2022年不等式專題-定理和技巧

1、引言：不等式專題 -定理和技巧不等式在全部數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有用,本書闡述不等式定理的基本技巧；讀者將看到一些經(jīng)典定理,如舒爾不等式、繆爾海德定理、柯西- 蘇瓦茨不等式、冪平 均不等式、 AM GM 不等式、霍爾德定理；對同學(xué)：本書的讀者面對高年級的有想進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)水平的高中生和高校生,本書提到的技巧是不等式難題的竅門,同學(xué)們也可以發(fā)覺自己功課不同難題的方法；目錄：1、幾何不等式 1.1 拉維換元 1.2 三角方法 1.3 復(fù)數(shù)的應(yīng)用 2、4 個基本技巧 2.1 三角換元 2.2 代數(shù)換元 2.3 增函數(shù)定理 2.4 建立新邊界 3、齊次化和標(biāo)準(zhǔn)化 3.1 齊次化 3.2 舒爾不等式和繆爾海德定理

2、3.3 標(biāo)準(zhǔn)化 3.4 柯西 -蘇瓦茨不等式和霍爾德定理；4、凸函數(shù) 4.1 琴生不等式第 1 頁4.2 冪平均不等式 4.3 最優(yōu)化不等式 4.4 幫助線不等式 5、例題 5.1 多變量不等式 5.2 帕特南研討會 Ch1. 幾何不等式 1.1 拉維換元 很多不等式因采納合適的換元而簡潔化,讓我們從三角幾何的經(jīng)典不等式 開頭；最重要的幾何不等式是哪個？1746 年,察柏爾證明白一個定理：定理 1.1 ：設(shè) R 和 r 分別代表ABC 的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑,就R2r . 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)冗吶切螘r取等號；證明 ：設(shè)ABC 的三邊分別為 a b c , , ,半周長pa2bc,面積為 S ,2就：

3、S1absinC1abcabc11222R4R2a2b2c2 2 仍有：S1abc rpr122且：S21absinC2a b 221cos2C24a b 221a2b2c2 214a b 242ab16bc212aba2b2c22aba21612aba2b2c22aba2b2c2161ab2c2ab2c2ab161abcabccab c16第 2 頁abc abc cab cab12S p2222abcabcccabbcaba2222p papbpc1313 式就是海倫公式；由 11 得：Rabc 4S,而由 12 式得：rS p,那么 R2r 相當(dāng)于abc 4S即：abc8S28p pap

4、b pc8 papbpc14pp4定理 1.2 ：設(shè)a b c , , 為三角形的三個邊長, 就有： abc8 papbpc等號當(dāng)且僅當(dāng) abc時成立；A 證明 ：采納拉維換元,設(shè)ayz, bzx , cxy ,其中 x y z0那么,pabcxyz,就： pax , pby , pcz214 式即：xyyz zx8xyz15而：xyyz zx8xyzx y 2x z 2xy2xz2y z 2yz 26xyz2 x y2 yz2xyz2 x z2 y z2xyzxy2xz22xyzy xz 2z xy 2x yz 20即：xyyz zx8xyz. 證畢；【練習(xí) 1】設(shè) ABC 為直角三角形,試

5、證：R12 r . 如圖,對直角三角形, 設(shè)a b , 為直角邊, c 為斜邊,B F 就c2a2b ,且 c 22R ,R 是三角形外接圓半徑；D O 【試證】 三角形的面積：Sabc 4R,S1abc rC E 2就：abc 4R1 a 2bc r ,即：c2R abc rab將Rc 2代入得：Rcc abcrkr22ab第 3 頁即令：kc abc ab cc 2 ab a2b 2a 2b2yz,2ab2ab2ab采納均值不等式：ab2 ab ,a2b22ab 代入式得：k2 ab2ab2ab122ab代入式得：R12 r . 證畢. 定理 1.3 ：設(shè) x y z0,就： xyzyzx

6、zxyxyz 16等號當(dāng)且僅當(dāng)xyz時成立；證明 ：既然不等式的變量是對稱的,不適一般性,設(shè)xyz ,就： xzxy. 如 yzx ,就： x y z , 構(gòu)成三角形的三邊（ 兩邊之和大于第三邊 ）；此時,由定理 2 可得到結(jié)果；現(xiàn)在,假設(shè) yzx ,就： xyz0yzxzxyxyz定理 1.2 的不等式,在當(dāng)x y z , , 中部分變量為零時依舊成立；定理 1.4 ：設(shè) x y z0,就： xyzyzxzxyxyz 17za n,b n,c n,數(shù)列具有證明 ：既然 x y z0,我們發(fā)覺正數(shù)列l(wèi)im xxnx,lim xyny,lim xz n由定理 2 得到：x y z n n ny

7、nz nxnz nxny nxny nzn兩邊爭論極限,我們得到結(jié)果；很明顯,當(dāng) xyz時等號成立；,不能保證得到xyz . 然而, xyzyzxzxyxyz 和 x y z0事實上,對 x y z0,等式 xyzyzxzxyxyz等效于xyz或 xy, z0或 yz, x0 或 zx , y0可以懂得為當(dāng)變量為0 時的等式結(jié)果；可以直接證明等式：xyzyzxzxyxyz頁第 4 x xyxzy yz yxz zxzy故：定理 4 是舒爾不等式的特例；（注：舒爾不等式：對于非負(fù)數(shù)x y z , , 和正數(shù) t ,有xtxy xz0,僅當(dāng)i xyz或 iix0 且 yz,或 y0 且 zx ,或

8、 z0且 xy 時等號成立；當(dāng) tc111.為偶數(shù)時,不等式對全部實數(shù)x y z , , 都成立；）【試題 1】設(shè) a b c , , 是正數(shù)且 abc1,試證：a11b11bca【解析】 既然 abc1且 a b c0,主要是 a b c0,采納換元ax y,by z,cz x,就不等式為：x1zy1xz1y1yyzzxx即：xyzyzxzxy1yzx即： xyzyzxzxyxyz. 為定理 4. 拉維換元對像三角形的三邊長 去三角形的三邊長的條件；a b c , , 的不等式很有用,拉維換元后,可以消【 試 題 2 】 設(shè) a b c 是 一 個 三 角 形 的 三 邊 長 , 試 證 ：

9、a b a 2 b b c b 2 c c a c 2 a 0 .【解析】采納拉維換元,a x y, b y z, c z x ,且 x y z 0 .就 不 等 式 變 為：2 2 2 x y y z x z y z z x y x z x x y z y 0綻開化簡為：x z 3 y x 3 z y 3 x yz 2 xy z 2 xyz 2兩邊同除以 xyz得：x 2 y 2 z 2x y z 1 8 y z x采納柯西 - 蘇瓦茨不等式 ： x 2 y 2 z 2 x y z x y z , 1 8 即證；y z x【練習(xí) 2】設(shè) a b c , , 是一個三角形的三邊長,試證：a b

10、 c2 .b c c a a b【試證】采納拉維換元,令 a y z, b z x , c x y第 5 頁就：a y z x y z x x y z xb c z x x y x y z x x y z 同理：b x y z y x y z y；c x y z z x y z z . c a x y z y x y z a b x y z z x y z 三式相加得：a b c 3 x y z x y z 2b c c a a b x y z 即：a b c2 . 證畢；b c c a a b【 練 習(xí) 3 】 設(shè) a b c 是 一 個 三 角 形 的 三 邊 長 , 試 證 ：a 3 b

11、 3 c 3 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 0 .和：3a b 2 3b c 2 3c a 2 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 0 . 【試證】先化簡,再用拉維換元由于 a 3 b 3 c 3 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 0 共有 12 項,分成 3 份,每份 4 項. a 3 b 3 c 3 3abc 2b a 2 2c b 2 2a c 2 a 3 abc b a 2 a c 2 b 3 abc b a 2 c b 2 c 3 abc c b 2 a c 2 a a 2 bc b 2 ac b b 2 ac ba c 2 c

12、 c 2 ab cb a 2 a a 2 b 2 c a b b b 2 c 2 a b c c c 2 a 2 b c a a a b a b c b b c b c a c c a c a b 采納拉維換元：令 a y z, b z x , c x y , x y z 0就：a a b a b c 2z y z y x 2 zy 2 z y 2 xyz xz 2 b b c b c a 2x z x z y 2 xz 2 x z 2 xyz yx 2 c c a c a b 2 y x y x z 2 yx 2 y x 2 xyz zy 2 三式相加并除以 2 得：zy 2 z y 2 x

13、yz xz 2 xz 2 x z 2 xyz yx 2 yx 2 y x 2 xyz zy 2z y 2 xyz x z 2 xyz y x 2 xyzzy z x zx x y xy y z xyz z x x y y z x y z第 6 頁就式乘以 2就等于式；由：zxxxyyyzzzxy333zxy30 xyzxyz得式不小于 0 ,即式不小于 0 . 證畢；其次個式子證法與此類似,請讀者自證；我們現(xiàn)在開頭爭論魏琴伯克不等式,也稱外森比克不等式；【試題 3】設(shè) a b c , , 是一個面積為 S 三角形的三邊長,試證：a 2 b 2 c 2 4 3S 1 9 這個 1 9 式稱為 外

14、森比克不等式 ；【解析】采納 拉維換元 , a x y, b y z, c z x ,且 x y z 0 .不等式變 a 2 b 2 c 2 2 48S 2 為： y z 2 z x 2 x y 2 2 48 x y z xyz其中：S 2 p p a p b p c x y z xyz,（ p x y z 為半周長）推導(dǎo)如下： y z 2 z x 2 x y 2 2 4 yz 4zx 4xy 216 yz zx xy 2由于： a b c 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ca 3 ab bc ca 所以： yz zx xy 2 3 yz zx zx xy xy yz 就： y z

15、 2 z x 2 x y 2 2 48 xy yz yz zx zx xy 1 10 定理 1.5 ：對任何面積為 S、邊長為 a b c , , 的三角形,有不等式：2ab 2bc 2ca a 2b 2c 2 4 3S 1 11 這個不等式稱為芬斯勒 - 哈德威格不等式；證明 ：采納拉維換元,axy, byz, czx ,且 x y z20. 得證；3xyz xyz 112及： Sxyz xyzzx代入 111式得： xyyz0112 式可由恒等式：yz 2yzzx2zxxyzxyxyyzzx23xyz xy2也可采納凸函數(shù)性質(zhì)證明；第 7 頁證法二 ：由很多方法證明：2ab2bc2caa2

16、b2c2tanAtanBtanC4S222對于凸函數(shù),用琴生不等式可以證明：當(dāng) x ,2 時,tanA2tanBtanC3tanABC32222223故：2ab2bc2caab2c 24 3S（注：琴生不等式：對于向下凸出的函數(shù),函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)；如函數(shù) f tanx在 x ,2 區(qū)間是向下凸出的, 由函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)得：tan A tan B tan Ctan A B C）3 3定理 1.6 ：設(shè) p q r , , 為正實數(shù), a b c , , 表示面積為 S的三角形三邊長,就有：pa 2 qb 2 rc 2 2 3S 1 13 q r r p p q這個不等式稱為青

17、茨法斯不等式；證明 ：由定理 1.5 的芬斯勒 - 哈德威格不等式足以證明；qpra2rqpb2prqc21abc2a2b2c2,b 2,c2代表面2或：pqqrra2prqprb2ppqqrc21abc22或：qrrp pqa2rrb2pc2qabc2qp本式可由柯西 - 蘇瓦茨不等式直接證明113 ；定理 1.7 ： 設(shè)a1,b 1,c1代表面積為S 的三角形 1A B C 的三邊長,1 1 1a 2積為S 的三角形 2A B C 的三邊長,就：2 2 2114a 1 2 b 22c 22a22b 12c 22a22b 22c 12 a22b 2 2c2216S S 1 2這個不等式稱為伊

18、諾貝格- 佩多不等式；116引理 1：a 12a 22b 22c 22b 12b 22c 22a 22c 1 2c 22a 22b 220第 8 頁證明 ：116 式等價于：2 p2c ,a 12b 12c 12a22b 22c 222 a 1 2a 22b 1 2b 22c 12 c22117由海倫公式得：16Si2 a i2b i2c i2 2 2 a i4b i4c i402b或：ai2b i2ci22 ai4b i4c i4（注：海倫公式：S2p papbpc ,即：16S22 p 2 p2a2p即：16S2abcbca cab abcbc 2a2a2cb 22b c 2 2即：16S

19、2a2 bc 2a4c2b2 2 a2cb 2a22b 22c2a4c4b4即：16S22a b 2 22b c 222c a 22 a4c4b4 a2b 2c2 2 2 a4c 4b4）由柯西 -蘇瓦茨不等式得：a 12b 12c 12a22b 22c222a14b 1 4c4 1a 24b 24c4 202 a 12a22b 1 2b 22c 12c 22c 22先證明：由引理1 得：La 12b 22c22a 22b 12c 22a22b 22c 12a 22b 22所以,我們只需證明：L 216S2 116S22022b 12檢驗不等式：L216S1216S224 UVVWWU這里：U

20、b 1 2c 22b 22c 12,Vc 1 2a2 2c 22a 1 2,Wa 1 2b 22a采納恒等式：a 12 Ub V 1 2c W 1 20 ,或Wa2 12 1Ub 12Vc2c 1進(jìn)行放縮：UVVWWUa2 12 1Uc2 1a 1 22a 1 2b 1 2V24a2 1b 12 c 1 24a 1 2 ca2 1b 122V22 1cUVVWWUa12Uc2 1a12b 1 2V216S120c2 12a124a12c 12卡里茨發(fā)覺伊諾貝格 - 佩多不等式可以由奧采兒不等式放縮得到；定 理1.8 ： 設(shè)a1,a 2,.,an,b 1,b 2,.,b n為 正 實 數(shù) , 且

21、 滿 足a 1 2a22.an2和第 9 頁b 12b 22.b n2a b 2 2.a b nna 12a22.an2b 12b 22.bn2118就：a b 1 1這就是奧采兒不等式；證明 ：由柯西 -蘇瓦茨不等式得：a b 1 1a22.an2b 22.b n2a b 2 2.a b n n上面的不等式等價于： a b 1 1 a b 2 2 . a b n n 2 a 1 2 a 2 2 . a n 2 b 1 2 b 2 2 . b n 2 當(dāng) a 1 2 a 2 2 . a n 2 0 時,無關(guān)緊要；重點是當(dāng) a 1 2 a 2 2 . a n 2 0 時,關(guān)注二次多項式 P x nP x a x 1 b 1 2 a x i b i 2i 2n n n a 1 2 a i 2 x 2 2 a b 1 1 a b i i x b 1 2 b i 2 1 19 i 2 i 2 i 2既然 P ba 11 i n2 a i ba 11 b i 20,且 x 的系數(shù)為正,就 P 至少有一實根,所以 P 非負(fù),故 1 19 的判別式：n n n 2 a b 1 1 a b i i 2 4 a 1