矩陣分解在優(yōu)化方法中的應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)矩陣分解以及矩陣范數(shù)在數(shù)值計算中的應用張先壘（自動化與電氣工程學院 控制科學與工程 ）【摘要】矩陣的分解是將一個矩陣分解為較為簡單的或具有某種特性的若干矩陣的和或者乘積，這是矩陣理論及其應用中比較常見的方法。由于矩陣的這些特殊的分解形式，一方面反映了矩陣的某些數(shù)值特性，如矩陣的秩、特征值、奇異值等；另一方面矩陣的分解方法與過程往往為某些有效的數(shù)值計算方法和理論分析提供了重要的依據(jù)，它是應用于解最優(yōu)化問題、特征值問題、最小二乘方問題的主要數(shù)學工具。關鍵詞 ： 矩陣分解 對

2、角化 逆矩陣 范數(shù) 條件數(shù)引言矩陣分解在工程中的應用主要是在解線性方程組中,而這主要就是關系到儲存和計算時間的問題上面,如何實現(xiàn)最小的儲存和最少的計算時間是在工程計算中的頭等問題。在這方年就牽涉到很多對矩陣進行怎樣的分解，這篇文章介紹了基本的關于三角分解相關的內容以及關于界的穩(wěn)定性的考慮。矩陣的三角分解求解線性方程組數(shù)值求解線性方程組的方法中有一個主要是直接法，假設計算中沒有舍入誤差，經過有限次算術運算能夠給出問題的精確解的數(shù)值方法。其中高斯消去法就是利用矩陣的分解實現(xiàn)的。矩陣論一種有效而且應用廣泛的分解法就是三角分解法，將一個矩陣分解為一個酉矩陣（或正交矩陣）與一個三角矩陣的乘積或者三角矩陣

3、與三角矩陣的乘積。（見課本P93例4.3）考慮一般的線性方程組，設其中的系數(shù)矩陣是可逆的， （1-1）設矩陣的第一列中至少有一個是非零元素（否則就是奇異矩陣）不妨設為若一般的記初等矩陣如1-2式及矩陣論課本上的Givens矩陣。 （1-2）根據(jù)矩陣理論的知識我們知道矩陣左乘矩陣，作用就是對換的第和第行，右乘的作用是對換第和第列。因此通過取，則矩陣中的。用第一行與其他行的線性組合可以將第一列對角線以下部分全部變?yōu)?。這一過程寫成矩陣形式即 （1-3）其中 （1-4）這里，注意到 （1-5）并且該矩陣仍然是可逆矩陣。所以中至少有一個不為0，設。同理取，令如此逐步消元可得到 （1-6）若再假設，取對

4、換行，即可得該矩陣的形狀為 （1-7）在（1-6）中，這里，如果記則 （1-8）很顯然對任意的看，都有，所以他們都是非奇異的矩陣，而且他們的逆矩陣分別是 （1-9） （1-10）經過步消元法的得到矩陣 （1-11）是一個上三角矩陣。如果記 （1-12）則顯然線性方程組 （1-13）與原方程組同解的。通過以上變換實質上就是矩陣的分解假設消去過程中不實施矩陣行的交換，這時 （1-14）由（1-11）經過消去過程后，矩陣就是一個上三角矩陣記則 （1-15）而由（1-10）可知每個都是一個下三角矩陣。容易驗證 （1-16）是一個下三角矩陣，如果記則可驗證（1-16）的矩陣為 （1-17）最后得到 （1

5、-18）其中是一個下三角矩陣，是一個上三角矩陣這樣線性方程組就等價于依次求解方程組 （1-19）這樣就可以得到原方程組的解。（見課本P93例4.3）2.線性方程組的解的穩(wěn)定性判定線性方程組解的穩(wěn)定性。對于線性方程組， （1-20）如果解關于問題（即矩陣和向量）的微小變化（即舍入誤差）不敏感，則（1-5）就是一個“好”問題，反之就是“壞”的或病態(tài)的問題。而對求解上述方程組的一個算法，如果關于問題的“微小”變化（即誤差的傳播在一個可以接受的范圍內），則算法成為穩(wěn)定的算法（即好的），反之就是一個不穩(wěn)定的算法。有了范數(shù)的工具，就可以討論線性方程組的“好壞”以及求解線性方程組的優(yōu)劣問題。定義1 設是可逆

6、矩陣，稱是矩陣相對矩陣范數(shù)的條件數(shù)?？紤]到 （1-21）即由于右端的擾動引起解的變化，比較它與原有問題 （1-22）解的差異。由（1-6）和（1-7）兩式相減可以得到 （1-23）記為上的向量范數(shù)及與它相容的矩陣范數(shù)，由（1-7）和（1-8）可得 （1-24） （1-25）綜合上述兩式，有 （1-26）顯然可以知道右端的擾動可能引起解擾動的上界。顯然越小右端的變化就越小。對于第二種情況 （1-27） （1-28）故有 （1-29）這也就是說 （1-30）事實上進一步分析可以知道 （1-31）可見由于問題擾動引起的解得擾動的是同一個因子。故稱為條件數(shù)。記為cond（）當條件大就是病態(tài)矩陣，反之就是良態(tài)的。因此了解條件數(shù)是必要的。他可以幫助判斷所得的數(shù)值解的可信度與合理性。4.結束語矩陣理論這門課程在工程中的應用是多方面的，在這里只選取了在求解線性方程組的的應用進行了簡要的介紹。矩陣計算問題看似簡單，但要獲得好的數(shù)值結果并不容易。上面提到的快速算法，計算時間仍會很長。為了減少迭代步數(shù)，就必須改善阻抗矩陣的條件數(shù)，于是有些學者將預條件技術進來。常用的預條件技術有不完全LU預條件，稀疏近似逆預條件以及基于物理特性的預條件等。預條件技術能或多或少減少迭代步數(shù)，但對于大目標來說，CPU時間依舊很大。5.參考文獻