太原市初中數(shù)學(xué)奧林匹克中的幾何問題：第3章 托勒密定理及應(yīng)用

1、第三章 托勒密定理及應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】托勒密定理 圓內(nèi)接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩對角線的乘積證明 如圖3-1，四邊形內(nèi)接于，在上取點(diǎn)，使，則，于是又，有上述兩乘積式相加，得注 此定理有多種證法，例如也可這樣證：作交于，連，則知為等腰梯形，有，且，令，與交于，則，易知 ，從而有推論1（三弦定理） 如果是圓上任意一點(diǎn)，是該圓上順次的三條弦，則事實(shí)上，由式，應(yīng)用正弦定理將，換掉即得式推論2（四角定理） 四邊形內(nèi)接于，則 事實(shí)上，由式，應(yīng)用正弦定理將六條線段都換掉即得式直線上的托勒密定理（或歐拉定理） 若，為一直線上依次排列的四點(diǎn)，則注 由直線上的托勒密定理有如下推論：若，是一條直線上順次四點(diǎn)，點(diǎn)

2、是直線外一點(diǎn)，則事實(shí)上，如圖3-2，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由，有，用兩邊及夾角正弦形式的三角形面積表示上式后，兩邊同除以即得推論由上述推論也可證明圓內(nèi)接四邊形中的托勒密定理證明 如圖3-3，在圖上取一點(diǎn)，連、，設(shè)交于，交于由正弦定理 ，其中為圓的半徑對、應(yīng)用直線上的托勒密定理的推論，有故四邊形中的托勒密定理（或托勒密不等式） 設(shè)為任意凸四邊形，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，四點(diǎn)共圓時取等號證明 如圖3-4，取點(diǎn)使，則，即有，且，即又，有，亦有由式與式，注意到，有其中等號當(dāng)且僅當(dāng)在上，即時成立此時，四點(diǎn)共圓由此，即有托勒密定理的逆定理 在凸四邊形中，若，則，四點(diǎn)共圓【典型例題與基本方法】1恰當(dāng)?shù)刈鞒龌蜻x擇四邊形

3、，是應(yīng)用托勒密定理的關(guān)鍵例1 在中，角，的對邊分別為，若角，的大小成等比數(shù)列，且，則角的弧度數(shù)等于多少？（1985年全國高中聯(lián)賽題）解 如圖3-5，過點(diǎn)作交的外接圓于，連，則四邊形為等腰梯形由托勒密定理，有由已知有，則，從而，即，亦即又因?yàn)樵谥?，角，的大小成等比?shù)列，則公比，從而 ，故，為所求例2 凸四邊形中，對角線，交于點(diǎn)如圖3-6，求（1996年北京中學(xué)生競賽題）解 因，則，四點(diǎn)共圓延長，交于，則 設(shè)，有，由割線定理，有求得，對應(yīng)用托勒密定理，有又從而，故例3 如圖3-7，已知在中，的一個外角的平分線交的外接圓于點(diǎn)，過作，垂足為求證：（1989年全國高中聯(lián)賽題）證明 在上取點(diǎn)，使，連并延長

4、交圓于，連，則，（在的延長線上），從而，且于是，注意，有，故連，對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有，即于是其中可由推得注 （1）也可應(yīng)用三弦定理證明設(shè)，則，對，應(yīng)用三弦定理，得，即又在中，故（2）也可以應(yīng)用阿基米德折弦定理證明由，有，即例4 如圖3-8，在銳角的邊上有兩點(diǎn)，滿足，作于，于，延長交的外接圓于點(diǎn)證明：四邊形與的面積相等（2000年全國高中聯(lián)賽題）證明 設(shè)，有 ，其中為外接圓半徑又由托勒密定理，有，例5 如圖3-9，在中，點(diǎn)是外心，兩條高，交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段，上，且滿足求的值（2002年全國高中聯(lián)賽題）解法1 連，由三角形外心及垂心性質(zhì)，知， ，即，四點(diǎn)共圓在此圓中對四邊形應(yīng)用托勒密定理

5、，有設(shè)的外接圓半徑為，則，且由，知，即有 ，亦即而，故 為所求解法2 同解法1，知，四點(diǎn)共圓，有，而，則，從而，由此知，四點(diǎn)共圓，且等腰的頂角，即知對四邊形，應(yīng)用托勒密定理，有，故為所求注 此例的其他證法可參見第四章例2，第十五章例17例6 已知內(nèi)切圓分別與邊、切于點(diǎn)、，直線、分別與交于另一點(diǎn)、求證：（2010年東南奧林匹克題）證明 設(shè)內(nèi)切圓于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、（圖略）由及，有及注意到，有同理，有分別對四邊形及應(yīng)用托勒密定理，有，這兩式相乘，有 又由托勒密定理，有故2注意托勒密定理逆定理的應(yīng)用和拓廣的托勒密定理或托勒密定理推論的應(yīng)用例7 若右四個圓都與第五個圓內(nèi)切，第一個與第二個圓的外公切線的長用表示

6、，其他前四個圓中的兩兩的外公切線也用同樣的方法來標(biāo)記，且前四個圓以順時針的順序排列，試證明依次以，為邊長，以，為對角線所構(gòu)成的凸四邊形的四個頂點(diǎn)共圓（中等數(shù)學(xué)1999年第5期高中奧林匹克題）證明 如圖3-10，設(shè)前四個圓分別為，第五個圓為，前四個圓與分別內(nèi)切于，則易知，三點(diǎn)共線類似地，有，；，；，三點(diǎn)共線設(shè)五個圓的半徑分別為，；，；，則，從而，故同理，可求得，要證明以，為邊長，以，為對角線所構(gòu)成的凸四邊形的四個頂點(diǎn)共圓，只要證明，化簡后只要證明，即這由托勒密定理的推論2即證注 對于也可由正弦定理轉(zhuǎn)換成即證此例是一個富有應(yīng)用價(jià)值的問題托勒密定理是這個問題中四個圓均變?yōu)辄c(diǎn)（過該點(diǎn)線成了“點(diǎn)圓”的切

7、線）的情形例8 經(jīng)過的平分線上的一點(diǎn)，任作一直線與及分別相交于，求證：為定值證明 如圖3-11，過，三點(diǎn)作圓，交射線于設(shè)，對四邊形中的三條弦，應(yīng)用托勒密定理的推論1，有即連，由，有由式除以上式，得（定值）注 類似于此例，應(yīng)用托勒密定理的推論1，也可求解如下問題：過平行四邊形的頂點(diǎn)作一圓分別與，相交于，則有事實(shí)上，若設(shè)，則有對此式兩邊同乘，利用三角形的面積公式有而在中，有，由此即證例9 設(shè)為銳角內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足條件： 試確定D點(diǎn)的幾何位置，并證明你的結(jié)論（1998年試題）此題我們改證比其更強(qiáng)的命題如下：設(shè)為銳角內(nèi)部一點(diǎn)，求證：，并且等號當(dāng)且僅當(dāng)為的垂心時才成立證明 如圖3-12，作，則和均是平行

8、四邊形連和，顯然也是平行四邊形，于是，對四邊形和四邊形，應(yīng)用四邊形中的托勒密定理（或托勒密不等式）有，即，對上述式中前一式兩邊同乘后，兩邊同加上，然后注意到上述式中的后一式，有即 故 其中等號成立的充分必要條件是式中兩個不等式中的等號同時成立，即等號當(dāng)且僅當(dāng)及都是圓內(nèi)接四邊形時成立，亦即恰是圓內(nèi)接五邊形時等號成立由于為平行四邊形，所以條件等價(jià)于為矩形（即）且，亦等價(jià)于且，所以所證不等式等號成立的充分必要條件是為的垂心【解題思維策略分析】1推導(dǎo)某些重要結(jié)論的工具例10 圓內(nèi)接六邊形的對角線共點(diǎn)的充要條件是（見第一角元形式的塞瓦定理的推論）證明 必要性：如圖3-13，設(shè)，交于一點(diǎn)，則易知，從而此三

9、式相乘即證充分性：設(shè)，交于，連并延長交圓于，連，則由必要性知，和已知式比較得，即連，對四邊形應(yīng)用托勒密定理，得，由此得因，所以，即與重合，于是，三線共點(diǎn)例11 是的外接圓，是的內(nèi)心，射線交于求證：，成等差數(shù)列的充要條件是證明 如圖3-14，由，知必要性：若，成等差數(shù)列，即，而，有相等的高，則又由托勒密定理，有，即 ，即是的中點(diǎn)，于是， ，故充分性：若，即，有比較上述兩式，得，但，即知，仿前由托勒定理知，即，故，成等差數(shù)列例12 如圖3-15，設(shè)為的內(nèi)心，角，所對的邊長分別為，求證： 證明 設(shè)在三邊上的射影分別為，設(shè)的外接圓半徑及內(nèi)切圓半徑分別為，則由，四點(diǎn)共圓，且為其圓的直徑，應(yīng)用托勒密定理，

10、有 由正弦定理，有，即有同理，有，從而又由，有，故，即例13 如圖3-16，若與的邊長分別為，與，且，則證明 作的外接圓，過作交圓于，連，因，則，從而，有，即 ，故又，知，由托勒密定理，得，即故 例14 已知的內(nèi)接銳角，點(diǎn)到的三邊，的距離分別為，試證：的半徑為方程的根（數(shù)學(xué)通報(bào)1991年第11期問題征解題）證明 如圖3-17，設(shè)，的延長線分別交于，連，因在內(nèi)部，則，在的內(nèi)接四邊形，中分別應(yīng)用托勒密定理，得，即有 顯然，該方程組關(guān)于，有非零解，于是有展開整理，得關(guān)于的方程為，命題獲證例15 如圖3-18，在中，分別是，延長線上的點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連交外接圓于求證：（中等數(shù)學(xué)2001年第4期高中訓(xùn)練題

11、）證明 連，設(shè)，外接圓的半徑為因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，知在中，由正弦定理，有，在圓內(nèi)接四邊形中，由托勒密定理得，即 ，兩邊同乘以，得，即 例16 如圖3-19，設(shè)，是同心圓，的半徑是半徑的2倍四邊形內(nèi)接于，將延長交圓于，延長交圓于，延長交圓于，延長交圓于試證四邊形的周長四邊形的周長，并請確定等號成立的條件（1988年第三屆冬令營試題）證明 設(shè)同心圓圓心為，連，在四邊形中應(yīng)用推廣的托勒密定理，有因，則，從而 同理，以上四式相加，得為使式中等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)所加的四式均為等式而式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓這時，即為的平分線同理，分別為，的平分線這意味著為四邊形的內(nèi)切圓的圓心，故知四邊形為正方形，即當(dāng)且僅

12、當(dāng)四邊形為正方形時式等號成立例17 如圖3-20，設(shè)是凸六邊形，滿足， 設(shè)和是這六邊形內(nèi)部的兩點(diǎn)，使得試證： （第36屆試題）證明 以直線為對稱軸，作和關(guān)于該直線的軸對稱點(diǎn)和，于是，且和都是正三角形，和分別在這兩個三角形的外接圓上由托勒密定理，有，即有，同理，于是 例18 如圖3-21，設(shè)，是內(nèi)部的兩個點(diǎn)，且滿足，證明：（第39屆預(yù)選題）證明 設(shè)是射線上的點(diǎn)，且滿足因，則在的外部又，則，即有由，知，于是由，知，四點(diǎn)共圓應(yīng)用托勒密定理，有 ，或，將，代入，得，即 例19 如圖3-22，在中，線段上有一點(diǎn)，線段延長線上有一點(diǎn)，使得線段與的外接圓交于，是線段延長線上的一點(diǎn)證明：點(diǎn)滿足的充分必要條件是

13、點(diǎn)在的外接圓上（2000年國家集訓(xùn)隊(duì)選拔試題）證明 充分性：連，由，；，分別四點(diǎn)共圓，知，于是，可設(shè)對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有將上式兩邊同乘以，并用前一比例式代入，得注意到，即得必要性：以，為兩個焦點(diǎn)，長軸長等于的橢圓與直線至多有兩個交點(diǎn)，而其中在的一側(cè)，即線段延長線上的交點(diǎn)至多一個，由前面的充分性證明，知的延長線與的外接圓的交點(diǎn)在這個橢圓上；而依題設(shè)點(diǎn)同時在的延長線上和橢圓上，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，命題獲證2求解代數(shù)問題的一條途徑例20 若，且，解方程（1993年南昌市競賽題）解 因，且，所以，為邊可以作一個三角形作，使，分別作，的垂線，它們交于點(diǎn)則四邊形內(nèi)接于圓，如圖3-23此時，為直徑，對，應(yīng)用

14、托勒密定理推論1或三弦定理，有 ，即，即由，而，其中，從而為原方程的解例21 已知，是不相等的正數(shù)，求函數(shù) 的值域解 因，則可以為直徑作圓，且作，如圖3-24，在另一半圓上取中點(diǎn)，則于是對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有不妨取，則，即而，從而當(dāng)時，當(dāng)時，是的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，是的單調(diào)遞減函數(shù)，從而當(dāng)， 故在定義域上，所以的值域?yàn)樽?對于一般的函數(shù)，只要定值，就可以構(gòu)造圓的內(nèi)接四邊形，靈活運(yùn)用托勒密定理求其極值或值域3注意廣義托勒密定理的應(yīng)用前面給出的例6是一個很有價(jià)值的問題，甚至，我們可以稱之為廣義托勒密定理當(dāng)一個圓的半徑無限趨近于0時，圓就趨近于一點(diǎn)，過該點(diǎn)的直線就成了“點(diǎn)圓”的切線托勒密定理就是

15、例6中內(nèi)切于的四個圓均變?yōu)辄c(diǎn)的情形利用廣義托勒密定理可以處理如下問題：例22 已知與分別與內(nèi)切，作和的兩條內(nèi)公切線交于，作和的外公切線，切點(diǎn)為和求證：證明 如圖3-25，設(shè)，分別為與的內(nèi)公切線的切點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，記和的內(nèi)公切線長為用表示一組與內(nèi)切的“圓”，并應(yīng)用廣義托勒密定理，則對于，有，對于，有對于，有對于，有由，得，即由，得，即由與得 ，故 若四邊形中不含圓心，那，均為銳角不妨設(shè)，則又，則所以，矛盾故一定有此時若四邊形中含圓心，則與之“對稱”的四邊形（，的定義方式與，的定義方式相似）不含圓心設(shè)交于，交于由已證結(jié)論，因?yàn)椋?，故?3 如圖3-26，和內(nèi)切于的一段弧，并且兩圓彼此外切于點(diǎn)設(shè)

16、是和的內(nèi)公切線與該段弧的交點(diǎn)，而和是中與的外公切線弦的端點(diǎn)，證明：是的內(nèi)切圓圓心（-33預(yù)選題）證明 設(shè)與的交點(diǎn)為，與的切點(diǎn)分別為，并設(shè)各線段之長為，于是，有，又因，故，用（，）表示點(diǎn)圓與的公切線的長，則同理，對應(yīng)用廣義托勒密定理，有，令，則由上式，有同理，對，有，注意到，則，即有，亦即而，即，于是，即，亦即此表明，即知平分所以，得 因而 ，于是由此，即知平分故是的內(nèi)心【模擬實(shí)戰(zhàn)】習(xí)題A1，四點(diǎn)在同一圓周上，且，為與的交點(diǎn)，且，線段和的長都是整數(shù)，則的長等于多少？（1988年全國初中聯(lián)賽題）2在中，在上，在的延長線上，且，的外接圓與的外接圓交于點(diǎn)求證：（1991年全國初中聯(lián)褰題）3已知是正方形

17、的外接圓上任一點(diǎn)，求的值4過的頂點(diǎn)，且分別與，和上的中線相交于，則，成等差數(shù)列5已知正七邊形，求證：（第21屆全俄奧林匹克題）6在圓內(nèi)接六邊形中，令，求證：7，分別為的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，分別在弧，上，分別為弓形，和的高求證：8解方程9已知，且，求證：10求函數(shù)的值域（為參數(shù)）11已知中，最大角與最小角的差為上任一點(diǎn)求證：12，是正的三條高，任取一點(diǎn)試證：在，中，最大一個的面積等于其余兩個的面積之和13已知的，令，求證：14已知為等腰（）外接圓上的一點(diǎn)，為上一點(diǎn)求證： 15已知為的直徑，圓周上的點(diǎn)，分別在的兩側(cè)，過中點(diǎn)分別作，的垂線，垂足為，求證：16已知平行四邊形中，過的圓分別交，于，求證

18、： 17設(shè)為與的公共弦，點(diǎn)，分別在，上，且，的平分線交，于點(diǎn)，求證：18解方程19求函數(shù)的值域20已知求證：21已知兩圓內(nèi)切于點(diǎn)，是大圓的內(nèi)接正三角形，過，作小圓的切線，且，為切點(diǎn)求證：，三條線段中，一條線段等于另外兩條線段之和22在中，外接圓為三條內(nèi)角平分線分別交，和于點(diǎn)，和，通過點(diǎn)的直線平行于交圓于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且求證：23在四邊形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且，求證：四邊形有外接圓24與相交于，兩點(diǎn)，的一條弦與相切于點(diǎn)，且與相切于點(diǎn)求證：習(xí)題B1設(shè)圓內(nèi)接四邊形的四邊，求對角線和的長（用，表示）2已知內(nèi)接于，為內(nèi)任一點(diǎn)，過點(diǎn)引，的平行線，分別交，于，交，于，交，于，為過點(diǎn)的弦試證：（數(shù)學(xué)通報(bào)1991年第9期問題）3圓內(nèi)接四邊形被它的一條對角線分成兩個三角形，證明：這兩個三角形的內(nèi)切圓半徑之和與對角線的選取無關(guān)（-23預(yù)選題）4設(shè)，是同心圓，的半徑是的半徑的（）倍邊形內(nèi)接于，延長，分別交圓于，若邊形，的周長分別為，試證：，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)邊形是正邊形時成立（-21預(yù)選題）5已知邊長分別為，的內(nèi)接于，內(nèi)切于，切點(diǎn)在上，由點(diǎn)，分別引的切線長順次為，證明：6在圓內(nèi)接四邊形中，分別是，的內(nèi)切圓設(shè)，上的切點(diǎn)依次是，設(shè)的半徑為（1，2，3，4）求證：7設(shè)銳角的的平分線交于，交外接圓于，自點(diǎn)分別向和作垂線和，垂足為和求證：的面積等于四邊形的面積（-28試題）8為內(nèi)接三角形