1)

4、 如果 CE=CD，求證：AD=AE；(2) 連接 DE，如果存在點(diǎn) E，使得 ADE，BCE 和 CDE 兩兩相似，求 AD 的長；(3) 設(shè)點(diǎn) E 關(guān)于直線 CD 的對(duì)稱點(diǎn)為 M，點(diǎn) D 關(guān)于直線 CE 的對(duì)稱點(diǎn)為 N，如果 AD=23，且 M 在直線 AD 上時(shí)，求 DNEM 的值已知：如圖，在平行四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O，點(diǎn) E 是 DB 延長線上的一點(diǎn)，且 EA=EC，分別延長 AD，EC 交于點(diǎn) F(1) 求證：四邊形 ABCD 為菱形；(2) 如果 AEC=2BAC，求證：ECCF=AFAD如圖，在平行四邊形 ABCD 中，BE，DF 分別是平行四

5、邊形的兩個(gè)外角的平分線，EAF=12BAD，邊 AE，AF 分別交兩條角平分線于點(diǎn) E，F(xiàn)(1) 求證：ABEFDA；(2) 連接 BD，EF，如果 DF2=ADAB，求證：BD=EF已知：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，延長 BA 至點(diǎn) E，使得 AE=AB，連接 DE，AC點(diǎn) F 在線段 DE 上，連接 BF，分別交 AC，AD 于點(diǎn) G，H(1) 求證：BG=GF；(2) 如果 AC=2AB，點(diǎn) F 是 DE 的中點(diǎn)，求證：AH2=GHBH如圖 1，由于四邊形具有不穩(wěn)定性，因此在同一平面推矩形的邊可以改變它的形狀（推移過程中邊的長度保持不變）已知矩形 ABCD，AB=4cm，AD=

6、3cm，固定邊 AB，推邊 AD，使得點(diǎn) D 落在點(diǎn) E 處，點(diǎn) C 落在點(diǎn) F 處(1) 如圖 2，如果 DAE=30，求點(diǎn) E 到邊 AB 的距離；(2) 如圖 3，如果點(diǎn) A，E，C 三點(diǎn)在同一直線上，求四邊形 ABFE 的面積如圖，E，F(xiàn) 分別是正方形 ABCD 的邊 DC，CB 的中點(diǎn)，以 AE 為邊作正方形 AEHG，HE 與 BC 交于點(diǎn) Q，連接 AQ，DF(1) 求證：AEDF；(2) 設(shè) SCEQ=S1，SAED=S2，SEAQ=S3，求證 S1+S2=S3在邊長為 2 的菱形 ABCD 中，E 是邊 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F，G，H 分別在邊 AB，BC，CD 上，且 FGE

7、F，EHEF(1) 如圖 1，當(dāng)點(diǎn) F 是邊 AB 中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形 EFGH 是矩形；(2) 如圖 2，當(dāng) BGGC=12 時(shí)，求 FGEH 值；(3) 當(dāng) cosD=513，且四邊形 EFGH 是矩形時(shí)（點(diǎn) F 不與 AB 中點(diǎn)重合），求 AF 的長如圖，已知 C 是線段 AB 上的一點(diǎn)，分別以 AC，BC 為邊在線段 AB 同側(cè)作正方形 ACDE 和正方形 CBGF，點(diǎn) F 在 CD 上，連接 AF，BD，BD 與 FG 交于點(diǎn) M，點(diǎn) N 是邊 AC 上的一點(diǎn)，連接 EN 交 AF 與點(diǎn) H(1) 求證：AF=BD；(2) 如果 ANAC=GMGF，求證：AFEN如圖，已知四邊形

8、ABCD 菱形，對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O，DHAB，垂足為點(diǎn) H，交 AC 于點(diǎn) E，連接 HO 并延長交 CD 于點(diǎn) G(1) 求證：DHO=12BCD；(2) 求證：HGAE=2DECG如圖，已知正方形 ABCD 中，BC=4，AC，BD 相交于點(diǎn) O，過點(diǎn) A 作射線 AMAC，點(diǎn) E 是射線 AM 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 OE 交 AB 于點(diǎn) F，以 OE 為一邊，作正方形 OEGH，且點(diǎn) A 在正方形 OEGH 的內(nèi)部，連接 DH(1) 求證：EDOEAO；(2) 設(shè) BF=x，正方形 OEGH 的邊長為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3) 連接 AG，當(dāng) AE

9、G 是等腰三角形時(shí)，求 BF 的長如圖，已知四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) E 在對(duì)角線 AC 上，點(diǎn) F 在邊 CD 上（點(diǎn) F 與點(diǎn) C，D 不重合），BEEF，且 ABE+CEF=45(1) 求證：四邊形 ABCD 是正方形；(2) 連接 BD，交 EF 于點(diǎn) Q，求證：DQBC=CEDF如圖，已知在平行四邊形 ABCD 中，AEBC，垂足為 E，CE=AB，點(diǎn) F 為 CE 的中點(diǎn)，點(diǎn) G 在線段 CD 上，連接 DF，交 AG 于點(diǎn) M，交 EG 于點(diǎn) N，且 DFC=EGC(1) 求證：CG=DG；(2) 求證：CG2=GMAG如圖，已知四邊形 ABCD 是菱形，對(duì)角線 AC，BD

10、相交于點(diǎn) O，BD=2AC過點(diǎn) A 作 AECD，垂足為點(diǎn) E，AE 與 BD 相交于點(diǎn) F過點(diǎn) C 作 CGAC，與 AE 的延長線相交于點(diǎn) G求證：(1) ACGDOA；(2) DFBD=2DEAG已知：如圖，在矩形 ABCD 中，過 AC 的中點(diǎn) M 作 EFAC，分別交 AD，BC 于點(diǎn) E，F(xiàn)(1) 求證：四邊形 AECF 是菱形；(2) 如果 CD2=BFBC，求 BAF 的度數(shù)如圖，已知四邊形 ABCD，ADBC，對(duì)角線 AC，BD 交于點(diǎn) O，DO=BO，過點(diǎn) C 作 CEAC，交 BD 的延長線于點(diǎn) E，交 AD 的延長線于點(diǎn) F，且滿足 DCE=ACB(1) 求證：四邊形

11、ABCD 是矩形；(2) 求證：DEEF=ADCD如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) M 是邊 BC 上的一點(diǎn)（不與 B，C 重合），點(diǎn) N 在 CD 邊的延長線上，且滿足 MAN=90，連接 MN，AC，MN 與邊 AD 交于點(diǎn) E(1) 求證：AM=AN；(2) 如果 CAD=2NAD，求證：AM2=ACAE如圖，在 ABC 中，C=90，點(diǎn) D 為邊 BC 上一點(diǎn)，點(diǎn) E 為邊 AB 的中點(diǎn)，過點(diǎn) A 作 AFBC，交 DE 的延長線于點(diǎn) F，連接 BF(1) 求證：四邊形 ADBF 是平行四邊形；(2) 當(dāng) ADF=BDF 時(shí)，求證：BDBC=2BE2已知：如圖，在梯形 ABCD 中，A

12、DBC，ABC=90，AB=4，AD=8，sinBCD=45，CE 平分 BCD，交邊 AD 于點(diǎn) E，連接 BE 并延長，交 CD 的延長線于點(diǎn) P(1) 求梯形 ABCD 的周長；(2) 求 PE 的長如圖，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 邊的中點(diǎn)，BEAC，垂足為點(diǎn) F，連接 DF(1) 求證：CF=2AF；(2) 求 tanCFD 的值已知：如圖，四邊形 ABCD 中，DBBC，DB 平分 ADC，點(diǎn) E 為邊 CD 的中點(diǎn)，ABBE(1) 求證：BD2=ADDC；(2) 連接 AE，當(dāng) BD=BC 時(shí)，求證：ABCE 為平行四邊形如圖，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AC，BD

13、 相交于點(diǎn) O，ABAC，AD=CD，AB=3，BC=5求：(1) tanACD 的值；(2) 梯形 ABCD 的面積如圖 1，在 RtABC 中，ACB=90，點(diǎn) D 是邊 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 在邊 BC 上，AE=BE，點(diǎn) M 是 AE 的中點(diǎn)，連接 CM，點(diǎn) G 在線段 CM 上，作 GDN=AEB 交邊 BC 于 N(1) 如圖 2，當(dāng)點(diǎn) G 和點(diǎn) M 重合時(shí)，求證：四邊形 DMEN 是菱形；(2) 如圖 1，當(dāng)點(diǎn) G 和點(diǎn) M，C 不重合時(shí)，求證：DG=DN已知：如圖，在平行四邊形 ABCD 中，AC 為對(duì)角線，E 是邊 AD 上一點(diǎn)，BEAC 交 AC 于點(diǎn) F，BE，CD 的延

14、長線交于點(diǎn) G，且 ABE=CAD(1) 求證：四邊形 ABCD 是矩形；(2) 如果 AE=EG，求證：AC2=BCBG如圖，已知 ABC 是等邊三角形，點(diǎn) D，E 分別在邊 BC，AC 上，且 CD=CE，連接 DE 并延長至點(diǎn) F，使 EF=AE，連接 AF，CF，連接 BE 并延長交 CF 于點(diǎn) G(1) 求證：BC=DF；(2) 若 BD=2DC，求證：GF=2EG如圖，梯形 ABCD 中，ABCD，ABC=90，AB=6，BC=8，tanD=2，點(diǎn) E 是射線 CD 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) C 重合），將 BCE 沿著 BE 進(jìn)行翻折，點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn) F(1) 如圖 1，當(dāng)點(diǎn) F

15、 落在梯形 ABCD 的中位線 MN 上時(shí)，求 CE 的長；(2) 如圖 2，當(dāng)點(diǎn) E 在線段 CD 上時(shí)，設(shè) CE=x，SBFCSEFC=y，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3) 如圖 3，聯(lián)結(jié) AC，線段 BF 與射線 CA 交于點(diǎn) G，當(dāng) CBG 是等腰三角形時(shí)，求 CE 的長答案1. 【答案】(1) BEAC， COFBFE， OCBE=CFBF , 點(diǎn) F 為 BC 的中點(diǎn)， CF=BF， OC=BE， 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AO=CO， AO=BE， BEAC， 四邊形 AOEB 是平行四邊形(2) 四邊形 AOEB 是平行四邊形， BAO=E， OB

16、C=E， BAO=OBC， ACB=BCO， COBCBA， BOAB=BCAC， 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AC=2OC， 點(diǎn) F 為 BC 的中點(diǎn)， BC=2FC， BOAB=FCOC，即 BOOC=ABFC2. 【答案】(1) EC2=EDEA， ECED=EAEC，而 E=E， ECAEDC， EAC=ECD，又 ACE=BCD， ACE-ACD=BCD-ACD，即 ECD=BCA， EAC=BCA， AEBC， ADBC，故四邊形 ABCD 是梯形(2) 由（1）可知 ECAEDC， ECEA=CDAC 即得 ECCD=EAAC，而由已知 ECEA=ABAC 可得 ECAB=

17、EAAC， CD=AB，即梯形 ABCD 是等腰梯形， B=BCD，而 BCD=EDC， B=EDC，由（1）知 BCA=ECD， ABCEDC， ABED=BCCD，而 AB=CD， AB2=EDBC，故 AB2=EDBC 得證3. 【答案】(1) 如圖 1， 四邊形 ABCD 是正方形， OA=OB=OC=OD，ACBD， ON=OM， ONOC=OMOD， MNCD，又 ENBD， 四邊形 DMNE 是平行四邊形，在 AOM 和 DON 中， AOM=DON=90，OA=OD，OM=ON， AOMDONSAS， OMA=OND， OAM+OMA=90， OAM+OND=90， AHN=9

18、0 DNME， 平行四邊形 DMNE 是菱形(2) 如圖 2， MNCD， ANNC=AMME， 四邊形 ABCD 是正方形， ABDC，AB=DC，ADC=90， ADDC，又 ENDC， ENAD， ACAN=DCDE， ABDC， AMME=ABDE， ANNC=ACAN， AN2=NCAC4. 【答案】(1) 在平行四邊形 ABCD 中，A=C，又 AE=CG，AH=CF， AEHCGF EH=GF在平行四邊形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC， AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即 BE=DG，DH=BF又 在平行四邊形 ABCD 中，B=D， BEFDGH GH=

19、EF 四邊形 EFGH 是平行四邊形(2) 在平行四邊形 ABCD 中，ABCD，AB=CD設(shè) A=，則 D=180- AE=AH， AHE=AEH=180-a2=90-a2 AD=AB=CD，AH=AE=CG， AD-AH=CD-CG，即 DH=DG DHG=DGH=180-180-a2=a2 EHG=180-DHG-AHE=90又 四邊形 EFGH 是平行四邊形， 四邊形 EFGH 是矩形5. 【答案】(1) ABAM=AEAC， ABAC=AEAM，又 CAB=EAM， ABCAEM， ABC=AEM=90，又四邊形 ABCD 為平行四邊形， 四邊形 ABCD 為矩形(2) 四邊形 AB

20、CD 為矩形， AE=BE=DE=CE， EAB=EBA，又 EAB+M=90，EBA+EBF=90， M=EBF，又 FEB=BEM， EFBEBM， EBEM=EFEB， EB2=EFEM， DE2=EFEM6. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD，B=D=60， ABC，ACD 都是等邊三角形， AB=AC，B=ACF=60， BAC=EAF=60， BAE=CAF， BAECAFASA， AE=AF，又 EAF=60， AEF 為等邊三角形(2) 過點(diǎn) E 作 EHAC 于點(diǎn) H，過點(diǎn) F 作 FMAC 于點(diǎn) M， ECH=60， CH=x2，EH=32

21、x， FCM=60，由（1）知，CF=BE=2-x， CM=122-x，F(xiàn)M=322-x， HM=CH-CM=x2-122-x=x-1 EHG=FMG=90，EGH=FGM， EGHFGM， GMHG=FMEH=2-xx， HM-HGHG=2-xx， x-1-HGHG=2-xx， HG=xx-12在 RtEHG 中，EG2=EH2+HG2， y2=32x2+xx-122， y2=x4-2x3+4x24， y=x4-2x3+4x22（舍去負(fù)值），故 y 關(guān)于 x 的解析式為 y=x4-2x3+4x220 x2(3) 如圖， O 為 AC 的中點(diǎn)， CO=12AC=1 EO=EG，EHOC， OH

22、=GH，EOG=EGO， CGF=EOG ECG=60，EC=x， CH=x2， OH=GH=OC-CH=1-x2， OG=2OH=2-x， CG=OC-OG=x-1 CGF=EOC，ECO=GCF=60， COECGF， COCG=CECF， 1x-1=x2-x，整理得 x2=2， x=2（舍去負(fù)值），經(jīng)檢驗(yàn) x 是原方程的解故 x 的值為 27. 【答案】(1) 如圖，過 C 點(diǎn)作 CFAD，交 AD 的延長線于 F， ADBC，ABBC，AB=BC， 四邊形 ABCF 是正方形， AB=BC=CF=FA，又 CE=CD， RtCBERtCFDHL， BE=FD， AD=AE(2) 若 E

23、DC=90 時(shí)，若 ADE，BCE 和 CDE 兩兩相似，那么 A=B=EDC=90，ADE=BCE=DCE=30，在 CBE 中， BC=1， BE=13=33，CE=233， AB=1， AE=1-33=3-33， AD=3AE=33-33=33-33=3-1，此時(shí) EDCE=2AE2BE=AEBE=3-3333=3-1BEEC， CDE 與 ADE，BCE 不相似；如圖，若 DEC=90 時(shí)， ADE+A=BEC+DEC，DEC=A=90， ADE=BEC，且 A=B=90， ADEBEC， AED=BCE，若 CDE 與 ADE 相似， AB 與 CD 不平行， AED 與 EDC 不

24、相等， AED=BCE=DCE， 若 CDE 與 ADE，BCE 相似， AEBC=DEEC=BEBC， AE=BE， AB=1， AE=BE=12， AD=14(3) 連接 EM 交 CD 于 Q，連接 DN 交 CE 于 P，連接 ED，CM，作 CFAD 于 F， E 關(guān)于直線 CD 的對(duì)稱點(diǎn)為 M，點(diǎn) D 關(guān)于直線 CE 的對(duì)稱點(diǎn)為 N， CPD=CQE=90，DC 垂直平分 EM，PCD=QCE， CDPCEQ， DPEQ=DCCE， ADBC，ABBC，AD=23，AB=BC=1， CD=103， CD 垂直平分 EM， DE=DM，CE=CM，在 RtCBE 和 RtCFM 中，

25、 CB=CF，EC=CM， RtCBERtCFMHL， BE=FM，設(shè) BE=x，則 FM=x， ED=DM，且 AE2+AD2=DE2， 1-x2+49=13+x2， x=12， CE=52， DCCE=10325=223， DN=2DP，EM=2EQ， DNEM=2DP2EQ=DCCE=2238. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 是平行四邊形， OA=OC，又 EA=EC， EOAC， 四邊形 ABCD 是菱形(2) AEB=CEB=12AEC，平行四邊形 ABCD 為菱形， AEB=CEB=BAC=BCA=DAC=DCA，CDF=DAC+DCA=AEF， FCDFAE， FCFA=CD

26、AE， CD=AD，AE=CE， FCFA=ADCE，即 ECCF=AFAD9. 【答案】(1) EAF=12BAD， DAF+BAE=12BAD， DF 平分 HDC， HDF=12HDC，又 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ABCD， BAD=CDH， HDF=EAF， HDF=DAF+BAE，又 HDF=DAF+F， BAE=F，同理：DAF=E， ABEFDA(2) 作 AP 平分 DAB 交 CD 于點(diǎn) P DAP=12BAD， HDF=12CDH，且 BAD=CDH， HDF=DAP， DFAP，同理：BEAP， DFBE， ABEFDA， ADBE=DFAB，即 BEDF=AD

27、AB，又 DF2=ADAB， BE=DF， 四邊形 DFEB 是平行四邊形， BD=EF10. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB=CD，ABCD， AB=AE， AE=CD， 四邊形 ACDE 是平行四邊形， ACDE， BGGF=ABAE=1， BG=GF(2) AB=AE， BE=2AE， AC=2AB， BE=AC， 四邊形 ACDE 是平行四邊形， AC=DE， DE=BE， 點(diǎn) F 是 DE 的中點(diǎn)， DE=2EF， AE=EF， DE=BE，E=E，AE=EF， BEFDEASAS， EBF=EDA， ACDE， GAH=EDA EBF=GAH AHG=BHA

28、， AHGBHA， AHBH=GHAH， AH2=GHBH11. 【答案】(1) 如圖，過點(diǎn) E 作 EHAB 軸，垂足為 H 四邊形 ABCD 是矩形， DAB=90， ADEH， DAE=AEH， DAE=30， AEH=30在直角 AEH 中，AHE=90， EH=AEcosAEH， AD=AE=3cm， EH=332=332cm，即點(diǎn) E 到邊 AB 的距離是 332cm(2) 如圖 3，過點(diǎn) E 作 EHAB，垂足為 H 四邊形 ABCD 是矩形， AD=BC， AD=3cm， BC=3cm在直角 ABC 中，ABC=90，AB=4cm， AC=AB2+BC2=5cm， EHBC，

29、AEAC=EHBC， AE=AD=3cm， 35=EH3， EH=95cm， 推移過程中邊的長度保持不變， AD=AE=BF，AB=DC=EF， 四邊形 ABFE 是平行四邊形， S四邊形ABFE=ABEH=495=365cm212. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 是正方形， AD=DC，ADE=DCF=90，在 ADE 和 DCF 中， AD=DC,ADE=DCF,DE=CF, ADEDCFSAS， EAD=CDF， AED+EAD=90， AED+CDF=90， AEDF(2) ADE=C，CEQ=EAD， ADEECQ， E 是 CD 的中點(diǎn)， QEAE=CEAD=DEAD=12，

30、ADE=C=90， AEQADEECQ，設(shè) CE=DE=a，則 AD=2a，AE=5a， S1S2=15，S2S3=45， S1+S2=S313. 【答案】(1) 連接 AC，BD 菱形 ABCD 中，E 是邊 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是邊 AB 中點(diǎn)， AF=AE=12AB，EFBD， FGEF，EHEF GFEHAC， GF=HE=12AC， 四邊形 EFGH 是平行四邊形， FGEF， EFG=90， 四邊形 EFGH 是矩形(2) 連接 EG 菱形 ABCD 中，ADBC， BGE=DEG， FGEH， FGE=HEG， BGF=DEH，又 菱形 ABCD 中，B=D， BGFDEH，

31、FGEH=BGDE BGGC=12， BG=13BC，DE=12AD=12BC， FGEH=BGDE=23(3) 如圖，過點(diǎn) G 作 GMAB 于點(diǎn) M，過點(diǎn) E 作 ENBA 延長線于點(diǎn) N 四邊形 EFGH 是矩形， GF=EH， 由（2）可知，BGFDEH， 此時(shí) BGFDEH，又 菱形 ABCD 邊長為 2， BG=DE=1， BG=CG=1， cosB=cosEAN=cosD=513， BM=AN=513， MG=NE=1213設(shè) AF=x，則 MF=2-513-x=2113-x，當(dāng)四邊形 EFGH 是矩形時(shí)，GFE=90，則 GMF 與 FNE 相似（三垂直模型）若 GMFFNE，

32、則 MGNF=MFEN， 1213x+513=2113-x1213，解得 x1=313，x2=1（點(diǎn) F 不與 AB 中點(diǎn)重合，舍去）；若 GMFENF，則 MFNF=GMEN， 2113-xx+513=1，解得 x=813綜上，AF 的長為 313 或 81314. 【答案】(1) 在正方形 ACDE 和正方形 CBGF 中， AC=CD,CF=CB,ACD=BCD=90, ACFDCB， AF=BD(2) 在正方形 ACDE 和正方形 CBGF 中， AE=AC,GF=GB, ANAC=GMGF， ANAE=GMGB， EAN=G=90， EANBGM， CDBG， CDB=MBG， DC

33、B=G=90， MBGBDC， BDCFAC， EANACF， AEN=CAF， AEN+ANE=90， CAF+ANE=90， AHN=90， AFEN15. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 是菱形， ABCD，AB=CD，ACBD，DO=BO，ACD=12BCD， DHAB， DHA=DHB=90， ABCD， DHA=HDC=90， BDH+BDC=90， COD=90， ACD+BDC=90， DHB=90，DO=BO， OD=OH， BDH=DHO， DHO=12BCD(2) ABCD， HOOG=OBOD=1， OH=OG=12HG， AD=CD， DCA=DAC， AED=HD

34、C+DCA，HGC=HDC+DHG，又 DHO=DCA， AED=HGC， AEDCGO， OGDE=CGAE， OGAE=CGDE， 12HGAE=DECG， HGAE=2DECG16. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 是正方形， OA=OD，ACBD， AOD=90， 四邊形 OEGH 是正方形， OE=OH，EOH=90， AOD=EOH， AOD-AOH=EOH-AOH，即 HOD=EOA， HDOEAO(2) 如圖 1，過 O 作 ONAB 于 N，則 AN=BN=ON=12AB=2， BF=x， AF=4-x， FN=2-x， OF=FN2+ON2=2-x2+22=x2-4x+8

35、， EF=y-x2-4x+8， AMAC， AEOB， BFAF=OFEF， x4-x=x2-4x+8y-x2-4x+8， y=4x2-4x+8x0 x4(3) 當(dāng) AE=EG 時(shí)，AEG 是等腰三角形，則 AE=OE， EAO=90， 這種情況不存在；當(dāng) AE=AG 時(shí)，AEG 是等腰三角形，如圖 2，過 A 作 APEG 于 P，則 APOE， PAE=AEO， APEEAO， PEOA=AEOE， AE=AG， PE=12y=4x2-4x+82x，AE=y2-8=224-xx， 4x2-4x+82x22=224-xx4x2-4x+8x，解得：x=2；當(dāng) GE=AG 時(shí)，AEG 是等腰三角

36、形，如圖 3，過 G 作 GQAE 于 Q， GQE=EAO=90， GEQ+EGQ=GEQ+AEO=90， EGQ=AEO， GE=OE， EGQOEAAAS， EQ=AO=22， AE=2EQ=42=224-xx， x=43 BF=2或4317. 【答案】(1) 分別作 EPBC，EMCD 四邊形 ABCD 為矩形， ABE=BEP，又 BEEF， BEP+FEP=FEP+FEM=90， BEP=FEM， ABE+CEF=45， BEP+CEF=45， FEM+CEF=45，即 CEM=45， DAC=45， DA=DC， 矩形 ABCD 為正方形(2) 由（1）得：QDF=BCE=45，

37、ABE+EBQ=45， ABE+CEF=45， CEF=EBQ， CEF+45=EBQ+45，即 EBC=DFQ（三角形外角等于與其不相鄰兩內(nèi)角和）， CBEDFQ， DFBC=DQEC， DFEC=DQBC，即 DQBC=CEDF18. 【答案】(1) 平行四邊形 ABCD，CE=AB， AB=CD=EC；又 DFC=EGC，BCD=BCD， ECGDCF； CG=CF 點(diǎn) F 為 CE 的中點(diǎn)， CF=12CE； CG=12CD，即：CG=DG(2) 延長 AG，BC 交于點(diǎn) H ECGDCF， CEG=CDF 平行四邊形 ABCD， ADBC， DAH=H，ADC=DCH ADGHCG，

38、 AG=HG AEBC， AEC=90， AG=HG=EG CEG=H， CDF=DAH又 AGD=DGA， ADGDMG MGDG=DGAG， DG2=GMAG又 CG=DG， CG2=GMAG19. 【答案】(1) 在菱形 ABCD 中，AD=CD，ACBD，OB=OD， DAC=DCA，AOD=90， AECD，CGAC， DCA+GCE=90，G+GCE=90， G=DCA， G=DAC， BD=2AC，BD=2OD， AC=OD，在 ACG 和 DOA 中， G=DAO,ACG=AOD,AC=OD, ACGDOAAAS(2) AECD，BDAC， DOC=DEF=90，又 CDO=F

39、DE， CDOFDE， CDDF=ODDE，即得 ODDF=DECD， ACGDOA， AG=AD=CD，又 OD=12BD， DFBD=2DEAG20. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 為矩形， ADBC， 1=2， 點(diǎn) M 為 AC 的中點(diǎn)， AM=CM在 AME 與 CMF 中， 1=2,AM=CM,AME=CMF, AMECMFASA， ME=MF 四邊形 AECF 為平行四邊形，又 EFAC， 平行四邊形 AECF 為菱形(2) CD2=BFBC， CDBF=BCCD，又 四邊形 ABCD 為矩形， AB=CD， ABBF=BCAB，又 ABF=CBA， ABFCBA， 2=3，

40、四邊形 AECF 為菱形， 1=4，即 1=3=4， 四邊形 ABCD 為矩形， BAD=1+3+4=90， 即 1=3021. 【答案】(1) ADBC， ADBC=DOBO， DO=BO， AD=BC， 四邊形 ABCD 是平行四邊形， CEAC， ACD+DCE=90， DCE=ACB， ACB+ACD=90，即 BCD=90， 四邊形 ABCD 是矩形(2) 四邊形 ABCD 是矩形， AC=BD，ADC=90， ADBC， DEBD=EFFC， DEAC=EFFC， DEEF=ACFC， ADC=ACF=90， cotDAC=ACFC=ADCD， DEEF=ADCD22. 【答案】(

41、1) 四邊形 ABCD 是正方形， AB=AD，BAD=90，又 MAN=90， BAM=DAN，在 BAM 和 DAN 中， B=ADN=90,AB=AD,BAM=DAN, BAMDAN， AM=AN(2) 四邊形 ABCD 是正方形， CAD=45， CAD=2NAD，BAM=DAN， MAC=22.5， MAC=EAN，又 ACM=ANE=45， AMCAEN， AMAE=ACAN， ANAM=ACAE， AM2=ACAE23. 【答案】(1) AFBC， AFE=BDE， 點(diǎn) E 為邊 AB 的中點(diǎn)， AE=BE，在 AEF 與 BED 中， AFE=BDE,AEF=BED,AE=BE

42、, AEFBED， AF=BD， AFBD， 四邊形 ADBF 是平行四邊形；(2) ADF=BDF， ADF=AFD， AD=AF， 平行四邊形 ADBF 是菱形， ABDF，AB=2BE， C=BED=90， ABC=DBE， ABCDBE， BDAB=BEBC， AB=2BE， BDBC=2BE224. 【答案】(1) 過 D 作 DFBC 于 F，則四邊形 ABFD 是矩形， DF=AB=4，BF=AD=8， sinBCD=DFCD=45， CD=5， CF=3， 梯形 ABCD 的周長 =4+8+3+5+8=28(2) ADBC， DEC=BCE， CE 平分 BCD， DCE=BC

43、E， DEC=DCE， DE=CD=5， AE=3， BE=AB2+AE2=5， DEBC， PEDPBC， PEPB=DEBC，即 PEPE+5=511， PE=25625. 【答案】(1) E 是 AD 的中點(diǎn)， AE=DE=12AD， 四邊形 ABCD 是矩形， ADBC，AD=BC， BC=2AE，AEFCBF， AF:CF=AE:BC=1:2， CF=2AF(2) 作 DHAC 于 H，如圖所示： BEAC， DHBE， AF:FH=AE:ED=1:1， AF=FH=HC，設(shè) AF=a，則 AH=2a，CH=a， DAH=CDH=90-ADH，AHD=DHC=90， ADHDCH，

44、DHHC=AHDH，即 DHa=2aDH，解得：DH=2a， tanCFD=DHFH=226. 【答案】(1) DBBC，點(diǎn) E 為邊 CD 的中點(diǎn)， BE=DE， DBE=BDE， DB 平分 ADC， ADB=BDE， ADB=DBE， ADBE， ABBE， A=ABE=90， DBC=90， A=DBC， ADBBDC， ADBD=BDCD， BD2=ADDC(2) BD=BC， BDC 是等腰直角三角形， BDC=45， ADE=90， 四邊形 ADEB 是矩形， AB=DE，AE=BD， AB=CE，AE=BC， 四邊形 ABCE 為平行四邊形27. 【答案】(1) 作 DEAB

45、交 BC 于 E，交 AC 于 M，如圖所示： ABAC，DEAB， DEAC， AD=CD， AM=CM， ADBC，DEAB， 四邊形 ABED 是平行四邊形， DE=AB=3，在 RtABC 中，AC=BC2-AB2=52-32=4， AM=CM=2， ADBC， DM:EM=AM:CM=1:1， DM=EM=12DE=32 tanACD=DMCM=322=34(2) 梯形ABCD的面積=1234+12432=928. 【答案】(1) AM=ME，AD=DB， DMBE， GDN+DNE=180， GDN=AEB， AEB+DNE=180， AEDN， 四邊形 DMEN 是平行四邊形，

46、DM=12BE，EM=12AE，AE=BE， DM=EM， 四邊形 DMEN 是菱形(2) 如圖，取 BE 的中點(diǎn) F，連接 DM，DF由（1）可知四邊形 EMDF 是菱形， AEB=MDF，DM=DF， GDN=AEB， MDF=GDN， MDG=FDN，在 RtACE 中， AM=ME， CM=ME， MCE=CEM=EMD， DFN=AEB=MCE+CME，GMD=EMD+CME， DMG=DFN， DMGDFN， DG=DN29. 【答案】(1) 因?yàn)?BEAC，所以 AFB=90，所以 ABE+BAF=90，因?yàn)?ABE=CAD所以 CAD+BAF=90即 BAD=90因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形，所以四邊形 ABCD 是矩形(2) 連接