正弦定理證明

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)一、正弦定理的幾種證明方法ababDABC（1）當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有,。由此，得 ，同理可得 ， 故有 .從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.ABCDba（2）當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作AB邊上的高，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有， 。由此，得 ，同理可得 ABCDba故有 .由(1)(2)可知，在ABC中， 成立.從而得到：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等，即.2.利用三角形面積證明

2、正弦定理DCBA已知ABC,設(shè)BCa, CAb,ABcDCBASABC=.同理,可證 SABC=. SABC=.absinc=bcsinA=acsinB,在等式兩端同除以ABC,可得.即.3.向量法證明正弦定理(1)ABC為銳角三角形,過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90-A,j與的夾角為90-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們?cè)谏厦嫦蛄康仁降膬蛇呁∨c向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到 由分配律可得. B C|j|Cos90+|j|Cos(90-C)=|j|Cos(90-A). j CasinC=csinA. A 另外,過(guò)點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為

3、90+C,j與的夾角為90+B,可得.(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為j與的夾角為90-C,j與的夾角為90-B).CA(2)ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A90,過(guò)點(diǎn)A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90,j與的夾角為90-C.CA由,得j+j=j, jAB即aCos(90-C)=cCos(A-90),asinC=csinA.AB另外,過(guò)點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90+C,j與夾角為90+B.同理,可得. 4.外接圓證明正弦定理在ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長(zhǎng)交圓于B,設(shè)BB=2R.則根據(jù)直徑

4、所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到BAB=90，C =B，sinC=sinB=.同理,可得.這就是說(shuō),對(duì)于任意的三角形,我們得到等式.ACB法一(平面幾何)：在ABC中，已知ACB過(guò)A作，在Rt中，法二（平面向量）：，即：法三（解析幾何）：把頂點(diǎn)C置于原點(diǎn)，CA落在x軸的正半軸上，由于ABC的AC=b，CB=a，AB=c，則A，B，C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)|AB|2=(acosCb)2+(asinC0)2=a2cos2C2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b22abcosC，即c2=a2+b22abcosC.法五（用相交弦

5、定理證明余弦定理）:如圖，在三角形ABC中，A=，AB=a，BC=b，AC=c?，F(xiàn)在以B為圓心，以長(zhǎng)邊AB為半徑做圓，這里要用長(zhǎng)邊的道理在于，這樣能保證C點(diǎn)在圓內(nèi)。BC的延長(zhǎng)線交圓B于點(diǎn)D和E 這樣以來(lái)，DC=a-b，CE=a+b，AC=c。因?yàn)锳G=2acos，所以CG=2acos-c。根據(jù)相交弦定理有： DCCE=ACCG，帶入以后就是 (a-b)(a+b)=c(2acos-c) 化簡(jiǎn)以后就得b2=a2+c2+2accos。也就是我們的余弦定理。如圖，在ABC中，AB4 cm，AC3 cm，角平分線AD2 cm，求此三角形面積.分析：由于題設(shè)條件中已知兩邊長(zhǎng)，故而聯(lián)想面積公式SABC eq

6、 f(1,2) ABACsinA，需求出sinA，而ABC面積可以轉(zhuǎn)化為SADCSADB，而SADC eq f(1,2) ACADsin eq f(A,2) ，SADB eq f(1,2) ABADsin eq f(A,2) ，因此通過(guò)SABCSADCSADB建立關(guān)于含有sinA，sin eq f(A,2) 的方程，而sinA2sin eq f(A,2) cos eq f(A,2) ，sin2 eq f(A,2) cos2 eq f(A,2) 1，故sinA可求，從而三角形面積可求.解：在ABC中，SABCSADBSADC， eq f(1,2) ABACsinA eq f(1,2) ACADs

7、in eq f(A,2) eq f(1,2) ABADsin eq f(A,2) eq f(1,2) 43sinA eq f(1,2) 32sin eq f(A,2) ，6sinA7sin eq f(A,2) 12sin eq f(A,2) cos eq f(A,2) 7sin eq f(A,2) sin eq f(A,2) 0，cos eq f(A,2) eq f(7,12) ，又0A，0 eq f(A,2) eq f(,2) sin eq f(A,2) eq r(1cos2 eq f(A,2) ) eq f(r(95),12)，sinA2sin eq f(A,2) cos eq f(A,2

8、) eq f(7r(95),72)，SABC eq f(1,2) 43sinA eq f(7r(95),12)（cm2）. 在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點(diǎn)，且AD4，求BC邊長(zhǎng).解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點(diǎn)，可得BDDC eq f(x,2) ，在ADB中，cosADB eq f(AD2BD2AB2,2ADBD) eq f(42（ eq f(x,2) ）252,24 eq f(x,2) ) 在ADC中，cosADC eq f(AD2DC2AC2,2ADDC) eq f(42（ eq f(x,2) ）232,24 eq f(x,2) ) 又ADBADC180cosADBcos（18

9、0ADC）cosADC. eq f(42（ eq f(x,2) ）252,24 eq f(x,2) ) eq f(42（ eq f(x,2) ）232,24 eq f(x,2) ) 解得，x2所以，BC邊長(zhǎng)為2.2.在ABC中，已知角B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cosC eq f(AC2DC2AD2,2ACDC) eq f(723252,273) eq f(11,14) ，又0C180，sinC eq f(5r(3),14)在ABC中， eq f(AC,sinB) eq f(AB,sinC) AB eq f(sinC,sinB) AC eq f(5r(3),14) eq r(2) 7 eq f(5r(6),2).3.在ABC中，已知cosA eq f(3,5) ，sinB eq f(5,13) ，求cosC的值.解：cosA eq f(3,5) eq f(r(2),2)cos45，0A45A90，sinA eq f(4,5) sinB eq f(5,13) eq f(1,2) sin30，0B0B30或150B180若B150，則BA180