解析函數(shù)級(jí)數(shù)表示

1、第一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解例1第六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、一致收斂級(jí)數(shù)的判別方法判別法1第十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十一

2、張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月四、一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)第十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的斂散性 由于發(fā)散的冪級(jí)數(shù)沒(méi)有多大用處，故首先必須研究?jī)缂?jí)數(shù)的斂散性。1. 阿貝爾定理第十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十

3、張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、求收斂圓半徑R的公式 （1）比值判別法第二十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第二十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2解 綜上第二十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解 (1)該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的

4、。第二十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 綜上該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)收斂，第二十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.第三十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)第三十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例4解代換展開(kāi)還原第三十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月解代換展開(kāi)還原第三十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月現(xiàn)在研究與此相反的問(wèn)題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)

5、表達(dá)?(或者說(shuō),一個(gè)解析函數(shù)能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)? 解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？） 由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。第三十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三節(jié) 解析函數(shù)的泰勒展開(kāi) 上節(jié)證明了：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析。 本節(jié)證明其逆定理：解析函數(shù)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，且這種展開(kāi)式是唯一的。 解析函數(shù)與冪級(jí)數(shù)的密切關(guān)系一、泰勒定理第三十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第三十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于202

6、2年6月第四十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、將解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法常用四種方法：第四十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2 解收斂半徑第四十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于20

7、22年6月3.利用兩個(gè)絕對(duì)收斂?jī)缂?jí)數(shù)的乘積或商 第五十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月4.在收斂圓內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分 第五十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第五十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第四節(jié) 解析函數(shù)的洛朗展開(kāi) 由前面的討論 知, f (z) 在 b 解析，則 f (z)

8、總可以在b 的某一個(gè)圓域 z - bR 內(nèi)展開(kāi)成 z - b 的冪級(jí)數(shù)。若 f (z) 在 b點(diǎn)不解析，在 b的鄰域中就不可能展開(kāi)成 z - b 的冪級(jí)數(shù)，但如果在圓環(huán)域 R1z - bR2 內(nèi)解析，那么，f (z)能否用級(jí)數(shù)表示呢？例如，第五十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由此推想，若f (z) 在R 1z - bR2 內(nèi)解析, f (z) 可以展開(kāi)成以b為展開(kāi)中心的級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即第五十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 本節(jié)將討論在以b為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計(jì)

9、算留數(shù)的基礎(chǔ)。第六十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月預(yù)備知識(shí)復(fù)連通域的Cauchy 積分公式DbR1R2rRk1k2D1z第六十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一. 雙邊冪級(jí)數(shù)-含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義 形如-雙邊冪級(jí)數(shù)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分：負(fù)冪項(xiàng)部分：第六十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月級(jí)數(shù)(2)是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2 ， 則級(jí)數(shù)在z - b=R2 內(nèi)收斂，且和為s(z)+; 在z - b=R 2外發(fā)散。 第六十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月bR1R2bR2R1第六十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (

10、2)在圓環(huán)域的邊界z - b=R1, z - b=R2上,第六十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二 函數(shù)展開(kāi)成雙邊冪級(jí)數(shù)定理第六十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月證明 由復(fù)連通域上的Cauchy 積分公式：DbR1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2第六十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第六十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月DbR1R2rRk1k2D1z式(*1),(*2)中系數(shù)an的積分分別是在k2， k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞b的簡(jiǎn)單閉曲線k，由復(fù)合閉路定理可將an寫成統(tǒng)一式子：第六十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022

11、年6月式(*1),(*2)中系數(shù)an的積分分別是在k2， k1上進(jìn)行的，在D內(nèi)取繞b的簡(jiǎn)單閉曲線k，由復(fù)合閉路定理可將an寫成統(tǒng)一式子：證畢！級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。第七十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)在奇點(diǎn) b的鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)展成級(jí)數(shù)，那么 就利用洛朗（ Laurent ）級(jí)數(shù)來(lái)展開(kāi)。級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。第七十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三 展開(kāi)式的唯一性結(jié)論 一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)

12、冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f (z)的洛朗級(jí)數(shù)。事實(shí)上，DbR1R2c第七十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月DbR1R2c第七十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 由唯一性，將函數(shù)展開(kāi)成Laurent級(jí)數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡(jiǎn)便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開(kāi)式，只有在個(gè)別情況下，才直接采用公式求Laurent系數(shù)的方法。二、將環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)的方法與步驟：第七十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第七十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第七十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年

13、6月第七十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第七十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第七十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第八

14、十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇點(diǎn)例如第八十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的。第九十張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、孤立奇點(diǎn)的分類和性質(zhì)孤立奇點(diǎn)包括：可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)。第九十一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九十二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九十三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九十四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九十五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九十六張，PP

15、T共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月三、解析函數(shù)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系第九十七張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九十八張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第九十九張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百?gòu)垼琍PT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百零一張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百零二張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百零三張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百零四張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百零五張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百零六張，PPT共一百一十三頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月第一百零七張，P