(完整版)高考數學-基本不等式(知識點歸納)

1、 高中數學基本不等式的巧用一基本不等式a2 b21.（1）若 , ，則a b 2ab (2)若 , ，則（當且僅當 時取“=”）a ba b R22a b Rab 2a b2. (1)若a,b R* ，則(2)若a,b R 2 a b* ，則a b ab （當且僅當 時取“=”）ab22 a b (3)若a,b R* ，則ab (當且僅當a b 時取“=”）211 03.若x ，則x 2x 1 x 0 x 2(當且僅當x 1時取“=”）(當且僅當 時取“=”）(當且僅當 時取“=”）(當且僅當 時取“=”）;若 ，則xx111 0若x ，則a bx 2即x 2或x -2xxx 03.若ab ，

2、則a ba b 2b aa ba ba b 0a b(當且僅當 時取“=”）若ab ，則 b a2即 或 2-2b ab aa ba2 b24.若a,b R ，則 b（當且僅當a 時取“=”）() 222注：（1）當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用應用一：求最值例 1：求下列函數的值域12x（2）yx1x（1）y3x 2211解：（1）y3x 2 3x 6 值域為 6 ，

3、+）222x2x2211（2）當x0 時，yx 2 x 2；xx111當x0 時， yx = （ x ）2 x =2xxx值域為（，22，+）解題技巧：技巧一：湊項51例 1：已知x ，求函數的最大值。y 4x 2 44x 51解：因4x 5 0 ，所以首先要“調整”符號，又(4x 2)不是常數，所以對4x 2 要進行拆、湊項，4x 5511 2 3 1x ,5 4x 0， y 4x 2 5 4x 34x4 55 4x 1當且僅當5 4x x 1，即 時，上式等號成立，故當 時， 。x 1y 15 4xmax1 例 1. 當解析：由時，求 y的最大值。知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積

4、為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8為定值，故只需將 y x(8 2x)湊上一個系數即可。 x(8 2x)的最大值為 8。當，即 x2 時取等號 當 x2 時， y評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。3，求函數y 4x(3 2x)的最大值。232解：0 x 3 2x 0 4 (3 2 ) 2 2 (3 2 ) 2 yxxxx223即 x時等號成立。當且僅當4x2y 解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。4 5 9（當且僅當 x1 時取“”號）。當,即x

5、 1解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。422y =ttt4當（當 t=2 即 x1 時取“”號）。t評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最Ay mg(x) B(A 0,B 0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。值。即化為g(x)a技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數 fxx2例：求函數 y的值域。x211解：令 x2 4 t(t 2)，則xy 2x2 4t11 0,t 1，但t 因t，故等號不成立，考慮單調性。tt1因為 y在區(qū)間單調遞增，

6、所以在其子區(qū)間。t2 5,所以，所求函數的值域為。2練習求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.11x2 3x 1,( x 0)x(3)y 2sin x , x 3, x(0, )（2）y 2x （1）ysin xx323y x(1x)y x(23x) 的最大值.2已知0 x 1，求函數條件求最值的最大值.；30 x ，求函數1.若實數滿足a b 2，則3 3的最小值是.ab3 3a分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，b3 和3a3 3 2 3 3 2 3 6解：都是正數，a bbabab3 3aa b 2 3 3 a b 1即當a b 1時，

7、3 3的最小值是 6當時等號成立，由及得babab1 1x ylog x log y 2變式：若，求的最小值.并求x,y的值44技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。1 92：已知x 0, y 0 ，且 1x yx y，求 的最小值。1 9 12 1 9 9 x y 20, y 0錯解： x，且 1，x y故 x y。x y 2 xy 12min x y xy錯因：解法中兩次連用基本不等式，在x y 2 xyx y等號成立條件是 ，在等號成立1 99 2x yxy1 9x y即y 9x ,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用基本不等式處理

8、問題時，列出條件是等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。1 9 1 9 9x y正解： 0, 0, 1， 10 610 16xyx y x y x y x y x y9x1 9 x yy 161x y 4, y 12當且僅當時，上式等號成立，又，可得x時， x y。min變式： （1）若x, y R 且2x y 11 1，求 的最小值xy 1，求x y的最小值a,b, x, y R a b(2)已知且x yy2技巧七、已知x，y為正實數，且x 1，求x 1y 的最大值.2223 a b22分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab。211y21 y 2 x 2

9、 222同時還應化簡 1y 中y 前面的系數為 ， x 1y x 222221 y2下面將x， 分別看成兩個因式：2 21 yx ( ) x y 122221 y2 222 2 31 y322 x 2 2 即x 1y 2 x2242 2 421技巧八：已知a，b為正實數，2baba30，求函數y 的最小值.ab分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

10、302bb1302bb12 b 30b2法一：a，a bbb1由a0 得，0b152t 34t3116t16t16t2令tb+1，1t16，ab2（t ）34t 2 t 8t1 ab18 y 當且僅當t4，即b3，a6 時，等號成立。18法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab令u ab 則u2 2 u300， 5 2 u3 22 ab 3 2 ，ab18，y118a b ab（a,b R ）點評：本題考查不等式的應用、不等式的解法及運算能力；如何由已知不等2式ab a 2b 3 0（a,b R ） 出發(fā)求得 的范圍，關鍵是尋找到a b ab之間的關系，由此想到

11、不等 與aba b a b（a,b R ）式，這樣將已知條件轉換為含ab 的不等式，進而解得ab 的范圍.2變式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周長為 1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實數，3x2y10，求函數W 3x 2y 的最值.ab a b22解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系， ，本題很簡單223x 2y 2 （ 3x ）（ 2y ） 2 3x2y 2 522解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W0，W3x2y2 3x 2y 102 3x 2

12、y 10( 3x ) ( 2y ) 10(3x2y)20222 W 20 2 515變式: 求函數的最大值。y 2x 1 5 2x( x )224 2x 1 5 2x與解析：注意到的和為定值。y ( 2x 1 5 2x) 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 822 0又y ，所以0 y 2 2322x 1 5 2x=，即x y 2 2時取等號。 故 。當且僅當max評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝没静坏仁角笞钪禃r，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應用二：利

13、用基本不等式證明不等式1已知a,b,c 為兩兩不相等的實數，求證：a b c ab bc ca2221）正數a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc111 Ra b c 1。求證： 111 8例 6：已知a、b、c ，且 a b c 分析：不等式右邊數字 8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“ 2 ”連乘，又11 a b c 2 bc，可由此變形入手。1 aaaa11 a b c 2 bc12 ac12ab R a b c 1解： a、b、c ，。1。同理1， 1。aaaabbcc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得11112 bc 2 ac 2 ab b c 111 8 。當且僅當a時取等號。3 a b c abc應用三：基本不等式與恒成立問題1 9例：已知x 0, y 0 且 1，求使不等式x y mx y恒成立的實數 的取值范圍。m1 9x y 9x 9y10 y 9xx y k